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Significato geometrico della derivata

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1. Richiami

Per poter capire il significato geometrico della derivata bisogna per prima cosa passare dal concetto di coefficiente angolare. Risulta veramente complicato capire il concetto di derivata senza avere ben chiaro cosa sia il coefficiente angolare di una retta.

Il coefficiente angolare di una retta nel piano Cartesiano รจ un valore che identifica la pendenza di una retta rispetto all’asse delle x (asse delle ascisse).

Il valore del coefficiente angolare รจ:

\( m=\frac{\Delta y}{\Delta x} \)

In cui:

  • m รจ il carattere che tipicamente viene usato per identificare il coefficiente angolare di una retta
  • la quantitร  \( \frac{\Delta y}{\Delta x}\), dati due punti \( P_1(x_1,y_1) \) e \( P_2(x_2,y_2) \) , รจ uguale a:

\( \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

In matematica si dice, non a caso, che il coefficiente angolare รจ un rapporto incrementale. Volendone capire meglio il significato si faccia riferimento alla figura seguente:

Pendenza retta (2).png
Figura 1. Rappresentazione di una retta e delle quantitร  \( x_2-x_1 \) e \( y_2-y_1 \)

Dalla Figura 1 si puรฒ capire come il coefficiente angolare รจ un rapporto tra lunghezze, le quali sono i cateti del triangolo rettangolo identificati da lunghezze di \( x_2-x_1\) e \( y_2-y_1 \). Il coefficiente angolare quindi non รจ un angolo ma solo un rapporto di lunghezze, anche se il coefficiente angolare รจ indicativo di quanto la retta รจ pendente rispetto all’asse delle ascisse.

2 Definizione di derivata

2.1 Argomentazione iniziale

Si dice che la derivata di una funzione \( f(x) \) calcolata in un generico punto \( x_0 \) รจ il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione \( f(x) \) nel punto \( x_0 \).

La derivata รจ un limite e anche essa รจ definita, similmente al coefficiente angolare, come un rapporto incrementale; tuttiavia stavolta c’รจ la piccola richiesta che tale rapporto sia infinitesimo.

2.2 Definizione formale

Sia data una funzione \( f(x) \) definita in un intorno di \( x_0 \). Si dice che \( f(x) \) รจ derivabile nel punto \( x_0 \) se esiste ed รจ finito il limite:

\( {f}'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)

In cui \( h=x-x_0 \).

2.3 Discussione

Dire che il limite che definisce la derivata รจ finito ed esiste equivale, dal punto di vista geometrico, ad ammettere l’esistenza di una singola retta tangente alla funzione \( f(x) \) per un valore di \( x \) pari a \( x_0 \).

Quello che succede nel calcolare il limite che definisce la derivata puรฒ essere espresso bene graficamente come in Figura 2.

derivata.png
Figura 2. Rappresentazione grafica del limite associato alla deriavata. I punti rossi rapresentano l’avvicinamento al punto \( P_0(x_0, y_0) \) in cui si vuole calcolare la derivata

I punti rossi rappresentano il comportamento proprio del limite e cioรจ l’avvicinarsi al valore desiderato \( x_0 \), infatti per \( {h \to 0} \) si ha che la quantitร  \( x_0+h \) tende a \( x_0 \). Come si puรฒ notare piรน il punto rosso si avvicina al punto blu piรน la retta si avvicina ad essere la tangente. La retta diventa tangente al limite e cioรจ quando il punto rosso รจ infinitamente vicino al punto blu.

Se la funzione nel punto \( x_0 \) non esiste allora non puรฒ esistere nemmeno la retta tangente alla funzione in quel punto.

Se la funzione nel punto \( x_0 \) si presenta come una cuspide allora la funzione non รจ derivabile in quel punto (il limite della derivata da destra e da sinistra รจ diverso, Figura 3).

Cuspide.png
Figura 3. In \( x_0=0 \) la funzione si presenta come una cuspide, in quel punto la funzione non รจ derivabile

Si puรฒ dunque dire che:

  • Se una funzione รจ derivabile in un punto allora รจ continua
  • Se una funzione รจ continua in un punto non necessariamente รจ derivabile
  • Una funzione discontinua in un punto non รจ derivabile in quel punto
  • Se una funzione non รจ derivabile in un punto allora puรฒ essere:
    • discontinua in quel punto
    • continua ma a cuspide

 

 

 

1 pensiero su “Significato geometrico della derivata

  1. […] la derivata, risalire alla funzione primitiva. Il matematico si ricorda il concetto di derivata (di cui abbiamo giร  discusso il significato geometrico) e si ricorda che vale quanto […]

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