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Come trovare l’altezza relativa allo spigolo della base di una piramide retta

Testo

Una piramide retta ha per base un triangolo equilatero di lato 6cm e di altezza congruente allo spigolo di base. Calcola la distanza dal centro della base da uno degli spigoli laterali.

Figura 1: Piramide dell’esercizio

Soluzione

Dal testo si evince che  gli spigoli di base \(AC=AB=BC=6cm\), e che l’altezza della piramide \(VO\), essendo congruente ad essi, è anch’essa 6cm.

Essendo il triangolo \(ABC\) alla base equilatero, possiamo facilmente calcolare la sua altezza:

\(CL=AB*(\frac{\sqrt{3}}{2})= 6* (\frac{\sqrt{3}}{2})=3{\sqrt{3}}cm\)

Adesso possiamo calcolare il raggio della circonferenza che circoscrive il triangolo equilatero alla base della piramide:

\(OL=(\frac{2*Area_{ABC}}{2*Perimetro_{ABC}})=(\frac{2*CL*AB}{2*3AB})=(\frac{2*3{\sqrt{3}}*6}{2*3*6})={\sqrt{3}}cm\)

Adesso possiamo calcolare \(AO\) che rappresenta l’ipotenusa del triangolo definito dai vertici \(AOL\). Usando il teorema di Pitagora:

\(AO={\sqrt{(\sqrt{3})^2+(3)^2}}={\sqrt{3+9}}+{\sqrt{12}}=2(\sqrt{3})cm\)

Si può notare adesso che il segmento \(OH\) che definisce la distanza tra il centro della base e lo spigolo laterale \(AB\) è l’altezza relativa all’ipotenusa del triangolo rettangolo definito dai vertici \(AVO\), conoscendo i suoi cateti definiti da \(AO\) e \(VO\) possiamo calcolarci l’ipotenusa \(AV\):

\(AV={\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(6)^2}}={\sqrt{12+36}}={\sqrt{48}}=4(\sqrt{3})cm\)

Possiamo finalmente calcolare l’altezza relativa all’ipotenusa \(AV\) che corrisponde anche allo spigolo laterale della nostra piramide:

\(OH=(\frac{AO*VO}{AV})=(\frac{2(\sqrt{3})*6}{4(\sqrt{3})})=3cm\)