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Calcolo della superficie totale di una piramide a base quadrata

Testo

Una piramide di base quadrata ha l’altezza lunga \( 15 \sqrt{3} cm\), che forma un angolo di 30° con l’apotema di ogni singola faccia. Determina la superficie totale del solido.

Figura 1. Piramide a base quadrata descritta dal problema

Soluzione

La superficie totale del solido è data dalla somma dell’area di 4 triangoli \( 4\cdot A_T\) (quelli sulla superficie laterale) e un quadrato \( A_Q \) (quello alla base).

Dai dati del problema si può immediatamente calcolare l’altezza di un triangolo sulla faccia laterale \( h_{t,l} \) come segue:

\( h_{t,l} = \frac {15 \sqrt{3}}{\cos{(30)}} = 30 \)

Inoltre è possibile ricavare immediatamente metà del lato del quadrato tramite la formula:

\( \frac{l}{2} = h_{t,l} \cdot \sin{(30)} = 15 \)

Per calcolare la superficie di uno dei triangoli si effettua il calcolo:

\( A_T = \frac {h_{t,l} \cdot l}{2} = \frac {30\cdot30}{2} =450 \)

Per calcolare la superficie del quadrato alla base si effettua il calcolo:

\( {A_Q = l \cdot l = 900} \)

La superficie totale \( S_{tot} \) è data da:

\( S_{tot} = 4\cdot A_T + A_Q = 4\cdot450+900 =2700\)

Quindi la superficie totale del solido è di \( 2700 cm^2 \)