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Esercizio

Si vogliano trovare i valori di $x$ che soddisfano la seguente disequazione:

$\frac{x^2 -1}{sin(x)}\leq0$

con

$x \in [0;2\pi]$

Soluzione

Si sa che un rapporto è negativo se il numeratore $N(x)$ e il denominatore $D(x)$ hanno segno discorde.

Studiamo ora dove numeratore e denominatore sono positivi.

Poichè $N(x)=x^2 -1$ si ha che $N(x) \geq 0$ quando $x^2 -1 \geq 0$ .

Inoltre poichè $D(x) = sin(x)$ , per il quale deve essere che $D(x) \neq 0$ , si ha che $D(x) > 0$ quando $sin(x) > 0$ .

Si può facilmente verificare che $N(x) \geq 0$ quando $x \leq -1 \vee x \geq1$ poichè $y=x^2 -1$ è una parabola con concavità verso l’alto che interseca l’asse delle ascisse in $-1$ e $1$ . Poichè però il problema richiede che $x \in [0;2\pi]$ si accettano soluzioni di positività per il numeratore solo del tipo $x \geq 1$ , in quanto le altre soluzioni di positività per il numeratore non cadono nell’intervallo richiesto.

Inoltre si può facilmente verificare che $D(x) > 0$ per $0<x<\pi$ , in quanto il seno è positivo in quell’intervallo per $x \in [0;2\pi]$ .

Nell’immagine seguente viene mostrato l’intervallo delle soluzioni ammesse e le regioni in cui $N(x)$ e $D(x)$ sono positivi o negativi. Le regioni positive di $N(x)$ e $D(x)$ sono tracciate con la linea continua, mentre quelle negative con la linea tratteggiata.