Funzione seno

Una funzione è una relazione che associa a un elemento del dominio uno e uno solo elemento del codominio. Qualsiasi funzione, in analisi matematica, è un insieme di punti che rispetta la proprietà sentenziata nella frase precedente.

La funzione seno è una relazione che viene stabilità tra radianti e il valore di seno per quell’angolo. Cerchiamo di vedere meglio come è questa funzione.

Nella figura seguente viene rappresentata la funzione seno.

Figura 1. Rappresentazione della funzione seno

Come si può notare la funzione \( sen(x)\) è compresa tra -1 e 1. Quando si dice che una funzione è compresa tra -1 e 1 si intende che le ordinate di tutti i punti che costruiscono la funzione \(f(x)=sen(x)\) non assumono mai valori fuori dall’intervallo \(-1\leq f(x)\leq1\).

La funzione \(f(x)=sen(x)\) ha un periodo di \(T=2\pi\), dove con periodo si intende la più piccola porzione di curva che, traslata della propria estensione in x, si sovrappone perfettamente alla prossima porzione di curva. Nella figura seguente viene rappresentato \(sen(x)\) per \(0\leq x\leq 2 \pi\).

period sinx.png — Figura 2. In blu viene evidenziata la funzione seno nel periodo, in questo caso per \(0\leq x\leq 2 \pi\). Come si può notare **la funzione seno è periodica, perchè la parte evidenziata si ripete ogni periodo**.

Se volessimo amplificare la curva basterebbe premoltiplicare il seno per una costante, tipo:

\(A \cdot sin(x)\)

Si guardi infatti la differenza nella figura seguente tra:

\(f(x)=sen(x)\) e \(g(x)=2 \cdot sen(x)\)

Figura 3. Rappresentazione in blu della funzione \( f(x)=sen(x)\) e in rosso della funzione \( g(x)=2 \cdot sen(x)\). Come si può notare \( -1\leq f(x)\leq1\) mentre \( -2\leq g(x)\leq2\)

Per poter traslare la funzione seno verso l’alto basta porre:

\( sin(x) + B\) con \( B >0\)

Per poter traslare la funzione seno verso il basso basta porre:

\( sin(x) + B\) con \( B <0\)

Nella figura in basso viene mostrata la traslazione della funzione seno verso il basso per \( B =-4\)

Figura 4. Rappresentazione della funzione seno con traslazione verso il basso. L’azione di aggiungere una quantità B negativa alla funzione seno è quello di spostare tutti i punti del modulo di B verso il basso. La funzione è ora compresa tra -3 e -5

Supponiamo ora di voler aumentare la frequenza di \( sin(x)\), allora basta porre:

\( sin(\omega x)\)

Nella figura in basso viene mostrato il cambiamento della frequenza della funzione seno per \( \omega = 2\), come si può notare la frequenza della curva aumenta.

Figura 5. In rosso la funzione \( sin(x)\), in verde la funzione \( sin(2 \cdot x)\). Come si può notare un periodo della rossa corrisponde a due periodi della verde. La curva rossa ha una frequenza più bassa della verde perchè, scelto un intervallo x opportuno, la verde presenta sempre più periodi della rossa.

In ultimo per poter traslare la funzione seno verso sinistra basta porre:

\( sin(x + \phi)\) con \( \phi >0\)

Invece per poter traslare la curva verso destra basta porre:

\( sin(x + \phi)\) con \( \phi <0\)

Nella figura in basso viene mostrata la traslazione della funzione seno verso destra per \( x=- \frac{\pi}{4}\)

Figura 6. La funzione verde è la funzione seno traslata verso destra e ha formula \( sin(x – \frac{\pi}{4})\). Come si può notare scegliere un \( \phi <0\) porta la curva a traslare verso destra.

In conclusione la formula generale del seno risulta essere:

\( A \cdot sin( \omega x + \phi ) + B\)

in cui:

\( A \) amplifica la funzione \( sin(x)\)
\(B\) trasla verso l’alto o verso il basso la funzione \(sin(x)\)
\(\omega\) abbassa o aumenta la frequenza della funzione \( sin(x)\)
\(\phi\) trasla verso destra o verso sinistra la funzione \( sin(x)\)

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