Come risolvere esercizio n°87 pag. 447 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)

Testo

Determinare il valore di k affinché l’iperbole di equazione \( \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{1+k} = 1 \) sia tangente alla retta di equazione \( 4x – 9y – 6 = 0 \).

Soluzione

Si prenda in considerazione il sistema:

\( \left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{1+k} = 1 \\ 4x – 9y – 6 = 0 \end{matrix}\right. \)

Da esso si può ottenere:

\( \frac{x^2}{9}-\frac{(\frac{4}{9}x- \frac{2}{3})^2}{1+k} = 1 \rightarrow \)

\( \frac{x^2}{9}-\frac{\frac{16}{81}x^2 – \frac{16}{27}x + \frac{4}{9}}{1+k} = 1 \rightarrow \)

\( \frac{x^2(1+k)-\frac{16}{9}x^2 + \frac{16}{3}x – 4}{9(1+k)} = 1 \rightarrow \)

\( x^2(1+k)-\frac{16}{9}x^2 + \frac{16}{3}x – 4 = 9(1+k) \rightarrow \)

\( (k- \frac{7}{9})x^2 + \frac{16}{3} x+(-9k-13)=0 \)

Di cui deve essere \( \Delta = 0 \) e quindi:

\( \Delta = b^2 -4ac = (\frac{16}{3})^2 – 4(k- \frac{7}{9})(-9k-13)=0 \)

Da cui:

\( \frac{256}{9} – 4(-9k^2 – 13k + 7k + \frac{91}{9})=0 \rightarrow \)

\( 256 +324k^2 +468k – 252k -364=0 \rightarrow \)

\( 324k^2 +216k -108=0 \rightarrow \)

E semplificando con 4 si ottiene:

\( 81k^2 +54k -27=0 \rightarrow \)

I valori di k soluzione di questa equazione di secondo grado sono:

\( k_{1,2} = \frac{-54 \pm \sqrt{2916 – 4 (81)(-27)}}{162} \rightarrow k_1 = \frac{1}{3}, k_2 = -1 \)

Di cui l’unica soluzione ammessa è:

\( k_1 = \frac{1}{3} \)

In definitiva l’iperbole è:

\( \frac{x^2}{9}-\frac{3y^2}{4} = 1 \)

Di cui la rappresentazione, con annessa retta tangente, è nella figura seguente:

Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo a questo esercizio:

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