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Integrale indefinito

In collaborazione con: Francesco Atzeni

Supponiamo di avere una funzione f(x) e di voler trovare quella funzione F(x) tale che la sua derivata sia uguale a f(x), allora si puรฒ concludere che:

F'(x) = f(x)

In matematica si dice che F(x) รจ la primitiva di f(x), ciรฒ significa che derivando F(x) si ottiene f(x).

Provando a essere piรน formali si puรฒ dire quanto segue:

Siano date due funzioni \mathbf{f(x)} e \mathbf{F(x)}, si diche che \mathbf{F(x)} รจ primitiva di \mathbf{f(x)} se รจ vero che \mathbf{F'(x) = f(x)}.

A questo punto il matematico, che ormai sa come puรฒ calcolare la derivata, si potrebbe chiedere come puรฒ, data la derivata, risalire alla funzione primitiva. Il matematico si ricorda il concetto di derivata (di cui abbiamo giร  discusso il significato geometrico) e si ricorda che vale quanto segue:

f'(x) = \frac{df(x)}{dx}

Egli รจ perรฒ interessato a trovare f(x) e quindi, volendosi avvicinare un po’, lo riscrive come segue:

df(x) = f'(x) \cdot dx

A questo punto il matematico, volendo trovare f(x), definisce un operatore, chiamato integrale indefinito e con simbolo \int, in modo che gli consenta di risalire alla primitiva di f'(x). Tale operatore deve rendere il matematico libero dal differenziale infinitesimo su f(x), trasformando df(x) in f(x). Se un tale operatore esistesse e dovesse essere applicato a sinistra e a destra della precedente equazione si otterrebbe:

\int df(x) =ย  \int f'(x) \cdot dx

Ovvero:

f(x) =ย  \int f'(x) \cdot dx

A questo punto ci si potrebbe chiedere che senso ha quello che รจ stato appena scritto dal punto di vista geometrico.

Cerchiamo di capirlo facendo un piccolo esempio. Sappiamo bene che per la funzione f(x) = x^2 la derivata รจ facilmente calcolabile ed รจ pari a f'(x) = 2x. Inoltre รจ evidente che se g(x) = 2x la primitiva G(x) = x^2, poichรจ G'(x) = g(x) = 2x.

integrale.png
Figura 1. Rappresentazione della funzione f(x) = x^2 (in verde) e della sua funzione derivata f'(x) = 2x (in blu)

In Figura 1. viene rappresentata la funzione f(x) = x^2 e la sua funzione derivata f'(x) = 2x. Dalla figura possiamo evincere che, per una derivata calcolata in un qualunque x_0, la quantitร  df(x) รจ pari all’area del rettangolo arancione, poichรจ รจ stato detto poco prima che:

df(x) = f'(x) \cdot dx

Il potere dell’operatore integrale รจ quello di risalire al valore della funzione primitiva, punto per punto, di una generica funzione e quindi quello di trasformare l’area del rettangolino f'(x) \cdot dx nel valore f(x) e di fare questo lavoro punto per punto, per ogni valore di x_0, in un intervallo pari al campo di esistenza della funzione da integrare. L’integrale indefinito, dati gli indizi del prodotto f'(x) \cdot dx, รจ in grado di risalire alla funzione che lo ha generato. Il risultato รจ quello di ottenere una funzione, la quale รจ primitiva di quella nell’argomento dell’integrale. Un altro modo di vedere l’integrale indefinito รจ quello di un operatore che si comporta da puntuale (nel senso di punto per punto) rintracciatore della funzione (primitiva) la cui tangente, nel punto x_0 dato, รจ la retta con pendenza f'(x_0). Quindi se la funzione derivata f'(x) ha, per ogni x, valori corrispondenti ai coefficienti angolari di tutte le rette tangenti a f(x), l’integrale รจ in grado di snocciolare al contrario l’enigma, trovando quella forma di funzione f(x) che, per ogni punto, ha rette tangenti con coefficienti angolari pari a f'(x). Inoltre se la derivata รจ un limite di un rapporto incrementale, l’integrale รจ quell’ operatore che sfrutta le informazioni contenute nel limite del rapporto incrementale per indovinare quella funzione che, per quell’ x_0, avrebbe potuto dare quel risultato.

A questo punto il matematico potrebbe obiettare quanto segue:

  • se รจ vero che la funzione derivata di f(x) = x^2 รจ pari a f'(x) = 2x non รจ proprio vero che se g(x) = 2x la primitiva รจ G(x) = x^2;
  • infatti se g(x) = 2x la primitiva puรฒ essere G(x) = x^2 ma anche G_1(x) = x^2 + 1, G_2(x) = x^2 - 3, G_2(x) = x^2 +7/2 etc, poichรจ anche in questo caso G'(x) = g(x) = 2x
  • In generale si puรฒ dire che se g(x) = 2x la primitiva รจ G(x) = x^2 + c conย c \in \mathbb{R}

Quindi la:

f(x) =ย  \int f'(x) \cdot dx

Va corretta come segue:

f(x) + c =ย  \int f'(x) \cdot dx con c \in \mathbb{R}

In generale si dice come di seguito.

Si dice integrale indefinito l’operatore che, data la funzione f(x), รจ in grado di trovare la famiglia delle primitive di f(x) stessa, ovvero:

\int f(x) \cdot dx = F(x) + cย  ย  conย  ย  c \in \mathbb{R}

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