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Calcolo della media, della deviazione standard e dei residui

Testo

Calcola la media e la deviazione standard per i dati seguenti sullo spessore dello strato epitassiale in micrometri: 16.8, 13.3, 11.8, 15.0, 13.2. Conferma che la somma dei residui  è zero. Illustra come useresti questo fatto per calcolare il quinto residuo conoscendo solo gli altri 4.

Soluzione

Per calcolare la media si considera che:

\(\bar{y}=\frac{\sum{y}}{n}\)

In cui \( n\) sono il numero delle osservazioni che abbiamo e  \(y \) sono le osservazioni. Quindi:

\( \bar{y}=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4+y_5}{n} =\)

\( =\frac{16.8 + 13.3 + 11.8 + 15.0 + 13.2}{5} = 14.02\)

La media è dunque : \(\bar{y}=14.02\)

Per il calcolo della deviazione standard invece si procede come segue:

\(s=\sqrt{\frac{\sum{(y-\bar{y})^2}}{n-1}} =\)

\( = \sqrt{\frac{(16.8-14.02)^2 + (13.3-14.02)^2 + (11.8-14.02)^2 + (15.0-14.02)^2 + (13.2-14.02)^2}{4}}=\)

\( = \sqrt{3.702} \approx 1.924\)

Ora dobbiamo confermare che la somma di tutti i residui è pari a zero, cioè:

\(\sum{(y-\bar{y})}=0\)

Infatti:

\( (16.8-14.02) + (13.3-14.02) + (11.8-14.02) + (15.0-14.02) + (13.2-14.02)=\)

\( =(16.8 + 13.3 + 11.8 + 15.0 + 13.2) – 5\cdot (14.02)=70.1-70.1 =0\)

Dunque supponendo di conoscere i primi quattro residui il quinto si calcola come segue:

\((y_5-\bar{y}) = (y_1-\bar{y})+(y_2-\bar{y})+(y_3-\bar{y})+(y_4-\bar{y})\)

Poiché il quinto dato può sempre essere ricavato conoscendo gli altri quattro residui i gradi di libertà dei residui sono appunto quattro e si calcolano sottraendo uno al numero dei campioni:

\(\upsilon = n-1 = 5-1 =4\)