Testo
Completa in modo che i piani \( \alpha\) e \( \beta\) siano perpendicolari:
\(\alpha : x+y-4=0; \beta : 4x+\blacksquare y + \blacksquare z=0\)
Soluzione
Per stabilire la posizione reciproca dei piani si considera che i vettori perpendicolari ai piani sono dati dai loro coefficienti \(a\), \(b\) e \(c\). Si ricorda che l’equazione di un piano generico è data dalla formula:
\( ax+by+cz+d=0\)
Il vettore perpendicolare al piano generico è dunque nella forma generica:
\( n(a;b;c)\)
Si ricorda quanto segue:
Si prendano in considerazione i due vettori perpendicolari ai due piani:
\( \vec{n_1}(1;1;-4), \vec{n_2}(4;n_y;n_z)\)
Deve ora essere imposto che il prodotto scalare tra i due vettori sia uguale a zero:
\( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(4) + (1)(n_y) + (-4)(n_z) = 4 + n_y – n_z = 0\)
Quindi:
\(n_{y} = 4 (n_{z} -1)\)
A questo punto basta scegliere \( n_z\) a piacere e calcolare \( n_y\) dalla formula. Scegliamo per esempio:
\(n_{z} = 0\)
Ciò significa che:
\( n_{y} = 4 (0 -1) = -4\)
Quindi uno dei piani perpendicolari a\( x+y-4=0\) è per esempio:
\( 4x-4y=0\)
Per verificare che la soluzione sia corretta basta ricalcolare il prodotto scalare \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0\) e verificare che è uguale a zero.
Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo a questo esercizio:
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