In collaborazione con: Francesco Atzeni
Supponiamo di avere una funzione e di voler trovare quella funzione
tale che la sua derivata sia uguale a
, allora si puรฒ concludere che:
In matematica si dice che รจ la primitiva di
, ciรฒ significa che derivando
si ottiene
.
Provando a essere piรน formali si puรฒ dire quanto segue:
Siano date due funzioni e
, si diche che
รจ primitiva di
se รจ vero che
.
A questo punto il matematico, che ormai sa come puรฒ calcolare la derivata, si potrebbe chiedere come puรฒ, data la derivata, risalire alla funzione primitiva. Il matematico si ricorda il concetto di derivata (di cui abbiamo giร discusso il significato geometrico) e si ricorda che vale quanto segue:
Egli รจ perรฒ interessato a trovare e quindi, volendosi avvicinare un po’, lo riscrive come segue:
A questo punto il matematico, volendo trovare , definisce un operatore, chiamato integrale indefinito e con simbolo
, in modo che gli consenta di risalire alla primitiva di
. Tale operatore deve rendere il matematico libero dal differenziale infinitesimo su
, trasformando
in
. Se un tale operatore esistesse e dovesse essere applicato a sinistra e a destra della precedente equazione si otterrebbe:
Ovvero:
A questo punto ci si potrebbe chiedere che senso ha quello che รจ stato appena scritto dal punto di vista geometrico.
Cerchiamo di capirlo facendo un piccolo esempio. Sappiamo bene che per la funzione la derivata รจ facilmente calcolabile ed รจ pari a
. Inoltre รจ evidente che se
la primitiva
, poichรจ
.

In Figura 1. viene rappresentata la funzione e la sua funzione derivata
. Dalla figura possiamo evincere che, per una derivata calcolata in un qualunque
, la quantitร
รจ pari all’area del rettangolo arancione, poichรจ รจ stato detto poco prima che:
Il potere dell’operatore integrale รจ quello di risalire al valore della funzione primitiva, punto per punto, di una generica funzione e quindi quello di trasformare l’area del rettangolino nel valore
e di fare questo lavoro punto per punto, per ogni valore di
, in un intervallo pari al campo di esistenza della funzione da integrare. L’integrale indefinito, dati gli indizi del prodotto
, รจ in grado di risalire alla funzione che lo ha generato. Il risultato รจ quello di ottenere una funzione, la quale รจ primitiva di quella nell’argomento dell’integrale. Un altro modo di vedere l’integrale indefinito รจ quello di un operatore che si comporta da puntuale (nel senso di punto per punto) rintracciatore della funzione (primitiva) la cui tangente, nel punto
dato, รจ la retta con pendenza
. Quindi se la funzione derivata
ha, per ogni x, valori corrispondenti ai coefficienti angolari di tutte le rette tangenti a
, l’integrale รจ in grado di snocciolare al contrario l’enigma, trovando quella forma di funzione
che, per ogni punto, ha rette tangenti con coefficienti angolari pari a
. Inoltre se la derivata รจ un limite di un rapporto incrementale, l’integrale รจ quell’ operatore che sfrutta le informazioni contenute nel limite del rapporto incrementale per indovinare quella funzione che, per quell’
, avrebbe potuto dare quel risultato.
A questo punto il matematico potrebbe obiettare quanto segue:
- se รจ vero che la funzione derivata di
รจ pari a
non รจ proprio vero che se
la primitiva รจ
;
- infatti se
la primitiva puรฒ essere
ma anche
,
,
etc, poichรจ anche in questo caso
- In generale si puรฒ dire che se
la primitiva รจ
conย
Quindi la:
Va corretta come segue:
con
In generale si dice come di seguito.
Si dice integrale indefinito l’operatore che, data la funzione , รจ in grado di trovare la famiglia delle primitive di
stessa, ovvero:
ย ย conย ย

Donazione
Ciao ๐ ti รจ piaciuto il contenuto di questo post? Se la risposta รจ sรฌ e/o vorresti vedere piรน contenuti effettua una donazione a tua scelta. Ricorda che in questo sito risolvo esercizi e se vuoi posso farlo per te. Potrai chiedermi la risoluzione di uno qualunque degli esercizi del tuo libro, a patto che questi siano di campi che posso trattare. Manda pure una mail a andrea.zedda@outlook.it. Ti aspetto, a presto!
€1,00
Devi effettuare l'accesso per postare un commento.