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Esercizi svolti geometria analitica Matematica

Come risolvere esercizio n°87 pag. 447 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)

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Testo

Determinare il valore di k affinché l’iperbole di equazione \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{1+k} = 1 sia tangente alla retta di equazione 4x - 9y - 6 = 0.

Soluzione

Si prenda in considerazione il sistema:

\left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{1+k} = 1 \\ 4x - 9y - 6 = 0 \end{matrix}\right.

Da esso si può ottenere:

\frac{x^2}{9}-\frac{(\frac{4}{9}x- \frac{2}{3})^2}{1+k} = 1 \rightarrow

\frac{x^2}{9}-\frac{\frac{16}{81}x^2 - \frac{16}{27}x + \frac{4}{9}}{1+k} = 1 \rightarrow

\frac{x^2(1+k)-\frac{16}{9}x^2 + \frac{16}{3}x - 4}{9(1+k)} = 1 \rightarrow

x^2(1+k)-\frac{16}{9}x^2 + \frac{16}{3}x - 4 = 9(1+k) \rightarrow

(k- \frac{7}{9})x^2 + \frac{16}{3} x+(-9k-13)=0

Di cui deve essere \Delta = 0 e quindi:

\Delta = b^2 -4ac = (\frac{16}{3})^2 - 4(k- \frac{7}{9})(-9k-13)=0

Da cui:

\frac{256}{9} - 4(-9k^2 - 13k + 7k + \frac{91}{9})=0 \rightarrow

256 +324k^2 +468k - 252k -364=0 \rightarrow

324k^2 +216k -108=0 \rightarrow

E semplificando con 4 si ottiene:

81k^2 +54k -27=0 \rightarrow

I valori di k soluzione di questa equazione di secondo grado sono:

k_{1,2} = \frac{-54 \pm \sqrt{2916 - 4 (81)(-27)}}{162} \rightarrow k_1 = \frac{1}{3}, k_2 = -1

Di cui l’unica soluzione ammessa è:

k_1 = \frac{1}{3}

In definitiva l’iperbole è:

\frac{x^2}{9}-\frac{3y^2}{4} = 1

Di cui la rappresentazione, con annessa retta tangente, è nella figura seguente:

iperbole.png

Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo a questo esercizio:

Esercizion87pagina4473Matematica.azzurroconTutorSecondaEdizione

 

Di Andrea

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