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Calcolo del campo elettrico generato da due cariche elettriche

Testo

Un triangolo rettangolo ha l’angolo in B di 30° e l’ipotenusa BC che misura 80.0cm. Nei vertici A e B sono fissate due cariche  \( Q_A=-2,4\mu C$ e $latex Q_B=-9,6\mu C\).

  • Disegna i campi elettrici prodotti dalle due cariche nel vertice C e calcola i moduli dei due campi
  • Disegna il campo elettrico totale in C e calcola il suo modulo

Soluzione

Per rispondere alla prima parte della prima domanda si possono disegnare i vettori in C come rappresentato nella figura seguente.

cariche a e b
Figura 1. Rappresentazione qualitativa dei vettori campo elettrico nel punto C

Prima di \( \left\|{\overrightarrow{E}}_A\right\|\) bisogna calcolare \( \overline{AC}\) e per poterlo fare si deve procedere come segue:

\( \overline{AC}=\overline{BC}\cdot {\mathrm{sin} \left(\widehat{CBA}\right)\ }=80cm\cdot {\mathrm{sin} \left(30{}^\circ \right)\ }=40cm=0,4m\)

Ora:

\( \left\|{\overrightarrow{E}}_A\right\|=k\cdot \frac{Q_A}{{\overline{AC}}^2}=9\cdot {\mathrm{10}}^9\frac{\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2}{C^2}\cdot \frac{-2,4\mu C}{{\left(0.4m\right)}^2}=1.35\cdot {\mathrm{10}}^5\frac{N}{C}\)

Per calcolare \( \left\|{\overrightarrow{E}}_B\right\|\) bisogna procedere come segue:

\( \left\|{\overrightarrow{E}}_B\right\|=k\cdot \frac{Q_B}{{\overline{CB}}^2}=9\cdot {\mathrm{10}}^9\frac{\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2}{C^2}\cdot \frac{-9,6\mu C}{{\left(0.8m\right)}^2}=1.35\cdot {\mathrm{10}}^5\frac{N}{C}\)

Come si può vedere, essendo i due campi di modulo uguale, la rappresentazione qualitativa di Figura 1 non è risultata essere soddisfacente. Per poter esser soddisfacente deve essere che i moduli di \( {\overrightarrow{E}}_{A}\) e \( {\overrightarrow{E}}_{B}\) siano di uguale lunghezza.

Ora rappresentiamo nella figura seguente una rappresentazione qualitativa della risultante \( {\overrightarrow{E}}_{A+B}\).

cariche a e b e reale lunghezza vettori
Figura 2 Rappresentazione qualitativa della somma tra i vettori campo elettrico in C generati dalle carica in A e in B

Per calcolare la somma \( {\overrightarrow{E}}_{A+B}\) bisogna trovare la lunghezza la diagonale del parallelogramma costruito. Per poterlo fare si faccia riferimento alla figura seguente

tutto in uno
Figura 3 Rappresentazione del sistema di riferimento cartesiano e componenti di  su di esso

Dalla Figura 3 risulta che, per la componente \( x\) di \( {\overrightarrow{E}}_{A+B}\):

\( \left\|{\overrightarrow{E}}_{A+B,y}\right\|=\left\|{\overrightarrow{E}}_{B,y}\right\|+\left\|{\overrightarrow{E}}_A\right\|\to \)

\( \left\|{\overrightarrow{E}}_{A+B,x}\right\|=\left\|{\overrightarrow{E}}_B\right\|\cdot {\mathrm{cos} \frac{\pi }{6}\ }=\left(1.35\cdot {\mathrm{10}}^5\frac{N}{C}\right)\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\approx 1.17\cdot {\mathrm{10}}^5\frac{N}{C}\)

E che, per la componente \( y\) di \( {\overrightarrow{E}}_{A+B}\):

\( \left\|{\overrightarrow{E}}_{A+B,y}\right\|=\left\|{\overrightarrow{E}}_{B,y}\right\|+\left\|{\overrightarrow{E}}_A\right\|\to \)

\( \left\|{\overrightarrow{E}}_{A+B,y}\right\|=\left\|{\overrightarrow{E}}_B\right\|\cdot {\mathrm{sin} \frac{\pi }{6}\ }+\left\|{\overrightarrow{E}}_A\right\|=\left(1.35\cdot {\mathrm{10}}^5\frac{N}{C}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+1.35\cdot{\mathrm{10}}^5\frac{N}{C}\to \)

\( \left\|{\overrightarrow{E}}_{A+B,y}\right\|=2.025\cdot {\mathrm{10}}^5\frac{N}{C}\)

Da cui:

\( \left\|{\overrightarrow{E}}_{A+B}\right\|=\sqrt{{\left\|{\overrightarrow{E}}_{A+B,x}\right\|}^2+{\left\|{\overrightarrow{E}}_{A+B,y}\right\|}^2}\approx 2.34\cdot {\mathrm{10}}^5\frac{N}{C}\)

Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo a questo esercizio:

Calcolo del campo elettrico generato da due cariche elettriche