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Sistema di riferimento ruotato

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Sia dato un sistema di riferimento cartesiano fisso di assi x e y.
Si consideri ora un sistema di riferimento ruotato rispetto al fisso di un angolo \alpha con assi x_r e y_r.
Si ipotizzi di avere anche un vettore \vec{v} e che si voglia sfruttare le sue componenti \vec{v}_{x_r} e \vec{v}_{y_r} per risalire alle sue componenti sul sistema di riferimento fisso.

Nella figura seguente è rappresentato il caso appena discusso.

rotazione SDR
Figura1. Rappresentazione del sistema di riferimento fisso e di quello ruotato. Viene mostrato un vettore \vec{v} in rosso e le sue componenti nel sistema di riferimento ruotato in verde scuro. In verde acqua e in fucsia sono mostrate rispettivamente le componenti dei vettori \vec{v}_{x_r} e \vec{v}_{y_r} rispetto al sistema di riferimento fisso.

Come si nota dalla Figura 1 il vettore \vec{v} può essere espresso come combinazione lineare dei vettori \vec{v}_{x_r} e \vec{v}_{y_r}, i quali sono le componenti del vettore \vec{v} sul sistema di riferimento ruotato; oppure come combinazione lineare di due vettori (non rappresentati nella medesima figura) che chiameremo \vec{v}_{x} e \vec{v}_{y}, i quali sarebbero le componenti del vettore \vec{v} sul sistema di riferimento fisso.
Il vettore \vec{v} può essere espresso come combinazione lineare dei vettori \vec{v}_{x_r} e \vec{v}_{y_r}, come di seguito:

\vec{v} = \vec{v}_{x_r} + \vec{v}_{y_r}

Dei vettori \vec{v}_{x_r} e \vec{v}_{y_r} si sa anche che:

\vec{v}_{x_r} = v_{x_r} \vec{i}_{r} e \vec{v}_{y_r} = v_{y_r} \vec{j}_{r}

In cui:

  • \vec{i}_{r} è il versore (vettore di lunghezza unitaria) che giace sull’asse x_r
  • \vec{j}_{r} è il versore (vettore di lunghezza unitaria) che giace sull’asse y_r
  • v_{x_r} è il modulo del vettore \vec{v}_{x_r}
  • v_{y_r} è il modulo del vettore \vec{v}_{y_r}

Dalle precedenti formule si può concludere che \vec{v} può essere anche espresso come:

\vec{v}=v_{x_r} \vec{i}_{r} + v_{y_r} \vec{j}_{r}

I vettori v_{x_r} e v_{y_r} hanno componenti sul sistema di riferimento fisso, come rappresentato nella Figura 1. Si possono esprimere le componenti \vec{v}_{x} e \vec{v}_{y}, le quali sono le componenti del vettore \vec{v} sul sistema di riferimento fisso, sommando vettorialmente la scomposizione dei vettori v_{x_r} e v_{y_r} sul sistema di riferimento fisso.
Infatti risulta vero, per costruzione, che:

\vec{v}_{x} = ( \vec{v}_{x_r} cos \alpha - \vec{v}_{y_r} sin \alpha ) \vec{i} e \vec{v}_{y} = ( \vec{v}_{x_r} sin \alpha + \vec{v}_{y_r} cos\alpha ) \vec{j}

Inoltre si può osservare che il vettore \vec{v} può essere espresso anche come segue:

\vec{v} =\vec{v}_{x}+\vec{v}_{y}

La quale sarebbe la somma vettoriale delle componenti di v ⃗ sul sistema di riferimento fisso.
Dalle precedenti si può osservare anche che:

\vec{v} = v_{x} \vec{i} + v_{y} \vec{j}

In cui:

  • \vec{i} è il versore (vettore di lunghezza unitaria) che giace sull’asse x del sistema di riferimento fisso;
  • \vec{j} è il versore (vettore di lunghezza unitaria) che giace sull’asse y del sistema di riferimento fisso;
  • v_{x} è il modulo del vettore \vec{v}_{x}, il quale è la scomposizione di \vec{v} sull’asse delle ascisse del sistema di riferimento fisso;
  • v_{y} è il modulo del vettore \vec{v}_{x}, il quale è la scomposizione di \vec{v} sull’asse delle ordinate del sistema di riferimento fisso.

Ciò significa che:

\vec {v} = (v_{x_r} cos \alpha - v_{y_r} sin \alpha) \vec {i} + v_{x_r} sin \alpha + v_{y_r} cos \alpha) \vec{j}

E quindi che:

v_{x} = (v_{x_r} cos \alpha - v_{y_r} sin \alpha); v_{y} = (v_{x_r} sin \alpha + v_{y_r} cos \alpha)

Da cui si può osservare che:

\begin{bmatrix} v_x\\ v_y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{x_r}\\ v_{y_r}\end{bmatrix}

Infatti:

\begin{bmatrix} cos\alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{x_r}\\ v_{y_r}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\alpha v_{x_r} -sin \alpha v_{y_r}\\ sin \alpha v_{x_r} + cos \alpha v_{y_r} \end{bmatrix}

E quindi:

\begin{bmatrix} v_{x}\\ v_{y}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\alpha v_{x_r} -sin \alpha v_{y_r}\\ sin \alpha v_{x_r} + cos \alpha v_{y_r} \end{bmatrix}

In definitiva si può affermare che:

\vec{v} = \mathbf{R}_\alpha \vec{v}_r

Da questa conclusione si evince che si può risalire alle componenti di un vettore v ⃗ sul sistema di riferimento fisso, laddove si abbiano solamente le sue coordinate rispetto a un sistema di riferimento ruotato e sia dato l’angolo di rotazione tra i due sistemi di riferimento.
Inoltre è possibile fare il contrario e cioè risalire alle coordinate di v ⃗ sul sistema di riferimento ruotato, date le coordinate sul sistema di riferimento fisso e conoscendo la rotazione α, attuando una moltiplicazione a destra e a sinistra per la matrice di rotazione inversa.
Cioè:

\mathbf{R}_\alpha^{-1} \vec{v} = \mathbf{R}_\alpha^{-1} \mathbf{R}_\alpha \vec{v}_r \rightarrow

\vec{v}_r = \mathbf{R}_\alpha^{-1} \vec{v}

I calcoli sulla rotazione dei sistemi di riferimento sono estremamente utili in meccanica e in meccatronica. In robotica, per esempio, consentono di risalire alla posizione relativa e assoluta di un arto robotico, quando siano note le rotazioni relative e le lunghezze dei segmenti costituenti l’arto robotico.

Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo a questa discussione:

Rotazione del sistema di riferimento

Di Andrea

PhD student | Biomedical Engineer | Telemedicine | Telerehabilitation | Investor