Soluzione del problema delle quattro cariche puntiformi ai vertici di un quadrato

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Problema

Quattro cariche puntiformi sono disposte ai vertici di un quadrato. La distanza tra ciascuna carica e il centro del quadrato è di \( 11 cm \). Una delle 4 cariche è negativa è ha carica \( -2.0\cdot 10^{-9}C \). Le altre tre cariche sono positive di cui due di loro, poste a due vertici opposti del quadrato, hanno carica \( 5.0\cdot 10^{-9}C \) e l’altra ha carica \( 3.0\cdot 10^{-9}C \)

1. Disegna i vettori campo elettrico generati da ciascuna delle quattro cariche nel centro del quadrato
2. Mostra che due di questi campi elettrici si annullano a vicenda
3. Calcolare il valore della somma degli altri due

Formule utili

Modulo vettore campo elettrico generato da una carica puntiforme:

\( \left \| \vec{E} \right \|=K\frac{\left | Q \right |}{r^{2}}\)

Soluzione

Punto primo

Per risolvere il primo punto punto bisogna tenere in considerazione come, per convenzione, le cariche elettriche generano il campo elettrico intorno a sè. Ricordiamo quindi che il campo elettrico generato da una carica positiva è “uscente” dalla carica stessa, come rappresentato in Figura 1.

Invece il campo elettrico generato da una carica negativa risulta “entrante” rispetto alla carica stessa, come rappresentato in Figura 2.

La soluzione al punto primo è quindi quello rappresentato in Figura 3. Come si può vedere i vettori generati dalle 4 cariche nel centro del quadrato risultano essere 4. Si è scelto di attribuire il colore rosso alle cariche positive e il colore blu alle cariche negative.

Punto secondo

Guardando la Figura 3, dalla carica di colore blu (quindi negativa), in senso orario, la numerazione delle cariche è la seguente 1, 2, 3, 4. Le cariche che hanno uguale vettore campo elettrico  che si annulla al centro del quadrato sono 2 e 4.

Punto terzo

Il vettore campo elettrico generato dalla carica 1 è entrante rispetto alla carica 1 stessa mentre il vettore generato dalla carica 3 è uscente rispetto alla carica 3 stessa. Per questo motivo le cariche generano due vettori campi elettrici con verso concorde nel punto centrale del quadrato. A questo punto è chiaro che i moduli dei due vettori vanno sommati.

Deve essere:

\( \left \| \vec{E_{1}} \right \|=K_{1}\frac{\left | Q_{1} \right |}{r_{1}^{2}}\)

E anche:

\( \left \| \vec{E_{3}} \right \|=K_{3}\frac{\left | Q_{3} \right |}{r_{3}^{2}}\)

Dove:

\( r_{1} = r_{3} \quad \wedge \quad K_{1} = K_{3} \)

Quindi:

\( \left \| \vec{E_{1}} \right \|+\left \| \vec{E_{3}} \right \|=K\frac{\left | Q_{1} \right |+\left | Q_{3} \right |}{r^{2}} \)

E allora:

\( \left \| \vec{E_{1}} \right \|+\left \| \vec{E_{3}} \right \|=9\cdot 10^{-9}\frac{Nm^{2}}{C^{2}}\cdot\frac{2\cdot 10^{-9}C + 3\cdot 10^{-9}C}{(11 \cdot10^{-2}m)^2} \cong 3.7 \cdot10^{3} \frac{N}{C} \)

In definitiva:

\( \left \| \vec{E_{1}} \right \|+\left \| \vec{E_{3}} \right \|=3.7 \cdot10^{3}\frac{N}{C} \)