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Come risolvere esercizio N°132 pag. 1254 – 4 matematica.blu 2.0 con Tutor

Testo

Stabilisci la posizione reciproca dei piani che hanno le seguenti equazioni:

\( \alpha : x-y+2z=0; \beta : 2x – 2y + 8z + 1=0 \)

Soluzione

Per determinare la posizione reciproca dei piani si considera che i vettori perpendicolari ai piani sono dati dai loro coefficienti \( a \), \( b \) e \( c \). Si ricorda che l’equazione di un piano generico è data dalla formula:

\( ax+by+cz+d=0 \)

Il vettore perpendicolare al piano generico è dunque nella forma generica:

\( n(a;b;c) \)

Si ricorda quanto segue:

tabella piani
Tabella 1. Casistiche possibili per due piani di equazioni generiche \( a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1 = 0 \) e \( a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2 = 0 \)

Siccome è evidente che non rientrano nel caso dei coincidenti si prendano in considerazione i due vettori perpendicolari ai due piani:

\( \vec{n_1}(1;-1;2), \vec{n_2}(2;-2;8) \)

Per calcolare il prodotto scalare tra i due vettori basta procedere come segue:

\( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(2) + (-1)(-2) + (2)(8) = 2 + 2 + 8 = 12 \)

Quindi i due piani sono secanti.