Testo
Scrivere l’equazione della parabola, con asse parallelo a quello delle ordinate, avente il vertice nel punto di coordinate \( V(1 ; 0) \) e passante per il punto \( P(2; 1) \).
Soluzione
Per prima cosa si osserva che, dovendo essere la parabola ad asse parallelo a quello delle ordinate, la sua equazione deve essere nella forma:
\( y=a x^{2}+b x+c\)
Ora si osserva che le coordinate generali del vertice della parabola sono:
\( V\left(-\frac{b}{2 a} ;-\frac{\Delta}{4 a}\right)\)
Dai dati sappiamo che il vertice ha coordinate \( V(1 ; 0)\) e dunque devono essere rispettate le seguenti condizioni:
\( \left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2 a} =1 \\ -\frac{\Delta}{4 a} = 0 \end{matrix}\right.\)
Inoltre, essendo che la parabola passa per il punto \( P(2; 1)\) l’equazione della parabola deve essere soddisfatta quando attribuiamo a x e a y i valori del punto \( P\). Quindi:
\( 1=a(2)^{2}+b(2)+c\)
Che rappresenta la terza condizione del precedente sistema. Avendo 3 condizioni riusciamo a trovare i tre coefficienti.
Si deve dunque risolvere il seguente sistema per trovare i coefficienti della parabola:
\( \left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2 a} = 1 \\ -\frac{\Delta}{4 a} = 0 \\ 1=a(2)^{2}+b(2)+c \end{matrix}\right. \rightarrow\)
\( \left\{\begin{matrix} b=-2a \\ \Delta = 0 \\ 4a+2b+c-1=0 \end{matrix}\right. \rightarrow\)
\( \left\{\begin{matrix} b=-2a \\ a(a-1) = 0 \\ c-1=0 \end{matrix}\right. \rightarrow\)
\( \left\{\begin{matrix} b=-2 \\ a = 1 \\ c=1 \end{matrix}\right. \)
E l’equazione della parabola sarebbe:
\( y=x^2-2x+1\)
Rappresentata nella figura seguente:
