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Come risolvere il problema della distanza di arresto dalla carica Q

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Testo

Una particella di massa m = 3.0 \cdot 10^{-3} Kg e carica q = 2.0 \cdot 10^{-4} C proviene dall’infinito con velocità v = 2.4 \cdot 10^{2} m/s e si muove verso una particella di carica Q = 4.0 \cdot 10^{-6} C tenuta fissa a riposo nel vuoto. La velocità di avvicinamento è diretta lungo la congiungente le due particelle.

Calcola a quale distanza r dalla carica Q la particella di carica q si ferma per un istante.

Soluzione

Le cariche q e Q si respingono, perciò la velocità di avvicinamento è destinata ad annullarsi.

v_f = 0

Mano a mano che la carica q si avvicina la sua energia cinetica viene quindi consumata da un’accelerazione opposta al verso del vettore velocità. Se è vero che l’energia cinetica iniziale della carica q era non nulla, è anche vero che a un certo punto dovrà annullarsi, proprio per l’effetto che ha l’accelerazione imposta dalla forza di Coulomb.

Sia quidi K l’energia cinetica posseduta dalla particella q quando va a velocità v = 2.4 \cdot 10^{2} m/s. Allora è vero che:

K = \frac{1}{2} m v^2

La forza di Coulomb che provoca la diminuzione della velocità posseduta dall carica q è:

F = k \frac{qQ}{r^2}

In cui r è la distanza tra le due cariche, laddove l’origine dell’asse r è fissato sul centro della carica Q

Tale forza può essere considerata costante per spostamenti infinitesimi della carica. Perciò il lavoro effettuato dalla forza di Coulomb per uno spostamento infinitesimo è:

dL = Fdr

Da cui, effettuando l’integrale si ha:

L = \int_{+ \infty}^{r_f}Fdr = \int_{+ \infty}^{r_f} k \frac{qQ}{r^2} dr

In cui r_f è incognita del problema.

Per cui risolvendo:

L = - k \frac{qQ}{r_f}

La richiesta del problema impone che:

K+L=0

Per cui:

\frac{1}{2} m v^2 - k \frac{qQ}{r_f}=0

Da cui:

{r_f}=\frac{2kqQ}{mv^2} \approx 8.3 cm

In definitiva la distanza r, dalla carica Q, a cui la particella di carica q si ferma per un istante è di 8.3 cm.

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