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Rapporto parabola seno negativo

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Esercizio

Si vogliano trovare i valori di x che soddisfano la seguente disequazione:

\frac{x^2 -1}{sin(x)}\leq0

con

x \in [0;2\pi]

Soluzione

Si sa che un rapporto è negativo se il numeratore N(x) e il denominatore D(x) hanno segno discorde.

Studiamo ora dove numeratore e denominatore sono positivi.

Poichè N(x)=x^2 -1 si ha che  N(x) \geq 0 quando x^2 -1 \geq 0.

Inoltre poichè D(x) = sin(x), per il quale deve essere che D(x) \neq 0, si ha che  D(x) > 0 quando sin(x) > 0.

Si può facilmente verificare che N(x) \geq 0 quando x \leq -1 \vee x \geq1 poichè y=x^2 -1 è una parabola con concavità verso l’alto che interseca l’asse delle ascisse in -1 e 1 . Poichè però il problema richiede che x \in [0;2\pi] si accettano soluzioni di positività per il numeratore solo del tipo x \geq 1 , in quanto le altre soluzioni di positività per il numeratore non cadono nell’intervallo richiesto.

Inoltre si può facilmente verificare che D(x) > 0 per 0<x<\pi, in quanto il seno è positivo in quell’intervallo per x \in [0;2\pi].

Nell’immagine seguente viene mostrato l’intervallo delle soluzioni ammesse e le regioni in cui N(x) e D(x) sono positivi o negativi. Le regioni positive di N(x) e D(x) sono tracciate con la linea continua, mentre quelle negative con la linea tratteggiata.

Intervalli disequazioni (1)
Regioni di positività e negatività del numeratore e del denominatore

Siccome affinchè il rapporto sia negativo N(x) e D(x) devono essere di segno discorde si può evincere come la soluzione al problema sia:

0 < x \leq 1 \vee \pi<x < 2\pi