Come ricavare il quaternione prodotto di due quaternioni

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Si supponga di avere i quaternioni $q_1$ e $q_2$ e di voler fare tra questi il prodotto.

Sia dunque:

$q_1 = w_1 + x_1 \bold{i} + y_1 \bold{j} + z_1 \bold{k}$

$q_2 = w_2 + x_2 \bold{i} + y_2 \bold{j} + z_2 \bold{k}$

Per poter effettuare il prodotto basta ricordarsi le definizioni dei seguenti prodotti, validi nel mondo dei quaternioni.

x	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	-1	k	-j
j	j	-k	-1	i
k	k	j	-i	-1

Tabella 1. Moltiplicazioni fondamentali dei quaternioni

Una volta definita la precedente tabella si applica la proprietà distributiva alla moltiplicazione come di seguito:

$(w_1 + x_1 \bold{i} + y_1 \bold{j} + z_1 \bold{k})(w_2 + x_2 \bold{i} + y_2 \bold{j} + z_2 \bold{k}) = \\ w_1 \cdot w_2 + w_1 \cdot x_2 \bold{i} + w_1 \cdot y_2 \bold{j} + w_1 \cdot z_2 \bold{k} + \\ \ x_1 \bold{i} \cdot w_2 + x_1 \bold{i} \cdot x_2 \bold{i} + x_1 \bold{i} \cdot y_2 \bold{j} + x_1 \bold{i} \cdot z_2 \bold{k} +\\ y_1 \bold{j} \cdot w_2 + y_1 \bold{j} \cdot x_2 \bold{i} + y_1 \bold{j} \cdot y_2 \bold{j} + y_1 \bold{j} \cdot z_2 \bold{k} + \\ z_1 \bold{k} \cdot w_2 + z_1 \bold{k} \cdot x_2 \bold{i} + z_1 \bold{k} \cdot y_2 \bold{j} + z_1 \bold{k} \cdot z_2 \bold{k}$

Da cui, tenendo in considerazione le moltiplicazioni fondamentali si ottiene:

$\ w_1 \cdot w_2 + w_1 \cdot x_2 \bold{i} + w_1 \cdot y_2 \bold{j} + w_1 \cdot z_2 \bold{k} + \\ x_1 \cdot w_2 \bold{i} - x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot y_2 \bold{k} - x_1 \cdot z_2 \bold{j} + \\ y_1 \cdot w_2 \bold{j} - y_1 \cdot x_2 \bold{k} - y_1 \cdot y_2 + y_1 \cdot z_2 \bold{i} + \\ z_1 \cdot w_2 \bold{k} + z_1 \cdot x_2 \bold{j} - z_1 \cdot y_2 \bold{i} - z_1 \cdot z_2$

E allora riordinando si evince che il prodotto tra quaternioni è definito da:

$(w_1 w_2 - x_1 x_2 - y_1 \cdot y_2 - z_1 z_2 ) \\ +(w_1 x_2 + x_1 w_2 + y_1 z_2 - z_1 y_2) \bold{i} \\ +(w_1 y_2 - x_1 z_2 + y_1 w_2 + z_1 x_2) \bold{j} \\ + (w_1 z_2 + x_1 y_2 - y_1 x_2 + z_1 w_2 ) \bold{k}$

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Di Andrea