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Esercizi svolti geometria analitica Matematica

Come risolvere esercizio n. 27 pag. 177 (Matematica.verde 3G)

Reading Time: 3 minutes

Autore: Antonio Reno;

Revisore: Andrea Zedda

L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:

  • esercizio 28 pag. 254 (Matematica.blu 2.0 volume 3 con tutor)
  • esercizio 27 pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)

In questo esempio di esercizio verrà mostrato come si calcola l’equazione della retta passante per l’altezza di un triangolo nel piano cartesiano ma anche come si trova la retta passante per un vertice del triangolo e parallela a un lato del triangolo stesso.

1         Testo

Dato il triangolo di vertici A(-2,4), B(4,3) e C(2,-2), determinare:

  1. l’equazione della retta passante per l’altezza relativa al lato AC;
  2. l’equazione della retta passante per A e parallela al lato BC.

2         Soluzione

2.1         Punto 1

Utilizzando la formula della retta passante per due punti:

\frac{y-y_{2}}{y_{1}-y_{2}}=\frac{x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}

Trovando la retta che passa per AC:

r_{A C}: \frac{y+2}{4+2}=\frac{x-2}{-2-2} \rightarrow \frac{y+2}{6}=\frac{x-2}{-4} \rightarrow-4(y+2)=6(x-2) \rightarrow-4 y-8=6 x-12

Quindi:

-6 x-4 y-8+12=0 \rightarrow-6 x-4 y+4=0 \rightarrow 3 x+2 y-2=0

La retta che passa per AC è dunque:

r_{A C}: 3 x+2 y-2=0

Calcolando il coefficiente angolare si ha:

m_{A C}=-\frac{a}{b}=-\frac{3}{2}

L’equazione dell’altezza relativa ad lato AC è la retta passante per B perpendicolare alla retta r_{A C}.

Calcolando quindi il coefficiente angolare di tale retta si ha:

m^{\prime}=-\frac{1}{m_{A C}}=-\frac{1}{-\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}

Si può ora trovare la retta che passa per B con coefficiente  come segue:

y-y_{B}=m^{\prime}\left(x-x_{B}\right)

y-3=\frac{2}{3}(x-3) \rightarrow y-3=\frac{2}{3} x-2 \rightarrow-\frac{2}{3} x+y-3+2=0

\rightarrow-\frac{2}{3} x+y-1=0 \rightarrow \frac{2}{3} x-y+1=0 \rightarrow 2 x-3 y+3=0

Per rispondere al punto 1, l’equazione della retta passante per l’altezza relativa al lato AC è:

2 x-3 y+3=0

2.2         Punto 2

Utilizzando la formula della retta passante per due punti:

\frac{y-y_{2}}{y_{1}-y_{2}}=\frac{x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}

Troviamo la retta che passa per BC:

r_{B C}: \frac{y+2}{3+2}=\frac{x-2}{4-2} \rightarrow \frac{y+2}{5}=\frac{x-2}{2} \rightarrow 2(y+2)=5(x-2) \rightarrow 2 y+4=5 x-10

Quindi:

-5 x+2 y+4+10=0 \rightarrow-5 x+2 y+14=0 \rightarrow 5 x-2 y-14=0

E allora:

r_{B C}: 5 x-2 y-14=0

Calcolando il coefficiente angolare si ha:

m_{B C}=-\frac{a}{b}=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}

Calcolando il coefficiente angolare della retta parallela ad BC:

m^{\prime}=m_{B C}=\frac{5}{2}

Trovando ora la retta che passa per A con coefficiente m’:

y-y_{A}=m^{\prime}\left(x-x_{A}\right)

y-4=\frac{5}{2}(x+2) \rightarrow y-4=\frac{5}{2} x+5 \rightarrow-\frac{5}{2} x+y-4-5=0

\rightarrow-\frac{5}{2} x+y-9=0 \rightarrow \frac{5}{2} x-y+9=0 \rightarrow 5 x-2 y+18=0

Per rispondere al punto 2, l’equazione della retta passante per A e parallela al lato BC è:

5 x-2 y+18=0

Ci sei quasi, ecco la soluzione!

2         Soluzione

2.1         Punto 1

La retta che passa per AC è dunque:

r_{A C}: 3 x+2 y-2=0

Calcolando il coefficiente angolare si ha:

m_{A C}=-\frac{a}{b}=-\frac{3}{2}

L’equazione dell’altezza relativa ad lato AC è la retta passante per B perpendicolare alla retta r_{A C}.

Per rispondere al punto 1, l’equazione della retta passante per l’altezza relativa al lato AC è:

2 x-3 y+3=0

2.2         Punto 2

Utilizzando la formula della retta passante per due punti:

\frac{y-y_{2}}{y_{1}-y_{2}}=\frac{x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}

Troviamo la retta che passa per BC:

r_{B C}: \frac{y+2}{3+2}=\frac{x-2}{4-2} \rightarrow \frac{y+2}{5}=\frac{x-2}{2} \rightarrow 2(y+2)=5(x-2) \rightarrow 2 y+4=5 x-10

Quindi:

-5 x+2 y+4+10=0 \rightarrow-5 x+2 y+14=0 \rightarrow 5 x-2 y-14=0

E allora:

r_{B C}: 5 x-2 y-14=0

Calcolando il coefficiente angolare si ha:

m_{B C}=-\frac{a}{b}=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}

Calcolando il coefficiente angolare della retta parallela ad BC:

m^{\prime}=m_{B C}=\frac{5}{2}

Trovando ora la retta che passa per A con coefficiente m’:

y-y_{A}=m^{\prime}\left(x-x_{A}\right)

y-4=\frac{5}{2}(x+2) \rightarrow y-4=\frac{5}{2} x+5 \rightarrow-\frac{5}{2} x+y-4-5=0

\rightarrow-\frac{5}{2} x+y-9=0 \rightarrow \frac{5}{2} x-y+9=0 \rightarrow 5 x-2 y+18=0

Per rispondere al punto 2, l’equazione della retta passante per A e parallela al lato BC è:

5 x-2 y+18=0

Di Andrea

PhD student | Biomedical Engineer | Telemedicine | Telerehabilitation | Investor

Andrea è un Ingegnere Biomedico, specialista nel settore della Teleriabilitazione e appassionato di tematiche economico-finanziarie. Investe regolarmente in Borsa da anni ed è ideatore e creatore di OJB.