Matematica

Come risolvere esercizio N°140a pag. 1255 (4 matematica.blu 2.0 con Tutor)

Autore articolo Di Andrea
Data dell'articolo 15 Marzo 2020

Reading Time: 2 minutes

Testo

Completa in modo che i piani $\alpha$ e $\beta$ siano perpendicolari:

$\alpha : x+y-4=0; \beta : 4x+\blacksquare y + \blacksquare z=0$

Soluzione

Per stabilire la posizione reciproca dei piani si considera che i vettori perpendicolari ai piani sono dati dai loro coefficienti $a$ , $b$ e $c$ . Si ricorda che l’equazione di un piano generico è data dalla formula:

$ax+by+cz+d=0$

Il vettore perpendicolare al piano generico è dunque nella forma generica:

$n(a;b;c)$

Si ricorda quanto segue:

tabella piani — Tabella 1. Casistiche possibili per due piani di equazioni generiche $a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1 = 0$ e $a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2 = 0$

a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1 = 0 — Tabella 1. Casistiche possibili per due piani di equazioni generiche $a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1 = 0$ e $a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2 = 0$

Si prendano in considerazione i due vettori perpendicolari ai due piani:

$\vec{n_1}(1;1;-4), \vec{n_2}(4;n_y;n_z)$

Deve ora essere imposto che il prodotto scalare tra i due vettori sia uguale a zero:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(4) + (1)(n_y) + (-4)(n_z) = 4 + n_y - n_z = 0$

Quindi:

$n_{y} = 4 (n_{z} -1)$

A questo punto basta scegliere $n_z$ a piacere e calcolare $n_y$ dalla formula. Scegliamo per esempio:

$n_{z} = 0$

Ciò significa che:

$n_{y} = 4 (0 -1) = -4$

Quindi uno dei piani perpendicolari a $x+y-4=0$ è per esempio:

$4x-4y=0$

Per verificare che la soluzione sia corretta basta ricalcolare il prodotto scalare $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ e verificare che è uguale a zero.

Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo a questo esercizio:

ese140pag1255-4matematica.blu2.0

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Tag normale, perpendicolare, perpendicolari, piani, prodotto, scalare, vettore, vettori

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