Sistema di riferimento ruotato

Sia dato un sistema di riferimento cartesiano fisso di assi \( x\) e \( y\).
Si consideri ora un sistema di riferimento ruotato rispetto al fisso di un angolo \( \alpha\) con assi \( x_r\) e \( y_r\).
Si ipotizzi di avere anche un vettore \( \vec{v}\) e che si voglia sfruttare le sue componenti \( \vec{v}_{x_r}\) e \( \vec{v}_{y_r}\) per risalire alle sue componenti sul sistema di riferimento fisso.

Nella figura seguente è rappresentato il caso appena discusso.

Come si nota dalla Figura 1 il vettore \( \vec{v}\) può essere espresso come combinazione lineare dei vettori \(\vec{v}_{x_r}\) e \( \vec{v}_{y_r}\), i quali sono le componenti del vettore \( \vec{v}\) sul sistema di riferimento ruotato; oppure come combinazione lineare di due vettori (non rappresentati nella medesima figura) che chiameremo \( \vec{v}_{x}\) e \( \vec{v}_{y}\), i quali sarebbero le componenti del vettore \( \vec{v}\) sul sistema di riferimento fisso.
Il vettore \( \vec{v}\) può essere espresso come combinazione lineare dei vettori \( \vec{v}_{x_r}\) e \( \vec{v}_{y_r}\), come di seguito:

\( \vec{v} = \vec{v}_{x_r} + \vec{v}_{y_r}\)

Dei vettori \( \vec{v}_{x_r}\) e \( \vec{v}_{y_r}\) si sa anche che:

\( \vec{v}_{x_r} = v_{x_r} \vec{i}_{r}\) e \( \vec{v}_{y_r} = v_{y_r} \vec{j}_{r}\)

In cui:

• \( \vec{i}_{r}\) è il versore (vettore di lunghezza unitaria) che giace sull’asse \( x_r\)
• \( \vec{j}_{r}\) è il versore (vettore di lunghezza unitaria) che giace sull’asse \( y_r\)
• \( v_{x_r}\) è il modulo del vettore \(\vec{v}_{x_r}\)
• \( v_{y_r}\) è il modulo del vettore \( \vec{v}_{y_r}\)

Dalle precedenti formule si può concludere che \( \vec{v}\) può essere anche espresso come:

\( \vec{v}=v_{x_r} \vec{i}_{r} + v_{y_r} \vec{j}_{r}\)

I vettori \( v_{x_r}\) e \( v_{y_r}\) hanno componenti sul sistema di riferimento fisso, come rappresentato nella Figura 1. Si possono esprimere le componenti \( \vec{v}_{x}\) e \( \vec{v}_{y}\), le quali sono le componenti del vettore \( \vec{v}\) sul sistema di riferimento fisso, sommando vettorialmente la scomposizione dei vettori \( v_{x_r}\) e \( v_{y_r}\) sul sistema di riferimento fisso.
Infatti risulta vero, per costruzione, che:

\( \vec{v}_{x} = ( \vec{v}_{x_r} cos \alpha – \vec{v}_{y_r} sin \alpha ) \vec{i}\) e \( \vec{v}_{y} = ( \vec{v}_{x_r} sin \alpha + \vec{v}_{y_r} cos\alpha ) \vec{j}\)

Inoltre si può osservare che il vettore \( \vec{v}\) può essere espresso anche come segue:

\( \vec{v} =\vec{v}_{x}+\vec{v}_{y}\)

La quale sarebbe la somma vettoriale delle componenti di v ⃗ sul sistema di riferimento fisso.
Dalle precedenti si può osservare anche che:

\( \vec{v} = v_{x} \vec{i} + v_{y} \vec{j}\)

In cui:

• \( \vec{i}\) è il versore (vettore di lunghezza unitaria) che giace sull’asse \( x\) del sistema di riferimento fisso;
• \( \vec{j}\) è il versore (vettore di lunghezza unitaria) che giace sull’asse \( y\) del sistema di riferimento fisso;
• \( v_{x}\) è il modulo del vettore \( \vec{v}_{x}\), il quale è la scomposizione di \( \vec{v}\) sull’asse delle ascisse del sistema di riferimento fisso;
• \( v_{y}\) è il modulo del vettore \( \vec{v}_{x}\), il quale è la scomposizione di \( \vec{v}\) sull’asse delle ordinate del sistema di riferimento fisso.

Ciò significa che:

\( \vec {v} = (v_{x_r} cos \alpha – v_{y_r} sin \alpha) \vec {i} + v_{x_r} sin \alpha + v_{y_r} cos \alpha) \vec{j}\)

E quindi che:

\( v_{x} = (v_{x_r} cos \alpha – v_{y_r} sin \alpha); v_{y} = (v_{x_r} sin \alpha + v_{y_r} cos \alpha)\)

Da cui si può osservare che:

\( \begin{bmatrix} v_x\\ v_y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{x_r}\\ v_{y_r}\end{bmatrix}\)

Infatti:

\( \begin{bmatrix} cos\alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{x_r}\\ v_{y_r}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\alpha v_{x_r} -sin \alpha v_{y_r}\\ sin \alpha v_{x_r} + cos \alpha v_{y_r} \end{bmatrix}\)

E quindi:

\( \begin{bmatrix} v_{x}\\ v_{y}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\alpha v_{x_r} -sin \alpha v_{y_r}\\ sin \alpha v_{x_r} + cos \alpha v_{y_r} \end{bmatrix}\)

In definitiva si può affermare che:

\( \vec{v} = \mathbf{R}_\alpha \vec{v}_r\)

Da questa conclusione si evince che si può risalire alle componenti di un vettore v ⃗ sul sistema di riferimento fisso, laddove si abbiano solamente le sue coordinate rispetto a un sistema di riferimento ruotato e sia dato l’angolo di rotazione tra i due sistemi di riferimento.
Inoltre è possibile fare il contrario e cioè risalire alle coordinate di v ⃗ sul sistema di riferimento ruotato, date le coordinate sul sistema di riferimento fisso e conoscendo la rotazione α, attuando una moltiplicazione a destra e a sinistra per la matrice di rotazione inversa.
Cioè:

\( \mathbf{R}_\alpha^{-1} \vec{v} = \mathbf{R}_\alpha^{-1} \mathbf{R}_\alpha \vec{v}_r \rightarrow\)

\( \vec{v}_r = \mathbf{R}_\alpha^{-1} \vec{v}\)

I calcoli sulla rotazione dei sistemi di riferimento sono estremamente utili in meccanica e in meccatronica. In robotica, per esempio, consentono di risalire alla posizione relativa e assoluta di un arto robotico, quando siano note le rotazioni relative e le lunghezze dei segmenti costituenti l’arto robotico.

Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo a questa discussione:

Rotazione del sistema di riferimento