Sia dato un sistema di riferimento cartesiano fisso di assi e
.
Si consideri ora un sistema di riferimento ruotato rispetto al fisso di un angolo con assi
e
.
Si ipotizzi di avere anche un vettore e che si voglia sfruttare le sue componenti
e
per risalire alle sue componenti sul sistema di riferimento fisso.
Nella figura seguente è rappresentato il caso appena discusso.

Come si nota dalla Figura 1 il vettore può essere espresso come combinazione lineare dei vettori
e
, i quali sono le componenti del vettore
sul sistema di riferimento ruotato; oppure come combinazione lineare di due vettori (non rappresentati nella medesima figura) che chiameremo
e
, i quali sarebbero le componenti del vettore
sul sistema di riferimento fisso.
Il vettore può essere espresso come combinazione lineare dei vettori
e
, come di seguito:
Dei vettori e
si sa anche che:
e
In cui:
è il versore (vettore di lunghezza unitaria) che giace sull’asse
è il versore (vettore di lunghezza unitaria) che giace sull’asse
è il modulo del vettore
è il modulo del vettore
Dalle precedenti formule si può concludere che può essere anche espresso come:
I vettori e
hanno componenti sul sistema di riferimento fisso, come rappresentato nella Figura 1. Si possono esprimere le componenti
e
, le quali sono le componenti del vettore
sul sistema di riferimento fisso, sommando vettorialmente la scomposizione dei vettori
e
sul sistema di riferimento fisso.
Infatti risulta vero, per costruzione, che:
e
Inoltre si può osservare che il vettore può essere espresso anche come segue:
La quale sarebbe la somma vettoriale delle componenti di v ⃗ sul sistema di riferimento fisso.
Dalle precedenti si può osservare anche che:
In cui:
è il versore (vettore di lunghezza unitaria) che giace sull’asse
del sistema di riferimento fisso;
è il versore (vettore di lunghezza unitaria) che giace sull’asse
del sistema di riferimento fisso;
è il modulo del vettore
, il quale è la scomposizione di
sull’asse delle ascisse del sistema di riferimento fisso;
è il modulo del vettore
, il quale è la scomposizione di
sull’asse delle ordinate del sistema di riferimento fisso.
Ciò significa che:
E quindi che:
Da cui si può osservare che:
Infatti:
E quindi:
In definitiva si può affermare che:
Da questa conclusione si evince che si può risalire alle componenti di un vettore v ⃗ sul sistema di riferimento fisso, laddove si abbiano solamente le sue coordinate rispetto a un sistema di riferimento ruotato e sia dato l’angolo di rotazione tra i due sistemi di riferimento.
Inoltre è possibile fare il contrario e cioè risalire alle coordinate di v ⃗ sul sistema di riferimento ruotato, date le coordinate sul sistema di riferimento fisso e conoscendo la rotazione α, attuando una moltiplicazione a destra e a sinistra per la matrice di rotazione inversa.
Cioè:
I calcoli sulla rotazione dei sistemi di riferimento sono estremamente utili in meccanica e in meccatronica. In robotica, per esempio, consentono di risalire alla posizione relativa e assoluta di un arto robotico, quando siano note le rotazioni relative e le lunghezze dei segmenti costituenti l’arto robotico.
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Rotazione del sistema di riferimento
PhD student | Biomedical Engineer | Telemedicine | Telerehabilitation | Investor
Andrea è un Ingegnere Biomedico, specialista nel settore della Teleriabilitazione e appassionato di tematiche economico-finanziarie. Investe regolarmente in Borsa da anni ed è ideatore e creatore di OJB.
[…] Per ragionare più profondamente sul contenuto di cui sotto si faccia riferimento a quanto precedentemente discusso in “Sistema di riferimento ruotato” […]