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Problemi sui triangoli qualunque

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In fondo a questo post puoi scaricare il documento relativo agli esercizi svolti qui di seguito.

1         Esercizio 1

1.1         Testo

Determina l’elemento incognito nelle seguenti figure:

Figura 1 Figure problema

1.2         Soluzione

1.2.1        Punto a

L’incognita richiesta è \overline{B C}.

Per risolvere il punto si può osservare che:

\overline{B C} \cdot \cos \left(55^{\circ}\right)+\overline{C A} \cdot \cos \left(85^{\circ}\right)=12

Inoltre si può osservare che:

\overline{B C} \cdot \sin \left(55^{\circ}\right)=\overline{C A} \cdot \sin \left(85^{\circ}\right)

Perciò per trovare il valore di \overline{BC} basta risolvere il seguente sistema:

\left \{ \begin{matrix} \overline{B C} \cdot \cos (55^{\circ}) + \overline{C A} \cdot \cos{ (85^{\circ})}=12 \\ \overline{B C} \cdot \sin (55^{\circ}) = \overline{C A} \cdot \sin{ (85^{\circ})} \end{matrix} \right.

Da cui:

\left \{ \begin{matrix} \overline{B C} \cdot \cos (55^{\circ}) + \frac{ \sin (55^{\circ}) }{ \sin (85^{\circ}) } \overline{B C} \cdot \cos{ (85^{\circ})}=12 \\ \overline{C A} = \frac{ \sin (55^{\circ}) }{ \sin (85^{\circ}) } \overline{B C} \end{matrix} \right.

E quindi:

\overline{B C} = \frac{12}{\cos (55^{\circ}) + \frac{ \sin (55^{\circ}) }{ \sin (85^{\circ}) } \cdot \cos{ (85^{\circ})}} \approx 18.6 cm

1.2.2        Punto b

L’incognita richiesta è \cos{(\alpha)} .

Secondo la formula del triangolo qualunque vale che:

14^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos{(\alpha)}

Quindi:

\cos \alpha=-\frac{14^{2}-10^{2}-12^{2}}{2 \cdot 10 \cdot 12}=0.2

1.2.3        Punto c

L’incognita è r.

Per il teorema della corda:

\overline{A B}=2 r \cdot \sin \left(38^{\circ}\right)

Quindi:

r=\frac{10}{2 \cdot \sin \left(38^{\circ}\right)} \approx 8.12

2         Esercizio 2

2.1         Testo

Determina l’ampiezza degli angoli di un triangolo di cui conosci le misure dei lati: a=20; b=24; c =14.

2.2         Soluzione

Secondo la formula del triangolo qualunque vale che:

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cdot \cos \alpha

Quindi:

20^{2}=24^{2}+14^{2}-2 \cdot 24 \cdot 14 \cdot \cos \alpha

E:

\cos \alpha=-\frac{20^{2}-24^{2}-14^{2}}{2 \cdot 24 \cdot 14} \approx 0.55

Da cui:

\alpha=\arccos (0.55) \approx 56.63^{\circ}

Per trovare l’angolo \beta invece si considera che:

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cdot \cos \beta

Quindi:

24^{2}=20^{2}+14^{2}-2 \cdot 20 \cdot 14 \cdot \cos \beta

E:

\cos \beta=-\frac{24^{2}-20^{2}-14^{2}}{2 \cdot 20 \cdot 14} \approx 0.036

Da cui:

\beta=\arccos (0.036) \approx 87.93^{\circ}

Invece per calcolare \gamma si considera la seguente somma:

\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}

E quindi:

\gamma=180^{\circ}-(\alpha+\beta)=180^{\circ}-\left(87.93^{\circ}+56.63^{\circ}\right)=35.44^{\circ}

3         Esercizio 3

3.1         Testo

Determina la lunghezza del terzo lato e l’ampiezza degli angoli di un triangolo di cui conosci i

seguenti elementi: a=20; b=28; γ =14°.

3.2         Soluzione

Per trovare il terzo lato si osserva che:

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos \gamma

Quindi:

c=\sqrt{20^{2}+28^{2}-2 \cdot 20 \cdot 28 \cdot \cos (14)} \approx 9.86

Per trovare l’angolo \beta si osserva che:

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cdot \cos \beta

E quindi:

\cos \beta=-\frac{b^{2}-a^{2}-c^{2}}{2 a c}=-\frac{28^{2}-20^{2}-9.86^{2}}{2 \cdot 20 \cdot 9.86} \approx 0.73

Da cui:

\beta=\arccos (0.44) \approx 43.11^{\circ}

Invece per calcolare \gamma si considera la seguente somma:

\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}

E quindi:

\alpha=180^{\circ}-(\gamma+\beta)=180^{\circ}-\left(14^{\circ}+43.11^{\circ}\right)=122.89^{\circ}

Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo agli esercizi svolti sopra:

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