Categorie
Esercizi svolti Matematica probabilità

Come risolvere sercizio n°178 pag.573 – LA matematica a colori Algebra 2 EDIZIONE BLU

Reading Time: 2 minutes In questo esercizio svolto viene calcolata la probabilità di pescare una certa quantità di biglie dello stesso colore consecutivamente da un’urna, contentente biglie di due colori diversi.

Reading Time: 2 minutes

Testo

Un urna contiene 5 biglie rosse e 10 bianche. Si estraggono dall’urna, successivamente, due biglie, senza rimettere nell’urna la prima biglia estratta. Determina la probabilità:

  1. Di estrarre due biglie rosse;
  2. di estrarre due biglie dello stesso colore;
  3. di estrarre due biglie di colori diversi.
gray ceramic jar with lid and brown thread

Soluzione

Punto 1

Si vuole determinare quale è la probabilita di estrarre due biglie rosse e cioè che la prima estrazione sia di biglia rossa e la seconda estrazione sia anche essa di biglia rossa. Chiamiamo l’evento di prima estrazione \( E_1\) e l’evento di seconda estrazione \( E_2\). Chiamiamo il risultato \( R\) se l’estrazione ha dato esito “pallina rossa” e invece chiamiamo il risultato \( B\) se l’estrazione ha dato esito “pallina bianca”.

Vogliamo calcolare:

\( p(E_1=R \cap E_2 = R)\)

Si può osservare come i due eventi di estrazione sono tra loro indipendenti, nel senso che non c’è nessuna ragione di pensare che il primo evento di estrazione influenzi il secondo evento di estrazione. Ogni volta che c’è un evento di estrazione questo evento è da interpretarsi come evento isolato, indipendente dal precedente. Sono due eventi diversi perchè il numero delle palline nell’urna è diverso ma ciò non significa che i due eventi si influenzino vicendevolmente.

Per calcolare la probabilità richiesta si considera che essa è uguale a:

\( p(E_1=R) \cdot p(E_2=R)\)

E che:

\( p(E_1=R) = \frac{5}{15}\)

e:

\( p(E_2=R) = \frac{4}{14}\)

E quindi:

\( p(E_1=R \cap E_2 = R) = p(E_1=R) \cdot p(E_2=R) = \frac{2}{21}\)

Punto 2

Si vuole determinare quale è la probabilita di estrarre due biglie dello stesso colore e cioè che la prima estrazione sia di una biglia rossa o bianca e la seconda estrazione sia dello stesso colore della precedente.

La probabilità da calcolare è dunque:

\( p((E_1=R \cap E_2 = R) \cup (E_1=B \cap E_2 = B))\)

Questa formula esprime dunque la probabilità che i due eventi di estrazione diano esito entrambe rosse oppure entrambe bianche. Il simbolo unione \( \cup\) rende il concetto proposto dalla congiunzione “oppure”, mentre il simbolo intersezione \( \cap\) rende il concetto proposto dalla congiunzione “e”.

Quindi la precedente è uguale a:

\( p(E_1=R) \cdot p(E_2=R)  + p(E_1=B) \cdot p(E_2=B)\)

In cui:

\( p(E_1=B) = \frac{10}{15}\)

e:

\( p(E_1=R) = \frac{9}{14}\)

Da cui svolgendo tutti i calcoli si può concludere che:

\( p((E_1=R \cap E_2 = R) \cup (E_1=B \cap E_2 = B)) = \frac {11}{21}\)

Punto 3

Chiamiamo \( E_{P2}\) l’evento complessivo calcolato al punto due e cioè l’estrazione di due biglie dello stesso colore. La probabilità ricercata in questo punto è la complementare di quella calcolata al punto 2 e cioè:

\( p(\bar{E}_{P2}) = 1 – p(E_{P2}) = 1 – \frac {11}{21} = \frac {10}{21} \)

Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo a questo esercizio:

Esercizion178pag573-LA matematica a colori Algebra 2 EDIZIONE BLU

Di Andrea

PhD student | Biomedical Engineer | Telemedicine | Telerehabilitation | Investor