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Rapporto parabola seno negativo

Esercizio

Si vogliano trovare i valori di x che soddisfano la seguente disequazione:

\frac{x^2 -1}{sin(x)}\leq0

con

x \in [0;2\pi]

Soluzione

Si sa che un rapporto รจ negativo se il numeratore N(x) e il denominatore D(x) hanno segno discorde.

Studiamo ora dove numeratore e denominatore sono positivi.

Poichรจ N(x)=x^2 -1 si ha cheย  N(x) \geq 0 quando x^2 -1 \geq 0.

Inoltre poichรจ D(x) = sin(x), per il quale deve essere che D(x) \neq 0, si ha cheย  D(x) > 0 quando sin(x) > 0.

Si puรฒ facilmente verificare che N(x) \geq 0 quando x \leq -1 \vee x \geq1 poichรจ y=x^2 -1 รจ una parabola con concavitร  verso l’alto che interseca l’asse delle ascisse in -1 e 1 . Poichรจ perรฒ il problema richiede che x \in [0;2\pi] si accettano soluzioni di positivitร  per il numeratore solo del tipo x \geq 1 , in quanto le altre soluzioni di positivitร  per il numeratore non cadono nell’intervallo richiesto.

Inoltre si puรฒ facilmente verificare che D(x) > 0 per 0<x<\pi, in quanto il seno รจ positivo in quell’intervallo per x \in [0;2\pi].

Nell’immagine seguente viene mostrato l’intervallo delle soluzioni ammesse e le regioni in cui N(x) e D(x) sono positivi o negativi. Le regioni positive di N(x) e D(x) sono tracciate con la linea continua, mentre quelle negative con la linea tratteggiata.

Intervalli disequazioni (1)
Regioni di positivitร  e negativitร  del numeratore e del denominatore

Siccome affinchรจ il rapporto sia negativo N(x) e D(x) devono essere di segno discorde si puรฒ evincere come la soluzione al problema sia:

0 < x \leq 1 \vee \pi<x < 2\pi