Come risolvere esercizio n°1 pag. 388 (Le traiettorie della fisica Azzurro, seconda edizione)

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Testo

Un bottiglione di vetro da 2,0L è pieno fino all’orlo di olio d’oliva alla temperatura di 10°C. Successivamente la temperatura aumenta fino a 30°C.

Quanto olio in $cm^3$ trabocca dalla bottiglia?
Calcola in percentuale la variazione della densità di olio d’oliva per la stessa variazione di temperatura.

Conoscenze necessarie

Viene richiesta la conoscenza:

delle formule di dilatazione termica;
delle percentuali;
del concetto di densità.

Soluzione

Richiesta 1

Vale la seguente formula applicata al nostro caso:

$ V_{olio,30} =V_{olio,10} (1+\alpha_{olio} \Delta t)$

In cui:

$ V_{olio,30} $ è il volume dell’olio alla temperatura di 30°C
$ V_{olio,10}$ è il volume dell’olio alla temperatura di 10°C
$ \Delta t $ è la differenza tra temperatura iniziale e finale e quindi pari a 20°C
$ \alpha_{olio}$ è il coefficiente di dilatazione volumica dell’olio, pari a $ 7.2 \cdot 10^{-4 \circ}C^{-1} $

Sapendo che:

$ 1L=1dm^3 $

Risulta chiaro che:

$ 1L=1000cm^3 $

Di conseguenza si può dire che:

$ V_{olio,10}=2 \cdot 10^3 cm^3 $

Quindi:

$ V_{olio,30} = 2 \cdot 10^3 cm^3 \cdot (1 + 7.2 \cdot 10^{-4 \circ}C^{-1} \cdot 20^{\circ}C) = 2’028.8 cm^3 $

E allora si ha che:

$ \Delta V_{olio} = V_{olio,30} – V_{olio,10} = 28.8 cm^3 $

Tuttavia anche la bottiglia di vetro si dilata, e quindi:

$ V_{vetro,30} =V_{vetro,10} (1+\alpha_{vetro} \Delta t) $

In cui:

$ V_{vetro,30}$ è il volume del vetro alla temperatura di 30°C
$ V_{vetro,10} $ è il volume del vetro alla temperatura di 10°C
$ \Delta t $ è la differenza tra temperatura iniziale e finale e quindi pari a 20°C
$ \alpha_{vetro} $ è il coefficiente di dilatazione volumica del vetro, pari a $ 3\lambda $. Si sa che per il vetro $ \lambda = 9 \cdot 10^{-6 \circ}C^{-1} $

Quindi:

$ V_{vetro,30} = 2 \cdot 10^3 cm^3 \cdot (1 + 3 \cdot 9 \cdot 10^{-4 \circ}C^{-1} \cdot 20^{\circ}C) = 2’001.08 cm^3 $

E allora si ha che:

$ \Delta V_{vetro} = V_{vetro,30} – V_{vetro,10} = 1.08 cm^3 $

Il volume dell’olio che ha traboccato sarà dato da:

$ V_{olio,traboccato} = \Delta V_{olio} – \Delta V_{vetro} = 27.72 cm^3 $

Richiesta 2

La richiesta del punto due è quella di calcolare:

$ \frac{ \Delta d_{olio}}{d_{olio,10}} \cdot 100 \% $

In cui:

$ \Delta d_{olio} $ è la variazione di densità dell’olio d’oliva
$ d_{olio,10} $ è la densità dell’olio d’oliva alla temperatura di 10°C

Poiché:

$ d_{olio,10} = \frac{m_{olio,10}}{V_{olio,10}}$

$ d_{olio,30} = \frac{m_{olio,30}}{V_{olio,30}} $

Ma:

$ m_{olio,30}=m_{olio,10} $

E allora:

$ \frac{ \Delta d_{olio}}{d_{olio,10}} \cdot 100 \% = $

$ \frac{\frac{m_{olio,30}}{V_{olio,30}}-\frac{m_{olio,10}}{V_{olio,10}}}{\frac{m_{olio,10}}{V_{olio,10}}} \cdot 100 \% = $

$ \frac{\frac{1}{V_{olio,30}}-\frac{1}{V_{olio,10}}}{\frac{1}{V_{olio,10}}} \cdot 100 \% = $

$ \frac{ \frac{1}{2.0288L} – \frac{1}{2L}}{\frac{1}{2L}} \cdot 100 \% \approx -1.4\% $

Ciò significa che la densità è diminuita dell’1.4%.

Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo a questo esercizio:

Esercizion1pas388LeTraiettorieDellaFisicaAzzurroSecondaEdizione

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Di conseguenza si può dire che:

Quindi:

E allora si ha che:

Tuttavia anche la bottiglia di vetro si dilata, e quindi:

In cui:

$V_{vetro,30}$ è il volume del vetro alla temperatura di 30°C
$V_{vetro,10}$ è il volume del vetro alla temperatura di 10°C
$\Delta t$ è la differenza tra temperatura iniziale e finale e quindi pari a 20°C
$\alpha_{vetro}$ è il coefficiente di dilatazione volumica del vetro, pari a $3\lambda$ . Si sa che per il vetro $\lambda = 9 \cdot 10^{-6 \circ}C^{-1}$