Significato geometrico della derivata

1. Richiami

Per poter capire il significato geometrico della derivata bisogna per prima cosa passare dal concetto di coefficiente angolare. Risulta veramente complicato capire il concetto di derivata senza avere ben chiaro cosa sia il coefficiente angolare di una retta.

Il coefficiente angolare di una retta nel piano Cartesiano è un valore che identifica la pendenza di una retta rispetto all’asse delle x (asse delle ascisse).

Il valore del coefficiente angolare è:

m=\frac{\Delta y}{\Delta x}

In cui:

  • m è il carattere che tipicamente viene usato per identificare il coefficiente angolare di una retta
  • la quantità \frac{\Delta y}{\Delta x}, dati due punti P_1(x_1,y_1) e P_2(x_2,y_2), è uguale a:

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

In matematica si dice, non a caso, che il coefficiente angolare è un rapporto incrementale. Volendone capire meglio il significato si faccia riferimento alla figura seguente:

Pendenza retta (2).png
Figura 1. Rappresentazione di una retta e delle quantità x_2-x_1 e y_2-y_1

Dalla Figura 1 si può capire come il coefficiente angolare è un rapporto tra lunghezze, le quali sono i cateti del triangolo rettangolo identificati da lunghezze di x_2-x_1 e y_2-y_1. Il coefficiente angolare quindi non è un angolo ma solo un rapporto di lunghezze, anche se il coefficiente angolare è indicativo di quanto la retta è pendente rispetto all’asse delle ascisse.

2 Definizione di derivata

2.1 Argomentazione iniziale

Si dice che la derivata di una funzione f(x) calcolata in un generico punto x_0 è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione f(x) nel punto x_0.

La derivata è un limite e anche essa è definita, similmente al coefficiente angolare, come un rapporto incrementale; tuttiavia stavolta c’è la piccola richiesta che tale rapporto sia infinitesimo.

2.2 Definizione formale

Sia data una funzione f(x) definita in un intorno di x_0. Si dice che f(x) è derivabile nel punto x_0 se esiste ed è finito il limite:

{f}'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

In cui h=x-x_0.

2.3 Discussione

Dire che il limite che definisce la derivata è finito ed esiste equivale, dal punto di vista geometrico, ad ammettere l’esistenza di una singola retta tangente alla funzione f(x) per un valore di x pari a x_0.

Quello che succede nel calcolare il limite che definisce la derivata può essere espresso bene graficamente come in Figura 2.

derivata.png
Figura 2. Rappresentazione grafica del limite associato alla deriavata. I punti rossi rapresentano l’avvicinamento al punto P_0(x_0, y_0) in cui si vuole calcolare la derivata 

I punti rossi rappresentano il comportamento proprio del limite e cioè l’avvicinarsi al valore desiderato x_0, infatti per {h \to 0} si ha che la quantità x_0+h tende a x_0. Come si può notare più il punto rosso si avvicina al punto blu più la retta si avvicina ad essere la tangente. La retta diventa tangente al limite e cioè quando il punto rosso è infinitamente vicino al punto blu.

Se la funzione nel punto x_0 non esiste allora non può esistere nemmeno la retta tangente alla funzione in quel punto.

Se la funzione nel punto x_0 si presenta come una cuspide allora la funzione non è derivabile in quel punto (il limite della derivata da destra e da sinistra è diverso, Figura 3).

Cuspide.png
Figura 3. In x_0=0 la funzione si presenta come una cuspide, in quel punto la funzione non è derivabile

Si può dunque dire che:

  • Se una funzione è derivabile in un punto allora è continua
  • Se una funzione è continua in un punto non necessariamente è derivabile
  • Una funzione discontinua in un punto non è derivabile in quel punto
  • Se una funzione non è derivabile in un punto allora può essere:
    • discontinua in quel punto
    • continua ma a cuspide

 

 

 

Quattro cariche puntiformi ai vertici di un quadrato

Problema

Quattro cariche puntiformi sono disposte ai vertici di un quadrato. La distanza tra ciascuna carica e il centro del quadrato è di 11 cm. Una delle 4 cariche è negativa è ha carica -2.0\cdot 10^{-9}C. Le altre tre cariche sono positive di cui due di loro, poste a due vertici opposti del quadrato, hanno carica 5.0\cdot 10^{-9}C e l’altra ha carica 3.0\cdot 10^{-9}C

  1. Disegna i vettori campo elettrico generati da ciascuna delle quattro cariche nel centro del quadrato
  2. Mostra che due di questi campi elettrici si annullano a vicenda
  3. Calcolare il valore della somma degli altri due

Formule utili

Modulo vettore campo elettrico generato da una carica puntiforme:

\left \| \vec{E} \right \|=K\frac{\left | Q \right |}{r^{2}}

Soluzione

Punto primo

Per risolvere il primo punto punto bisogna tenere in considerazione come, per convenzione, le cariche elettriche generano il campo elettrico intorno a sè. Ricordiamo quindi che il campo elettrico generato da una carica positiva è “uscente” dalla carica stessa, come rappresentato in Figura 1.

800px-VFPt_plus_thumb.svg
Figura 1. Campo elettrico generato da una carica positiva

Invece il campo elettrico generato da una carica negativa risulta “entrante” rispetto alla carica stessa, come rappresentato in Figura 2.

360px-VFPt_minus_thumb.svg
Figura 2. Campo elettrico generato da una carica negativa

La soluzione al punto primo è quindi quello rappresentato in Figura 3. Come si può vedere i vettori generati dalle 4 cariche nel centro del quadrato risultano essere 4. Si è scelto di attribuire il colore rosso alle cariche positive e il colore blu alle cariche negative.

quattro cariche elettriche
Figura 3. I vettori campo elettrico generati dalle cariche

Punto secondo

Guardando la Figura 3, dalla carica di colore blu (quindi negativa), in senso orario, la numerazione delle cariche è la seguente 1, 2, 3, 4. Le cariche che hanno uguale vettore campo elettrico  che si annulla al centro del quadrato sono 2 e 4.

Punto terzo

Il vettore campo elettrico generato dalla carica 1 è entrante rispetto alla carica 1 stessa mentre il vettore generato dalla carica 3 è uscente rispetto alla carica 3 stessa. Per questo motivo le cariche generano due vettori campi elettrici con verso concorde nel punto centrale del quadrato. A questo punto è chiaro che i moduli dei due vettori vanno sommati.

Deve essere:

\left \| \vec{E_{1}} \right \|=K_{1}\frac{\left | Q_{1} \right |}{r_{1}^{2}}

E anche:

\left \| \vec{E_{3}} \right \|=K_{3}\frac{\left | Q_{3} \right |}{r_{3}^{2}}

Dove:

r_{1} = r_{3} \quad \wedge \quad K_{1} = K_{3}

Quindi:

\left \| \vec{E_{1}} \right \|+\left \| \vec{E_{3}} \right \|=K\frac{\left | Q_{1} \right |+\left | Q_{3} \right |}{r^{2}}

E allora:

\left \| \vec{E_{1}} \right \|+\left \| \vec{E_{3}} \right \|=9\cdot 10^{-9}\frac{Nm^{2}}{C^{2}}\cdot\frac{2\cdot 10^{-9}C + 3\cdot 10^{-9}C}{(11 \cdot10^{-2}m)^2} \cong 3.7 \cdot10^{3} \frac{N}{C}

In definitiva:

\left \| \vec{E_{1}} \right \|+\left \| \vec{E_{3}} \right \|=3.7 \cdot10^{3}\frac{N}{C}