Circuito RC (Resistenza e Condensatore) e tempo di carica del condensatore

Un circuito RC è un circuito nel quale ci sono 3 componenti principali:

• un generatore di tensione,
• una resistenza,
• un condensatore.

Un esempio di circuito RC è rappresentato nella figura seguente.

Si dice costante di tempo la seguente quantità:

\( \tau = RC \)

Si può provare che il tempo di carica o scarica, approssimativamente completa, del condensatore è di circa 5 volte la costante di tempo.

Esempio

Supponiamo di avere un condensatore di capacità \( 33 \mu F \) e un generatore di tensione pari a \( 9V \). Per poter ottenere una carica completa del condensatore in 5 secondi è necessario avere una costante di tempo \( \tau \) pari a un secondo. Per questo motivo la resistenza deve essere pari a:

\( R = \frac {\tau}{C} = \frac {1s}{33 \mu F} \approx 30.303 k \Omega \)

Di seguito viene mostrata una simulazione del circuito di Figura 1 in cui:

• \( R_1 = 30.303 k \Omega \)
• \( C_1 = 33 \mu F \)
• \( V_1 \) passa da 0V a 9V con un periodo di 10 secondi e un \( T_{on} = 5s \)

Come si può notare il comportamento del condensatore è quello di caricarsi e scaricarsi gradualmente a fronte di un improvviso cambio di tensione applicata al circuito. La curva verde mostra una gradualità nel raggiungimento della saturazione di carica del condensatore, un comportamento che può essere modellizzato tramite la seguente legge matematica:

\( V(t) = V_{in}(1- e^{- \frac{t}{ \tau }}) \)

In cui:

• \( V(t) \) è la tensione in funzione del tempo;
• \( V_{in} \) è la tensione erogata dal generatore di tensione;
• \( t \) è il tempo;
• \( \tau \) è la costante di tempo.

La curva verde mostra inoltre una gradualità nel raggiungimento scarica del condensatore, un comportamento che può essere modellizzato tramite la seguente legge matematica:

\( V(t) = V_{in}e^{- \frac{t}{ \tau }} \)

In cui:

• \( V(t) \) è la tensione in funzione del tempo;
• \( V_{in} \) è la tensione erogata dal generatore di tensione;
• \( t \) è il tempo;
• \( \tau \) è la costante di tempo.