Esercizio n°11 pag. 913 (L’Amaldi per i licei scientifici.blu 2)

Testo

Tre fili paralleli sono posti ai vertici di un triangolo equilatero di lato \( d=35cm\), come mostrato nella figura, e sono attraversati dalle correnti \( i_1 \), \( i_2 \) e \( i_3 \). Le correnti hanno tutte intensità uguale a \( 2A \).

Determina modulo direzione e verso della forza per unità di lunghezza che agisce sul filo 1 nel caso in cui le correnti \( i_1 \), \( i_2 \) e \( i_3 \) siano tutte uscenti dal foglio.

Prerequisiti

Per risolvere questo problema è necessario conoscere:

• La formula della forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente;
• Le procedure per effettuare la scomposizione dei vettori;
• Le procedure per effettuare la somma vettoriale;
• I concetti di modulo, direzione e verso del vettore.

Soluzione

Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente

\( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}}= \frac{ \mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l \cdot \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \)

In cui:

• \( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}} \) è la forza di attrazione tra i due fili;
• \( \mu \) è una costante, di cui  è la permeabilità magnetica del mezzo nel quale si trovano i fili;
• \( i_1 \) è la corrente che attraversa il primo filo;
• \( i_2 \) è la corrente che attraversa il secondo filo;
• \( d \) è la distanza tra i due fili;
• \( l \) è la lunghezza dei fili;
• \( \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \) è un versore (vettore di modulo uno) che si trova sulla direzione che definisce la distanza tra i due fili.

Nel nostro caso di ha che le forze per unità di lunghezza sono:

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{12}}{l}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 12}\)

e

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{13}}{l}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 13}\)

Il reale valore della lunghezza dei fili è, hai fini dei calcoli, irrilevante, in quanto viene richiesta la forza per unità di lunghezza.

La somma vettoriale:

\( \vec{\boldsymbol{F}}_{tot}=\vec{\boldsymbol{F}}_{12}+\vec{\boldsymbol{F}}_{13} \)

Vuole che, al netto, sia:

\( \left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{t o t}\right\|=\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{12}\right\| \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{13}\right\| \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)= \)

\( \left(\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{12}\right\|+\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{13}\right\|\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \)

In quanto le componenti orizzontali si annullano. La simbologia \( \left(\left\| \cdot \right\|\right) \) identifica il modulo del vettore.

Procedendo come richiesto dal problema si osserva che i contributi dovuti a \( l \) si annullano ovunque, perché tutti i membri a sinistra e a destra dell’uguaglianza sono divisi per \( l \). Tuttavia, tutti i ragionamenti di seguito valgono per ogni metro di filo percorso da corrente.

Perciò:

\( \left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{\text {tot}}\right\|=\left(\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}}+\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}}\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \)

Siccome \( d_{12}=d_{13}=d \) si ha:

\( \left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{\text {tot}}\right\|=\frac{\mu}{2 \pi d}\left(i_{1} i_{2}+i_{1} i_{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \)

Nel nostro caso \( \mu=\mu_{0}=4 \pi \cdot 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m} \) da cui:

\( \left\|\vec{F}_{t o t}\right\|=\frac{16}{0.35} \cdot 10^{-7} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} N \approx 4 \cdot 10^{-6} N \)

Ricordando quanto detto prima e cioè che tutti i ragionamenti appena fatti valgono per ogni metro di filo percorso da corrente si può concludere che:

\( \frac{\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{\text {tot}}\right\|}{l} \approx 4 \cdot 10^{-6} \frac{N}{m}\)

Quindi il modulo della forza per unità di lunghezza che agisce sul filo 1 è pari a circa \( 4 \cdot 10^{-6} \frac{N}{m}\). La direzione della forza è perpendicolare alla congiungente dei fili 2 e 3, con la coda del vettore sul filo 1.