Testo
Tre fili paralleli sono posti ai vertici di un triangolo equilatero di lato \( d=35cm\), come mostrato nella figura, e sono attraversati dalle correnti \( i_1 \), \( i_2 \) e \( i_3 \). Le correnti hanno tutte intensità uguale a \( 2A \).
Determina modulo direzione e verso della forza per unità di lunghezza che agisce sul filo 1 nel caso in cui le correnti \( i_1 \), \( i_2 \) e \( i_3 \) siano tutte uscenti dal foglio.
Prerequisiti
Per risolvere questo problema è necessario conoscere:
- La formula della forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente;
- Le procedure per effettuare la scomposizione dei vettori;
- Le procedure per effettuare la somma vettoriale;
- I concetti di modulo, direzione e verso del vettore.
Soluzione
Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente
\( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}}= \frac{ \mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l \cdot \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \)
In cui:
- \( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}} \) è la forza di attrazione tra i due fili;
- \( \mu \) è una costante, di cui
è la permeabilità magnetica del mezzo nel quale si trovano i fili;
- \( i_1 \) è la corrente che attraversa il primo filo;
- \( i_2 \) è la corrente che attraversa il secondo filo;
- \( d \) è la distanza tra i due fili;
- \( l \) è la lunghezza dei fili;
- \( \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \) è un versore (vettore di modulo uno) che si trova sulla direzione che definisce la distanza tra i due fili.
Nel nostro caso di ha che le forze per unità di lunghezza sono:
\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{12}}{l}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 12}\)
e
\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{13}}{l}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 13}\)
Il reale valore della lunghezza dei fili è, hai fini dei calcoli, irrilevante, in quanto viene richiesta la forza per unità di lunghezza.
La somma vettoriale:
\( \vec{\boldsymbol{F}}_{tot}=\vec{\boldsymbol{F}}_{12}+\vec{\boldsymbol{F}}_{13} \)
Vuole che, al netto, sia:
\( \left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{t o t}\right\|=\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{12}\right\| \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{13}\right\| \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)= \)
\( \left(\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{12}\right\|+\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{13}\right\|\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \)
In quanto le componenti orizzontali si annullano. La simbologia \( \left(\left\| \cdot \right\|\right) \) identifica il modulo del vettore.
Procedendo come richiesto dal problema si osserva che i contributi dovuti a \( l \) si annullano ovunque, perché tutti i membri a sinistra e a destra dell’uguaglianza sono divisi per \( l \). Tuttavia, tutti i ragionamenti di seguito valgono per ogni metro di filo percorso da corrente.
Perciò:
\( \left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{\text {tot}}\right\|=\left(\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}}+\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}}\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \)
Siccome \( d_{12}=d_{13}=d \) si ha:
\( \left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{\text {tot}}\right\|=\frac{\mu}{2 \pi d}\left(i_{1} i_{2}+i_{1} i_{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \)
Nel nostro caso \( \mu=\mu_{0}=4 \pi \cdot 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m} \) da cui:
\( \left\|\vec{F}_{t o t}\right\|=\frac{16}{0.35} \cdot 10^{-7} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} N \approx 4 \cdot 10^{-6} N \)
Ricordando quanto detto prima e cioè che tutti i ragionamenti appena fatti valgono per ogni metro di filo percorso da corrente si può concludere che:
\( \frac{\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{\text {tot}}\right\|}{l} \approx 4 \cdot 10^{-6} \frac{N}{m}\)
Quindi il modulo della forza per unità di lunghezza che agisce sul filo 1 è pari a circa \( 4 \cdot 10^{-6} \frac{N}{m}\). La direzione della forza è perpendicolare alla congiungente dei fili 2 e 3, con la coda del vettore sul filo 1.
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