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Analisi 1 Esercizi svolti Matematica

Soluzione di esercizio per rintracciamento asintoti e ascisse in comune a due funzioni

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Testo

Date le funzioni  \( f(x)=\frac{x^{4}+2 x-1}{x^{2}+1} \) e \( g(x)=f(x)-x^{2} \) trova l’asintoto orizzontale della funzione \( g(x) \). Calcola poi un punto P sul grafico di f(x) e un punto Q sul grafico della parabola di equazione \( y = x^2 +1\) aventi la stessa ascissa \( x>0 \). Calcola \( \overline{PQ} \) .

Soluzione

La funzione \( g(x) \) è definita come:

\( g(x)=\frac{x^{4}+2 x-1}{x^{2}+1}-x^{2}= \)

\( \frac{x^{4}+2 x-1}{x^{2}+1}-\frac{x^{2}\left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1}= \)

\( \frac{x^{4}+2 x-1-x^{4}-x^{2}}{x^{2}+1}=\frac{-x^{2}+2 x-1}{x^{2}+1}\)

Per trovare l’asintoto orizzontale destro della funzione è necessario calcolare \( \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x) \). Procediamo:

\( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-x^{2}+2 x-1}{x^{2}+1}= \)

\( \frac{-(+\infty)^{2}+2(+\infty)-1}{(+\infty)^{2}+1}= \)

\( \frac{-\infty+\infty-1}{\infty+1}=\frac{\infty}{\infty}\)

Siamo di fronte a una forma indeterminata \( \frac{\infty}{\infty} \). Per risolvere la forma indeterminata è possibile procedere con due metodi. Il primo prevedere il raccogliere la x di grado massimo al numeratore e al denominatore per scrivere una forma equivalente della funzione, il secondo prevede l’applicazione del teorema del confronto degli infinitesimi. Vediamo ora l’applicazione del primo metodo.

\( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-x^{2}+2 x-1}{x^{2}+1}= \)

\( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}\left(-1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}= \)

\( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(-1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)}{\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}= \)

\( \frac{-1+\frac{2}{\infty} \frac{1}{\infty^{2}}}{1+\frac{1}{\infty^{2}}}=\frac{-1+0-0}{1+0}=\frac{-1}{1}=-1\)

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Di Andrea

PhD student | Biomedical Engineer | Telemedicine | Telerehabilitation | Investor

Andrea è un Ingegnere Biomedico, specialista nel settore della Teleriabilitazione e appassionato di tematiche economico-finanziarie. Investe regolarmente in Borsa da anni ed è ideatore e creatore di OJB.