Soluzione pag 131 n 495 (La matematica a colori – Algebra 2)

Testo

Un rettangolo, inscritto in una circonferenza, ha perimetro uguale a 30k; inoltre si sa che la somma della metà della base del rettangolo con l’altezza è 10k. Determina il raggio della circonferenza.

Soluzione

Dai dati si capisce che il rettangolo ABCD ha perimetro 30k, quindi:

$\overline{AB} + \overline{BC} +\overline{CD} + \overline{DA} = 30k$

La quale, tenendo in considerazione che $\overline{AB}=\overline{CD}$ e che $\overline{BC}=\overline{DA}$ , si può riscrivere come segue:

$2\overline{AB} + 2\overline{BC} = 30k$

Se $\overline{AB}$ è la base e $\overline{BC}$ è l’altezza si sa (dal testo del problema) anche che:

$\frac{\overline{AB}}{2}+ \overline{BC} = 10k$

Entrambe le equazioni precedenti devono essere contemporaneamente soddisfatte, quindi non ci rimane che risolvere il seguente sistema:

$\left\{\begin{matrix} \frac{\overline{AB}}{2}+ \overline{BC} = 10k \\ 2\overline{AB} + 2\overline{BC} = 30k \end{matrix}\right.$

Ovvero:

$\left\{\begin{matrix} \overline{AB}+ 2\overline{BC} = 20k \\ 2\overline{AB} + 2\overline{BC} = 30k \end{matrix}\right.$

Sottraendo la prima alla seconda si ottiene:

$\overline{AB}=10k$

E quindi, di conseguenza, si scopre facilmente che:

$\overline{BC}=5k$

A questo punto conosciamo base e altezza del rettangolo.

Consideriamo ora che il rettangolo è inscritto nella circonferenza, come nella figura seguente.

rettangolo inscritto nella circonferenza

Dalla Figura 1 si può evincere che la diagonale del rettangolo è anche il diametro della circonferenza e dunque si può, sfruttando il teorema di Pitagora, dire che:

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Soluzione

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