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Come stimare la posizione di un punto materiale in un moto qualunque conoscendone la funzione accelerazione

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Si supponga di conoscere la funzione vettoriale dell’accelerazione nel tempo \vec{a}(t) di un punto materiale. La posizione del punto materiale può essere ricavata tramite doppia integrazione successiva delle componenti della funzione vettoriale dell’accelerazione.
Si supponga dapprima che \vec{a}(t) sia costante e chiamiamo tale vettore costante semplicemente \vec{a}.
Si considerino le tre componenti del vettore accelerazione costante:

\vec{a}\left(a_{x}, a_{y}, a_{z}\right)

Per ricavare le velocità del punto materiale si considera che in fisica vale:

\vec{v}\left(\begin{array}{l} \int a_{x} d t \\ \int a_{y} d t \\ \int a_{z} d t \end{array}\right)

Ovvero:

\vec{v} \left( \begin{array}{c} a_{x}t+v_{0x} \\ a_{y}t+v_{0y} \\ a_{z}t+v_{0z} \end{array}\right)


In cui \vec{v}_{0} \left(v_{0x}, v_{0y}, v_{0z} \right) è il vettore dei termini costanti derivanti dall’integrazione delle componenti di \vec{v} e rappresenta il vettore velocità iniziale nelle tre direzioni dello spazio. Per poter ricavare la posizione si deve integrare ancora, questa volta la velocità. Così si ottiene:

\vec{s} \left(\begin{array}{c} \int a_{x} t+v_{0 x} d t \\ \int a_{y} t+v_{0 y} d t \\ \int a_{z} t+v_{0z} dt \end{array} \right)

E quindi:

\vec{s}\left(\begin{array}{l} \frac{1}{2} a_{x} t^{2}+v_{0 x} t+s_{0x} \\ \frac{1}{2} a_{y} t^{2}+v_{0 y} t+s_{0y} \\ \frac{1}{2} a_{z} t^{2}+v_{0 z} t+s_{0z} \end{array}\right)

Quest’ultimo rappresenta il vettore delle posizioni del punto materiale nello spazio con accelerazione costante. Le componenti di tale vettore posizione sono quelle che in fisica si chiamano legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato. Risulta insensato pretendere che tale legge valga anche quando l’accelerazione è variabile, inoltre praticamente in nessuna applicazione dinamica reale l’accelerazione è sempre costante.

Tuttavia è anche vero che, per intervalli di tempo sufficientemente piccoli l’accelerazione può essere considerata costante. Per tale motivo, in applicazione di algoritmi software per il calcolo della posizione di un punto materiale note le sue accelerazioni, può risultare sensato l’utilizzo della legge oraria. Supponiamo di voler calcolare la posizione di un punto materiale via software e di rilevarne l’accelerazione digitalmente, tramite accelerometro.

Sia data, di tale misurazione, la frequenza di campionamento f_c.La distanza temporale tra un campione e l’altro è di:

T = \frac{1}{f_c}

Utilizzare la legge oraria per il calcolo della posizione del punto materiale ogni T secondi appare ragionevole solo se T è sufficientemente piccolo. Il periodo è sufficientemente piccolo se non ci si aspetta entro T secondi che ci siano variazioni significative di accelerazione lineare in nessuna delle tre direzioni spaziali. Questa assunzione è sicuramente approssimativa però abbastanza giustificata se si considera un intervallo di tempo sufficientemente piccolo.

Siano i campioni di accelerazione, provenienti dal sensore, nominati come segue:

\vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3}, \vec{a}_{4}, \ldots, \vec{a}_{n-1}, \vec{a}_{n}

Siano gli istanti di tempo, relativi a quelle accelerazioni, nominati come segue:

t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}, \ldots, t_{n-1}, t_{n}

Le velocità, in ogni istante di tempo saranno:

\vec{v}_{1}=\left(t_{1}-t_{0}\right) \vec{a}_{0}+\vec{v}_{0}

\vec{v}_{2}=\left(t_{2}-t_{1}\right) \vec{a}_{1}+\vec{v}_{1}

\vec{v}_{i}=\left(t_{i}-t_{i-1}\right) \vec{a}_{i-1}+\vec{v}_{i-1}

\vec{v}_{n}=\left(t_{n}-t_{n-1}\right) \vec{a}_{n-1}+\vec{v}_{n-1}

Siccome non è nota la velocità \vec{v}_{1} e non può esserlo a causa della mancanza di dati allora, per comodità, si può imporre uguale a zero e considerare significativi i valori di velocità a partire da \vec{v}_{2}. Per questo tipo di algoritmo è necessario che \vec{v}_{0} = 0.

Quando invece si calcola la posizione si considera che, per ogni intervallo, vale quanto segue:

\vec{s}_{i}=\vec{s}_{i-1}+\vec{v}_{i-1} t+\frac{1}{2} \vec{a}_{i-1} t^{2}

Per migliorare il modo di calcolare la velocità e la posizione del punto materiale si potrebbe pensare di fare la media delle due accelerazioni \vec{a}_{i-1} e \vec{a}_{i}.

\vec{a}_{AVG} \left( \frac{a_{i, x}+a_{i-1, x}}{2}, \frac{a_{i, y}+a_{i-1, y}}{2}, \frac{a_{i, z}+a_{i-1, z}}{2} \right)

Quindi il moto del punto materiale sarebbe meglio definito da:

\left \{ \begin{matrix} \vec{v}_{i}=\left(t_{i}-t_{i-1}\right) \vec{a}_{AVG}+\vec{v}_{i-1} \\ \vec{s}_{i}=\vec{s}_{i-1}+\vec{v}_{i-1}(t_{i}-t_{i-1})+\frac{1}{2} \vec{a}_{AVG}\left(t_{i}-t_{i-1} \right)^{2} \end{matrix} \right.

Anche questa soluzione risulta incompleta per motivi di rumore. Infatti non è proprio vero che le varie accelerazioni misurate sono nella forma:

\vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3}, \vec{a}_{4}, \ldots, \vec{a}_{n-1}, \vec{a}_{n}

Piuttosto è vero che esse sono nella forma:

\vec{a}_{i} + \vec {\varepsilon}_{i} per i = 1, 2,..., n-1, n

In cui i vari termini \vec {\varepsilon}_{i} sono gli errori di misurazione che la sensoristica inevitabilmente commette. Nei prossimi post quali sono i problemi che possono nascere da questi errori e una delle tecniche possibili che si utilizzano per contenerli.

Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo a questo post:

Di Andrea

PhD student | Biomedical Engineer | Telemedicine | Telerehabilitation | Investor