Sistema di riferimento ruotato

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Sia dato un sistema di riferimento cartesiano fisso di assi $x$ e $y$ .
Si consideri ora un sistema di riferimento ruotato rispetto al fisso di un angolo $\alpha$ con assi $x_r$ e $y_r$ .
Si ipotizzi di avere anche un vettore $\vec{v}$ e che si voglia sfruttare le sue componenti $\vec{v}_{x_r}$ e $\vec{v}_{y_r}$ per risalire alle sue componenti sul sistema di riferimento fisso.

Nella figura seguente è rappresentato il caso appena discusso.

Come si nota dalla Figura 1 il vettore $\vec{v}$ può essere espresso come combinazione lineare dei vettori $\vec{v}_{x_r}$ e $\vec{v}_{y_r}$ , i quali sono le componenti del vettore $\vec{v}$ sul sistema di riferimento ruotato; oppure come combinazione lineare di due vettori (non rappresentati nella medesima figura) che chiameremo $\vec{v}_{x}$ e $\vec{v}_{y}$ , i quali sarebbero le componenti del vettore $\vec{v}$ sul sistema di riferimento fisso.
Il vettore $\vec{v}$ può essere espresso come combinazione lineare dei vettori $\vec{v}_{x_r}$ e $\vec{v}_{y_r}$ , come di seguito:

$\vec{v} = \vec{v}_{x_r} + \vec{v}_{y_r}$

Dei vettori $\vec{v}_{x_r}$ e $\vec{v}_{y_r}$ si sa anche che:

$\vec{v}_{x_r} = v_{x_r} \vec{i}_{r}$ e $\vec{v}_{y_r} = v_{y_r} \vec{j}_{r}$

In cui:

$\vec{i}_{r}$ è il versore (vettore di lunghezza unitaria) che giace sull’asse $x_r$
$\vec{j}_{r}$ è il versore (vettore di lunghezza unitaria) che giace sull’asse $y_r$
$v_{x_r}$ è il modulo del vettore $\vec{v}_{x_r}$
$v_{y_r}$ è il modulo del vettore $\vec{v}_{y_r}$

Dalle precedenti formule si può concludere che $\vec{v}$ può essere anche espresso come:

$\vec{v}=v_{x_r} \vec{i}_{r} + v_{y_r} \vec{j}_{r}$

I vettori $v_{x_r}$ e $v_{y_r}$ hanno componenti sul sistema di riferimento fisso, come rappresentato nella Figura 1. Si possono esprimere le componenti $\vec{v}_{x}$ e $\vec{v}_{y}$ , le quali sono le componenti del vettore $\vec{v}$ sul sistema di riferimento fisso, sommando vettorialmente la scomposizione dei vettori $v_{x_r}$ e $v_{y_r}$ sul sistema di riferimento fisso.
Infatti risulta vero, per costruzione, che:

$\vec{v}_{x} = ( \vec{v}_{x_r} cos \alpha - \vec{v}_{y_r} sin \alpha ) \vec{i}$ e $\vec{v}_{y} = ( \vec{v}_{x_r} sin \alpha + \vec{v}_{y_r} cos\alpha ) \vec{j}$

Inoltre si può osservare che il vettore $\vec{v}$ può essere espresso anche come segue:

$\vec{v} =\vec{v}_{x}+\vec{v}_{y}$

La quale sarebbe la somma vettoriale delle componenti di v ⃗ sul sistema di riferimento fisso.
Dalle precedenti si può osservare anche che:

$\vec{v} = v_{x} \vec{i} + v_{y} \vec{j}$

In cui:

$\vec{i}$ è il versore (vettore di lunghezza unitaria) che giace sull’asse $x$ del sistema di riferimento fisso;
$\vec{j}$ è il versore (vettore di lunghezza unitaria) che giace sull’asse $y$ del sistema di riferimento fisso;
$v_{x}$ è il modulo del vettore $\vec{v}_{x}$ , il quale è la scomposizione di $\vec{v}$ sull’asse delle ascisse del sistema di riferimento fisso;
$v_{y}$ è il modulo del vettore $\vec{v}_{x}$ , il quale è la scomposizione di $\vec{v}$ sull’asse delle ordinate del sistema di riferimento fisso.

Ciò significa che:

$\vec {v} = (v_{x_r} cos \alpha - v_{y_r} sin \alpha) \vec {i} + v_{x_r} sin \alpha + v_{y_r} cos \alpha) \vec{j}$

E quindi che:

$v_{x} = (v_{x_r} cos \alpha - v_{y_r} sin \alpha); v_{y} = (v_{x_r} sin \alpha + v_{y_r} cos \alpha)$

Da cui si può osservare che:

$\begin{bmatrix} v_x\\ v_y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{x_r}\\ v_{y_r}\end{bmatrix}$

Infatti:

$\begin{bmatrix} cos\alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{x_r}\\ v_{y_r}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\alpha v_{x_r} -sin \alpha v_{y_r}\\ sin \alpha v_{x_r} + cos \alpha v_{y_r} \end{bmatrix}$

E quindi:

$\begin{bmatrix} v_{x}\\ v_{y}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\alpha v_{x_r} -sin \alpha v_{y_r}\\ sin \alpha v_{x_r} + cos \alpha v_{y_r} \end{bmatrix}$

In definitiva si può affermare che:

$\vec{v} = \mathbf{R}_\alpha \vec{v}_r$

Da questa conclusione si evince che si può risalire alle componenti di un vettore v ⃗ sul sistema di riferimento fisso, laddove si abbiano solamente le sue coordinate rispetto a un sistema di riferimento ruotato e sia dato l’angolo di rotazione tra i due sistemi di riferimento.
Inoltre è possibile fare il contrario e cioè risalire alle coordinate di v ⃗ sul sistema di riferimento ruotato, date le coordinate sul sistema di riferimento fisso e conoscendo la rotazione α, attuando una moltiplicazione a destra e a sinistra per la matrice di rotazione inversa.
Cioè:

$\mathbf{R}_\alpha^{-1} \vec{v} = \mathbf{R}_\alpha^{-1} \mathbf{R}_\alpha \vec{v}_r \rightarrow$

$\vec{v}_r = \mathbf{R}_\alpha^{-1} \vec{v}$

I calcoli sulla rotazione dei sistemi di riferimento sono estremamente utili in meccanica e in meccatronica. In robotica, per esempio, consentono di risalire alla posizione relativa e assoluta di un arto robotico, quando siano note le rotazioni relative e le lunghezze dei segmenti costituenti l’arto robotico.

Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo a questa discussione:

Rotazione del sistema di riferimento

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Di Andrea