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Come risolvere il problema della distanza di arresto dalla carica Q

Testo

Una particella di massa \( m = 3.0 \cdot 10^{-3} Kg \) e carica \( q = 2.0 \cdot 10^{-4} C\) proviene dall’infinito con velocità \( v = 2.4 \cdot 10^{2} m/s \) e si muove verso una particella di carica \( Q = 4.0 \cdot 10^{-6} C\) tenuta fissa a riposo nel vuoto. La velocità di avvicinamento è diretta lungo la congiungente le due particelle.

Calcola a quale distanza r dalla carica Q la particella di carica q si ferma per un istante.

Soluzione

Le cariche \( q \) e \( Q \) si respingono, perciò la velocità di avvicinamento è destinata ad annullarsi.

\( v_f = 0 \)

Mano a mano che la carica \( q \) si avvicina la sua energia cinetica viene quindi consumata da un’accelerazione opposta al verso del vettore velocità. Se è vero che l’energia cinetica iniziale della carica \( q \) era non nulla, è anche vero che a un certo punto dovrà annullarsi, proprio per l’effetto che ha l’accelerazione imposta dalla forza di Coulomb.

Sia quidi \( K \) l’energia cinetica posseduta dalla particella \( q \) quando va a velocità \( v = 2.4 \cdot 10^{2} m/s \). Allora è vero che:

\( K = \frac{1}{2} m v^2 \)

La forza di Coulomb che provoca la diminuzione della velocità posseduta dall carica \( q \) è:

\( F = k \frac{qQ}{r^2} \)

In cui \( r \) è la distanza tra le due cariche, laddove l’origine dell’asse \( r \) è fissato sul centro della carica \( Q \)

Tale forza può essere considerata costante per spostamenti infinitesimi della carica. Perciò il lavoro effettuato dalla forza di Coulomb per uno spostamento infinitesimo è:

\( dL = Fdr \)

Da cui, effettuando l’integrale si ha:

\( L = \int_{+ \infty}^{r_f}Fdr = \int_{+ \infty}^{r_f} k \frac{qQ}{r^2} dr \)

In cui \( r_f \) è incognita del problema.

Per cui risolvendo:

\( L = – k \frac{qQ}{r_f} \)

La richiesta del problema impone che:

\( K+L=0 \)

Per cui:

\( \frac{1}{2} m v^2 – k \frac{qQ}{r_f}=0 \)

Da cui:

\( {r_f}=\frac{2kqQ}{mv^2} \approx 8.3 cm \)

In definitiva la distanza r, dalla carica Q, a cui la particella di carica q si ferma per un istante è di 8.3 cm.