Testo
Una particella di massa \( m = 3.0 \cdot 10^{-3} Kg \) e carica \( q = 2.0 \cdot 10^{-4} C\) proviene dall’infinito con velocitร \( v = 2.4 \cdot 10^{2} m/s \) e si muove verso una particella di carica \( Q = 4.0 \cdot 10^{-6} C\) tenuta fissa a riposo nel vuoto. La velocitร di avvicinamento รจ diretta lungo la congiungente le due particelle.
Calcola a quale distanza r dalla carica Q la particella di carica q si ferma per un istante.
Soluzione
Le cariche \( q \) e \( Q \) si respingono, perciรฒ la velocitร di avvicinamento รจ destinata ad annullarsi.
\( v_f = 0 \)
Mano a mano che la carica \( q \) si avvicina la sua energia cinetica viene quindi consumata da un’accelerazione opposta al verso del vettore velocitร . Se รจ vero che l’energia cinetica iniziale della carica \( q \) era non nulla, รจ anche vero che a un certo punto dovrร annullarsi, proprio per l’effetto che ha l’accelerazione imposta dalla forza di Coulomb.
Sia quidi \( K \) l’energia cinetica posseduta dalla particella \( q \) quando va a velocitร \( v = 2.4 \cdot 10^{2} m/s \). Allora รจ vero che:
\( K = \frac{1}{2} m v^2 \)
La forza di Coulomb che provoca la diminuzione della velocitร posseduta dall carica \( q \) รจ:
\( F = k \frac{qQ}{r^2} \)
In cui \( r \) รจ la distanza tra le due cariche, laddove l’origine dell’asse \( r \) รจ fissato sul centro della carica \( Q \)
Tale forza puรฒ essere considerata costante per spostamenti infinitesimi della carica. Perciรฒ il lavoro effettuato dalla forza di Coulomb per uno spostamento infinitesimo รจ:
\( dL = Fdr \)
Da cui, effettuando l’integrale si ha:
\( L = \int_{+ \infty}^{r_f}Fdr = \int_{+ \infty}^{r_f} k \frac{qQ}{r^2} dr \)
In cui \( r_f \) รจ incognita del problema.
Per cui risolvendo:
\( L = – k \frac{qQ}{r_f} \)
La richiesta del problema impone che:
\( K+L=0 \)
Per cui:
\( \frac{1}{2} m v^2 – k \frac{qQ}{r_f}=0 \)
Da cui:
\( {r_f}=\frac{2kqQ}{mv^2} \approx 8.3 cm \)
In definitiva la distanza r, dalla carica Q, a cui la particella di carica q si ferma per un istante รจ di 8.3 cm.
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