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Testo

La parabola di equazione

$y= -x^2 + 8x -7$

interseca l’asse $x$ nei punti $A$ e $B$ . Determina due punti $C$ e $D$ sulla parabola che formino con $A$ e $B$ un trapezio isoscele di base maggiore $AB$ e area $32$ .

Soluzione

La parabola è convessa e interseca l’asse x per valori di ascisse ricavabili da questa formula:

$x_{1,2} = \frac{-(8)\pm \sqrt{(8)^2-4(-1)(-7)}}{2\cdot(-1)}$

Da cui:

$x_{1} = 1$ e $x_{2} = 7$

Figura 1. Rappresentazione della parabola e dei punti A e B

La base maggiore $AB$ misura quindi $6$ .

La formula dell’area di un trapezio isoscele è:

$A_{Trapezio} = \frac{(B+b)h}{2}$

Di cui sono noti solo:

$A_{Trapezio} = 32$ e $B = 6$

Per trovare una relazione che leghi $b$ e $h$ è necessario considerare il sistema:

$\left\{\begin{matrix}y= -x^2 + 8x -7\\ y=h\end{matrix}\right.$

Figura2. Rappresentazione geometrica del sistema precedente

E risolvere:

$x^2 - 8x + (7+h) = 0$

Quindi:

$x_{1,2} = \frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4(1)(7+h)}}{2\cdot(1)}=$

$=\frac{8\pm \sqrt{36-4h}}{2}$

Da cui:

$x_{1} = 4-\sqrt{9-h}$ e $x_{2} = 4+\sqrt{9-h}$

E allora $b$ sarà esprimibile come:

$b=x_{2,b}-x_{1,b}= 2 \sqrt{9-h}$

Volendo esplicitare $h$ :

$b^2 = 4(9-h) \rightarrow b^2 = 36-4h \rightarrow h= \frac{36-b^2}{4}$

Quindi:

$A_{Trapezio} = \frac{(B+b)}{2} \cdot \frac{36-b^2}{4}$

E allora:

$32 = \frac{(6+b)(36-b^2)}{8} \rightarrow$

$256 = (6+b)(36-b^2) \rightarrow$

$256 = 216-6b^2+36b-b^3 \rightarrow$

$b^3+6b^2-36b+40=0$

Da Ruffini:

$(b-2)(b^2+8b-20)=0$

Da cui:

$b_{1}=2$

$b_{2,3}= \frac{-8 \pm \sqrt{64+80}}{2} \rightarrow$

$b_{2}=2$ e $b_{3}=-10$

L’unica delle soluzioni ammissibili è 2 (non esistono lunghezze negative), ciò significa che la base minore è lunga 2.

Poiché:

$h= \frac{36-b^2}{4}$

allora:

$h= 8$

Se ciò è vero significa che il sistema:

$\left\{\begin{matrix}y= -x^2 + 8x -7\\ y=h\end{matrix}\right.$

Deve essere riscritto come segue:

$\left\{\begin{matrix}y= -x^2 + 8x -7\\ y=8\end{matrix}\right.$

In quanto $h= 8$ e il segmento base minore del trapezio giace sulla retta $y= 8$ .

Volendo trovare quindi i punti $C$ e $D$ richiesti dal problema si deve risolvere la seguente:

$-x^2 + 8x -15=0$

E quindi:

$x_{C,D} = \frac{-(8)\pm \sqrt{(8)^2-4(-1)(-15)}}{2\cdot(-1)} \rightarrow$

$x_{C} = 3 ; x_{D} = 5$

Da cui, in definitiva:

$A(1;0),B(7;0),C(3;8),D(5;8)$

Figura 3. Rappresentazione grafica della soluzione

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Di Andrea