Esercizio n.67 pag. 697 (L’Amaldi per il licei scientifici.blu – Seconda edizione)

Testo

Due distribuzioni lineari di carica sono disposte parallelamente a distanza d=2.0m l’una dall’altra. Le due densità lineari di carica sono, rispettivamente, \lambda_1 = 4.0 \cdot 10^{-3} C/m e \lambda_2 = 1.0 \cdot 10^{-3} C/m

  • Calcola il modulo del campo elettrico nel punto P equidistante tra i due fili. Quali sono direzione e verso del campo elettrico?
  • In quali punti è nullo il campo elettrico totale?

Soluzione

Punto 1

Per la risoluzione del punto 1 Si considera che il campo elettrico generato da un filo carico è:

E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon _0r}

In cui:

  • \lambda è la densità di carica lineare e si misura in C/m
  • \varepsilon _0 è la costante dielettrica del vuoto e si misura in F/m
  • r è la distanza del punto di interesse dal filo elettrico

Il campo elettrico generato da uno dei due fili risulta essere 4 volte più forte di quello generato dall’altro filo, poichè esso è direttamente proporzionale alla carica lineare del filo. Quando si valuta il campo elettrico nel punto P si deve tenere in considerazione che i vettori sono opposti e quindi l’effetto del campo elettrico più debole deve essere sottratto a quello più forte:

\left \|\vec{E}_{netto}\right \|= \left \|\vec{E_1} \right \| - \left \| \vec{E_2} \right \|

In cui:

  • \left \|\vec{E}_{netto}\right \| è il modulo del campo elettrico netto nel punto P. Il vettore \vec{E}_{netto} ha stesso verso e stessa direzione di \vec{E}_{1}
  • \left \|\vec{E}_{1}\right \| è il modulo del campo elettrico generato dal primo filo nel punto P.
  • \left \|\vec{E}_{2}\right \| è il modulo del campo elettrico generato dal secondo filo nel punto P. Il vettore \vec{E}_{2} ha verso opposto e stessa direzione di \vec{E}_{1}

Quindi:

\left \|\vec{E}_{netto}\right \|= \left \|\vec{E_1} \right \| - \left \| \vec{E_2} \right \| = \frac{\lambda_{1}}{2 \pi \varepsilon _0r_{1}} - \frac{\lambda_{2}}{2 \pi \varepsilon _0r_{2}}

Ma r_{1}=r_{2} perchè il punto P è equidistante dai due fili. Quindi:

\left \|\vec{E}_{netto}\right \|= \frac{4.0 \cdot 10^{-3} C/m}{2 \pi 8.8544 \cdot 10^{-12} F/m \cdot 1m} - \frac{1.0 \cdot 10^{-3} C/m}{2 \pi 8.8544 \cdot 10^{-12} F/m \cdot 1m} \approx  5.4 \cdot 10^7 N/C

Punto 2

Per soddisfare la richiesta si deve imporre che:

\left \|\vec{E}_{netto}\right \|= 0

Cioè:

\frac{\lambda_{1}}{2 \pi \varepsilon _0r_{1}} - \frac{\lambda_{2}}{2 \pi \varepsilon _0r_{2}} = 0

Ovvero, svolgendo i conti:

\frac{r_2}{r_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}

Quindi:

\frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{3} \rightarrow r_1 = 3 r_2

Si sa inoltre che:

d = r_1 + r_2 \rightarrow r_2 = 2 - r_1

Quindi:

r_1 = 3 (2 - r_1)

Da cui la distanza del primo filo dei punti in cui il campo elettrico totale è pari a zero è:

r_1 = \frac{6}{4} = 1.5m

Mentre la distanza dal secondo filo dei punti in cui il campo elettrico totale è pari a zero è:

r_2 = \frac{2}{4} = 0.5m

Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo a questo esercizio:

Esercizio n67 pag697 (L’Amaldi per il licei scientificiblu – Seconda edizione)

Autore: Andrea

PhD student | Biomedical Engineer | Telemedicine | Telerehabilitation | Investor

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