Esercizio: disequazione di secondo grado logaritmica

Si vogliono trovare i valori di x che soddisfano la seguente disequazione:

[log_{2}(x+5)]^{2}-log_{2}(x+5)-6>0

Soluzione

Per risolvere la disequazione si pone:

t=log_{2}(x+5)

E così la disequazione di secondo grado diventa:

t^{2}-t-6>0

Di cui l’equazione di secondo grado associata ha soluzioni del tipo:

t_{1,2}= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-4(1)(-6)}}{2 \cdot (1)} \rightarrow

t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \rightarrow

t_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{2} \rightarrow

Da cui:

t_{1}=-2 e t_{2}=3

E quindi, essendo che t^{2}-t-6 ha il coefficiente a>0 (quindi è una parabola con concavità rivolta verso l’alto), si ha che è soddistatta per valori di t nei seguenti intervalli:

t<-2 \vee t>3

Ricordiamo ora che:

t=log_{2}(x+5)

Il logaritmo richiede che il proprio argomento sia maggiore di zero e cioè:

(x+5) > 0 \rightarrow

x>-5

Quindi si accettano soluzioni della [log_{2}(x+5)]^{2}-log_{2}(x+5)-6>0 solo se x>-5.

D’altra parte se è vero che t=log_{2}(x+5) deve anche essere che le soluzioni della disequazione di secondo grado logaritmica devono soddisfare:

log_{2}(x+5)<-2 \vee log_{2}(x+5)>3

Ovvero dovrebbe essere che:

(x+5)< \frac{1}{4} \vee (x+5)>8

E quindi:

x< - \frac{19}{4} \vee x>3

Ma siccome doveva essere che x>-5 le soluzioni sono:

-5<x< - \frac{19}{4} \vee x>3

Qui di seguito è rappresentata la funzione e le regioni in cui è maggiore di zero, che corrispondono alle soluzioni trovate.

logaritmo.png
Figura 1. in rosso la funzione y=[log(2,x+5)]^{2}-log(2,x+5)-6. In violetto le regioni in cui è positiva (maggiore di zero). La funzione risulta effettivamente essere positiva per -5<x< - \frac{19}{4} \vee x>3

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Autore: Andrea

PhD student | Biomedical Engineer | Telemedicine | Telerehabilitation | Investor

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