L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:
- esercizio 33 pag. 254 (Matematica.blu 2.0 volume 3 con tutor)
- esercizio 32 pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)
In questo esempio di esercizio verrà mostrato come si trova il valore del parametro m della retta 
Inoltre si calcola il perimetro del triangolo formato dalla retta
1 Testo
Determina per quale valore del parametro \( m \) la retta passante per i punti \( A(m+1;2) \) e \( B(1;m) \) è parallela alla retta \( y=3x+1 \)Trova poi il perimetro del triangolo ABC con C punto di intersezione tra l’asse \( x \) e la retta \( y=x+1 \).
1 Soluzione
La retta passante per AB deve essere parallela alla retta \( r: y=3x+1
\) con \( m_r=3\).
Per la condizione di parallelismo i coefficienti angolari delle due rette
devono essere uguali:
\(
m_{AB}=m_r \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1) \)
Determiniamo il coefficiente angolare tra i due punti:
\( m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{m-2}{1-m-1}=\frac{m-2}{-m}=-\frac{m-2}{m} \)
Per la (1), deve essere:
\( -\frac{m-2}{m}=3\)
da cui
\( -(m-2)=3m\)
\( -m+2-3m=0\)
\( -4m=-2\)
\( m=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
quindi
\( m= \frac{1}{2}\)
Determiniamo le coordinate dei punti A e B, sostituendo il valore di \(
m=\frac{1}{2} \):
\( (m+1;2)\rightarrow\left(\frac{1}{2}+1 ; 2\right)\rightarrow A\left(\frac{3}{2}
; 2\right)\)
e
\( B(1;m)\rightarrow B\left(1;\frac{1}{2}\right)\)
Determiniamo il punto di intersezione tra l’asse \( x \) e la retta data \(
y=x+1 \).
Risolvendo il seguente sistema:
\( \left \{ \begin{matrix} y=x+1 \\ y=0 \end{matrix} \right. \)
da cui:
\( x+1=0\rightarrow x=-1 \)
otteniamo le coordinate del punto \( C(-1,0)\).
Utilizzando la formula distanza
tra due punti:
\( d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}\)
calcoliamo i lati del triangolo:
\( AB=\sqrt{\left(1-\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}-2\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{10}\)
\( BC=\sqrt{\left(-1-1\right)^2+\left(0-\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{4+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{17}\)
\( AC=\sqrt{\left(1-\frac{3}{2}\right)^2+\left(0-2\right)^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+4}=\sqrt{\frac{41}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{41}\)
Ora possiamo calcolare il perimetro del triangolo:
\( P=AB+BC+AC=\frac{1}{2}\sqrt{10}+\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\sqrt{41}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{10}+\sqrt{17}+\sqrt{41}\right)\)
