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Esercizio esempio sui diagrammi di Bode in un circuito RC

1       Testo

Sia dato un circuito RC con una resistenza pari a \( 1k\Omega \) e una capacità pari a \( 5\mu\ F \). Si scelga un generatore ad ampiezza pari a 2V e oscillazione 5Hz. Considerando la tensione di output \( V_{out} \) quella sul condensatore si determini:

  • l’ampiezza della tensione di output (al condensatore); 
  • la frequenza di taglio del sistema;
  • l’ampiezza dell’output a seguito di una perdita di 3dB di ampiezza;
  • per quale frequenza viene dimezzata l’ampiezza dell’input.

2       Soluzione

Il circuito RC descritto dal testo del problema è rappresentato in figura seguente.

Figura 1 Esempio di circuito RC, il programma utilizzato è LTspice XVII

Si sa che, per la legge alle maglie di Kirchhoff, tutte le tensioni sommate devono fare zero. Perciò in un circuito RC vale che:

\(V_{in}+V_R+V_C=0\)

Ovvero:

\(V_{in}=-V_R-V_C=-V_R-\frac{1}{C}\int_{0}^{t}{i(t)}dt\)

Ricordando che, per la trasformata di Laplace, l’integrale è soggetto alla regola:

\( \mathcal{L}\left[\int_{0}^{t}f\left(\tau\right)dt\right]=\frac{1}{s}F(s) \)

Allora, nel dominio di Laplace, diventa:

\( V_{in}\left(s\right)=-V_R\left(s\right)-\frac{1}{sC}I(s) \)
\( V_{in}\left(s\right)=-RI(s)-\frac{1}{sC}I(s) \)
\( V_{in}\left(s\right)=\left(-1-\frac{1}{sRC}\right)RI(s) \)
\( \frac{V_R\left(s\right)}{V_{in}(s)}=-\frac{sRC}{sRC+1} \)

Quindi…