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Come trovare il vertice di una parabola ruotata, esercizio di esempio

1       Testo

Si determini il vertice della seguente parabola:

\( x^2-4xy+4y^2-28x-44y+96=0 \)

2       Soluzione

La formula del testo si presenta nella seguente forma generica:

\(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\)

Esisterà un sistema di riferimento per cui è vero che:

\(x=X\cos{\alpha}-Y\sin{\alpha}\)

\(y=X\sin{\alpha}+Y\cos{\alpha}\)

In cui \(\alpha\) è la rotazione tra i due sistemi di riferimento \(xy\) e \(XY\).

Può essere facilmente ricavato che:

\(X=x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}\)

Volendo riscrivere \(X=x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}\) si avrebbe:

\(A(X\cos \alpha-Y\sin \alpha)^2+\)

\( + B(X\cos \alpha-Y\sin \alpha)(X\sin \alpha+Y\cos \alpha) +\)

\(+ C(X\sin \alpha+Y\cos \alpha)^2 +\)

\( + D(X\cos\alpha-Y\sin\alpha) +\)

\(+ E(X\sin \alpha+Y\cos \alpha)+F=0\)

Che riorganizzata potrà essere certamente scritta nella forma:

\( A^\prime X^2+B^\prime XY+C^\prime Y^2+D^\prime X+E^\prime Y+F=0 \)

In cui i nuovi coefficienti dipendono dal nuovo sistema di riferimento. Se il sistema di riferimento fosse rintracciato appropriatamente allora…