L’esercizio è presente anche nel seguente libro
- esercizio n. 34 pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)
1 Testo
Determina per quale valore di k si ottiene una retta del fascio di equazione
\( kx+\left(1-2k\right)y+3+k=0\)
- passante per l’origine;
- parallela alla retta;
- perpendicolare alla retta
2 Prerequisiti
Per capire e risolvere l’esercizio è necessario conoscere:
- l’equazione della retta (implicita ed esplicita)
- come calcolare il coefficiente angolare della retta
- come calcolare il valore di quota della retta
- il concetto di fascio di rette proprio e improprio
- come ricavare il coefficiente angolare di una retta parallela o perpendicolare a un’altra retta
3 Soluzione
3.1 Punto 1
Determiniamo l’equazione della retta del fascio passante per l’origine.
\( kx+\left(1-2k\right)y+3+k=0\)
Sostituiamo le coordinate dell’origine nell’equazione del fascio:
\( 0x +(1-2k)0+3+k=0 \)
\(0+0+3+k=0 \)
\(3+k=0 \)
\( k=-3 \)
Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio passante per l’origine è \( -3 \).
3.2 Punto 2
Determiniamo l’equazione della retta del fascio parallela alla retta \( r: x=5 \).
Il coefficiente angolare della retta di equazione \( x = 5 \) è \( \infty \) e rappresenta una retta verticale. In questo caso non possiamo porre il coefficiente angolare uguale a \( \infty \), ma doppiamo porre uguale a \( 0\) il coefficiente della y nel fascio:
\( 1-2k=0 \)
da cui
\( -2k=-1 \)
quindi
\( k=\frac{1}{2} \)
Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio parallela alla retta r è \( \frac{1}{2} \).
3.3 Punto 3
Determiniamo l’equazione della retta del fascio perpendicolare alla retta \( s:x+y=5 \).
Iniziamo calcolando il coefficiente angolare della retta s:
\( m_s =-\frac{a}{b}=-3 \)
Calcoliamo il coefficiente angolare del fascio è:
\(m_f=-\frac{a}{b}=-\frac{k}{1-2k} \)
Dovendo determinare una retta perpendicolare deve essere che:
\(m_f=-\frac{1}{m_s} =-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3} \)
cioè:
\(-\frac{k}{1-2k}=\frac{1}{3} \)
\(-3k=1-2k \)
\(-3k+2k=1 \)
\(-k=1\)
\(k=-1\)
Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio perpendicolare alla retta s è \( -1 \).
