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Esercizio numero 14 pag. 913 (L’Amaldi per i licei scientifici blu 2)

Testo

Quattro conduttori paralleli tra loro sono fissati ai vertici di un quadrato, come mostrato in figura, di lato \(l=1.0cm\). in tutti i fili circola una corrente di \(10A\), nei fili 1, 2 e 3 uscenti dal foglio, nel filo 4 entrante.

Calcola modulo, direzione e verso della forza totale per unità di lunghezza che agisce sul filo 1.

Prerequisiti

per risolvere questo problema è necessario conoscere:

  • La formula della forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente;
  • Le procedure per effettuare la scomposizione dei vettori;
  • Le procedure per effettuare la somma vettoriale;
  • I concetti di modulo, direzione e verso del vettore.

Soluzione

Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente:

\(\overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l \cdot \hat{\mathbf{u}}_{r}\)

in cui:

  • \(\vec{F}\) è la forza di attrzione tra i due fili;
  • \(\frac{\mu}{2 \pi}\) è una costante, di cui \({\mu}\) è la permeabilità magnetica del mezzo nel quale si trovano i fili.
  • \(i_{1}\) è la corrente che attraversa il primo filo;
  • \(i_{2}\) è la corrente che attraversa il secondo filo;
  • \(d\) è la distanza tra i due fili;
  • \(l\) è la lunghezza dei fili;
  • \(\hat{\mathbf{u}}_{r}\), è un versore (vettore di modulo uno ) che si trova sula direzione che definisce la distanza tra i due fili.

Nel nostro caso di ha che le forze per unità di lunghezza sono:

\( \frac{\mathbf{\vec{F}_{12}}}{l_{f}}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}} \cdot \hat{\mathbf{u}}_{r, 12} \)

e

\(\frac{\mathbf{\vec{F}_{13}}}{l_{f}}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 13}\)

e

\(\frac{\mathbf{\vec{F}_{14}}}{l_{f}}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{4}}{d_{14}} \cdot \hat{\mathbf{u}}_{r, 14}\)

il reale valore della lunghezza dei fili \(l_{f}\) è, ai fini dei calcoli, irrilevante, in quanto viene richiesta la forza per unità di lunghezza.

\(\vec{F}_{tot}=\vec{F}_{12}+\vec{F}_{13}+\vec{F}_{14} \)

Procedendo come richiesto dal problema si osserva che i contributi dovuti a \(l_{f}\) si annullano ovunque, perché tutti i membri a sinistra e a destra dell’uguaglianza sono divisi per \(l_{f}\). Tuttavia, tutti i ragionamenti di seguito valgono per ogni metro di filo percorsa da corrente.

Di seguito troverai il pulsante per scaricare la soluzione completa dell’esercizio.

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