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In fondo a questo post puoi scaricare il documento relativo agli esercizi svolti qui di seguito.

1 Esercizio 1

1.1 Testo

Determina l’elemento incognito nelle seguenti figure:

1.2 Soluzione

1.2.1 Punto a

L’incognita richiesta è $\overline{B C}$ .

Per risolvere il punto si può osservare che:

$\overline{B C} \cdot \cos \left(55^{\circ}\right)+\overline{C A} \cdot \cos \left(85^{\circ}\right)=12$

Inoltre si può osservare che:

$\overline{B C} \cdot \sin \left(55^{\circ}\right)=\overline{C A} \cdot \sin \left(85^{\circ}\right)$

Perciò per trovare il valore di $\overline{BC}$ basta risolvere il seguente sistema:

$\left \{ \begin{matrix} \overline{B C} \cdot \cos (55^{\circ}) + \overline{C A} \cdot \cos{ (85^{\circ})}=12 \\ \overline{B C} \cdot \sin (55^{\circ}) = \overline{C A} \cdot \sin{ (85^{\circ})} \end{matrix} \right.$

Da cui:

$\left \{ \begin{matrix} \overline{B C} \cdot \cos (55^{\circ}) + \frac{ \sin (55^{\circ}) }{ \sin (85^{\circ}) } \overline{B C} \cdot \cos{ (85^{\circ})}=12 \\ \overline{C A} = \frac{ \sin (55^{\circ}) }{ \sin (85^{\circ}) } \overline{B C} \end{matrix} \right.$

E quindi:

$\overline{B C} = \frac{12}{\cos (55^{\circ}) + \frac{ \sin (55^{\circ}) }{ \sin (85^{\circ}) } \cdot \cos{ (85^{\circ})}} \approx 18.6 cm$

1.2.2 Punto b

L’incognita richiesta è $\cos{(\alpha)}$ .

Secondo la formula del triangolo qualunque vale che:

$14^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos{(\alpha)}$

Quindi:

$\cos \alpha=-\frac{14^{2}-10^{2}-12^{2}}{2 \cdot 10 \cdot 12}=0.2$

1.2.3 Punto c

L’incognita è $r$ .

Per il teorema della corda:

$\overline{A B}=2 r \cdot \sin \left(38^{\circ}\right)$

Quindi:

$r=\frac{10}{2 \cdot \sin \left(38^{\circ}\right)} \approx 8.12$

2 Esercizio 2

2.1 Testo

Determina l’ampiezza degli angoli di un triangolo di cui conosci le misure dei lati: a=20; b=24; c =14.

2.2 Soluzione

Secondo la formula del triangolo qualunque vale che:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cdot \cos \alpha$

Quindi:

$20^{2}=24^{2}+14^{2}-2 \cdot 24 \cdot 14 \cdot \cos \alpha$

$\cos \alpha=-\frac{20^{2}-24^{2}-14^{2}}{2 \cdot 24 \cdot 14} \approx 0.55$

Da cui:

$\alpha=\arccos (0.55) \approx 56.63^{\circ}$

Per trovare l’angolo $\beta$ invece si considera che:

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cdot \cos \beta$

Quindi:

$24^{2}=20^{2}+14^{2}-2 \cdot 20 \cdot 14 \cdot \cos \beta$

$\cos \beta=-\frac{24^{2}-20^{2}-14^{2}}{2 \cdot 20 \cdot 14} \approx 0.036$

Da cui:

$\beta=\arccos (0.036) \approx 87.93^{\circ}$

Invece per calcolare $\gamma$ si considera la seguente somma:

$\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$

E quindi:

$\gamma=180^{\circ}-(\alpha+\beta)=180^{\circ}-\left(87.93^{\circ}+56.63^{\circ}\right)=35.44^{\circ}$

3 Esercizio 3

3.1 Testo

Determina la lunghezza del terzo lato e l’ampiezza degli angoli di un triangolo di cui conosci i

seguenti elementi: a=20; b=28; γ =14°.

3.2 Soluzione

Per trovare il terzo lato si osserva che:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos \gamma$

Quindi:

$c=\sqrt{20^{2}+28^{2}-2 \cdot 20 \cdot 28 \cdot \cos (14)} \approx 9.86$

Per trovare l’angolo $\beta$ si osserva che:

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cdot \cos \beta$

E quindi:

$\cos \beta=-\frac{b^{2}-a^{2}-c^{2}}{2 a c}=-\frac{28^{2}-20^{2}-9.86^{2}}{2 \cdot 20 \cdot 9.86} \approx 0.73$

Da cui:

$\beta=\arccos (0.44) \approx 43.11^{\circ}$

Invece per calcolare $\gamma$ si considera la seguente somma:

$\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$

E quindi:

$\alpha=180^{\circ}-(\gamma+\beta)=180^{\circ}-\left(14^{\circ}+43.11^{\circ}\right)=122.89^{\circ}$

Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo agli esercizi svolti sopra:

problemi-sui-triangoli-qualunque

1 Esercizio 1

1.1 Testo

1.2 Soluzione

1.2.1 Punto a

1.2.2 Punto b

1.2.3 Punto c

2 Esercizio 2

2.1 Testo

2.2 Soluzione

3 Esercizio 3

3.1 Testo

3.2 Soluzione

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