Soluzione esercizio n°12 pag. 913 (L’Amaldi per i licei scientifici.blu 2)

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Testo

Un cavetto di alluminio (densità \( \rho=2690 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} \) ), lungo \( 3.2m \), a sezione quadrata di lato \( 2.0mm \), percorso da una corrente di \( 33A \), è appoggiato su un tavolo da lavoro che presenta un coefficiente d’attrito \( \mu = 0.15 \). Un’asta di ferro molto lunga si trova fissata al tavolo parallelamente al filo a una distanza di \( 2.0 cm \).

Calcola il verso (rispetto alla prima) e l’intensità della minima corrente che occorrerebbe far scorrere nell’asta per allontanare il cavetto.

Prerequisiti

Per poter risolvere questo problema si deve conoscere:

• La formula della forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente;
• Le procedure per effettuare la scomposizione dei vettori;
• Le procedure per effettuare la somma vettoriale;
• I concetti di modulo, direzione e verso del vettore.

Soluzione

Si osservi che il volume del cavetto è pari a quello di un prisma a base quadrata:

\( V=h l^{2}=3.2 \cdot\left(2 \cdot 10^{-3}\right)^{2} m^{3}=12.8 \cdot 10^{-3} \mathrm{m}^{3} \)

Per poter trovare la massa del filo si procede come segue:

\( m=\rho V=2690 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}} \cdot 12.8 \cdot 10^{-6} \mathrm{m}^{3} \approx 0.034 \mathrm{kg} \)

La forza peso associata al filo di alluminio è quindi pari a:

\( F_{p}=m g=0.034 \mathrm{kg} \cdot 9.81 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}} \approx 0.333 \mathrm{N} \)

Quindi la forza d’attrito è pari a:

\( F_{a}=\mu F_{\perp}=0.15 \cdot 0.333 N \approx 0.05 N \)

Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente:

\( \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r} \)

In cui:

• \( \overrightarrow{\boldsymbol{F}} \) è la forza di attrazione tra i due fili;
• \( \frac{\mu}{2 \pi} \) è una costante, di cui \( \mu \) è la permeabilità magnetica del mezzo nel quale si trovano i fili;
• \( i_1 \) è la corrente che attraversa il primo filo;
• \( i_2 \) è la corrente che attraversa il secondo filo;
• \( d \) è la distanza tra i due fili;
• \( l \)è la lunghezza dei fili;
• \( \widehat{\mathbf{u}}_{r} \)è un versore (vettore di modulo uno) che si trova sulla direzione che definisce la distanza tra i due fili.

Quindi deve essere:

\( \vec{F} \geq \vec{F}_{a} \)

Al minimo deve quindi essere:

\( \frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l+0.05 N=0 \)

Affinché sia vero, le due correnti che percorrono i due fili devono essere di verso opposto, così:

\( \frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l=0.05 N \)

La corrente desiderata è:

\( i_{2}=0.05 \frac{d 2 \pi}{l \mu i_{1}}=\frac{0.05 \cdot 2 \cdot 10^{-2} \cdot 2 \pi}{3.2 \cdot 4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 33}=\frac{0.05 \cdot 10^{-2} \cdot 33}{3.2 \cdot 10^{-7}} \approx 4.735 \cdot 10^{-4} \cdot 10^{5} A \approx 47.35 A \)

In definitiva l’intensità della minima corrente che occorrerebbe far scorrere nell’asta per allontanare il cavetto è di circa \( 47.35 A \)