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Come risolvere esercizio n.24 capitolo 9 (Le traiettorie della fisica.azzurro)

1       Testo

Un pallone viene lanciato con una velocità di 8.7 m/s e con un’inclinazione di 60° rispetto al suolo.

  • Determina la massima altezza che il pallone può raggiungere.

2       Soluzione

Il sistema che descrive il moto del pallone è:

\( \left \{ \begin{matrix} x=v_{0,x}t \\ y=v_{0,y}-\frac{1}{2}gt^2 \end{matrix} \right. \)

In cui:

  • \(x\) è la coordinata x della posizione del corpo;
  • \(y\) è la coordinata y della posizione del corpo;
  • \(v_{0,x}\) è la velocità iniziale del pallone lungo x;
  • \(v_{0,y}\) è la velocità iniziale del pallone lungo y;
  • \(g\) è accelerazione gravitazionale \(9.81\frac{m}{s^2}\).

Si può affermare che…

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Esercizio esempio sui diagrammi di Bode in un circuito RC

1       Testo

Sia dato un circuito RC con una resistenza pari a \( 1k\Omega \) e una capacità pari a \( 5\mu\ F \). Si scelga un generatore ad ampiezza pari a 2V e oscillazione 5Hz. Considerando la tensione di output \( V_{out} \) quella sul condensatore si determini:

  • l’ampiezza della tensione di output (al condensatore); 
  • la frequenza di taglio del sistema;
  • l’ampiezza dell’output a seguito di una perdita di 3dB di ampiezza;
  • per quale frequenza viene dimezzata l’ampiezza dell’input.

2       Soluzione

Il circuito RC descritto dal testo del problema è rappresentato in figura seguente.

Figura 1 Esempio di circuito RC, il programma utilizzato è LTspice XVII

Si sa che, per la legge alle maglie di Kirchhoff, tutte le tensioni sommate devono fare zero. Perciò in un circuito RC vale che:

\(V_{in}+V_R+V_C=0\)

Ovvero:

\(V_{in}=-V_R-V_C=-V_R-\frac{1}{C}\int_{0}^{t}{i(t)}dt\)

Ricordando che, per la trasformata di Laplace, l’integrale è soggetto alla regola:

\( \mathcal{L}\left[\int_{0}^{t}f\left(\tau\right)dt\right]=\frac{1}{s}F(s) \)

Allora, nel dominio di Laplace, diventa:

\( V_{in}\left(s\right)=-V_R\left(s\right)-\frac{1}{sC}I(s) \)
\( V_{in}\left(s\right)=-RI(s)-\frac{1}{sC}I(s) \)
\( V_{in}\left(s\right)=\left(-1-\frac{1}{sRC}\right)RI(s) \)
\( \frac{V_R\left(s\right)}{V_{in}(s)}=-\frac{sRC}{sRC+1} \)

Quindi…

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Esercizio esempio richiesto su come ridurre un’equazione trigonometrica

Si voglia ridurre la seguente espressione trigonometrica

\( \sin^2{\frac{a}{2}}+sin(30°+a)+sin60°cos( \frac{π}{2}+a) \)

Soluzione

Ricordando che:

\(\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\beta}\cos{\alpha}\)

Si ha:

\( \sin^2{\frac{a}{2}}+sin30°cosa+sinacos30°+sin60°cos(\frac{π}{2}+a) \)

E ricordando che:

\(\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\)

Si ottiene…

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Come trovare il vertice di una parabola ruotata, esercizio di esempio

1       Testo

Si determini il vertice della seguente parabola:

\( x^2-4xy+4y^2-28x-44y+96=0 \)

2       Soluzione

La formula del testo si presenta nella seguente forma generica:

\(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\)

Esisterà un sistema di riferimento per cui è vero che:

\(x=X\cos{\alpha}-Y\sin{\alpha}\)

\(y=X\sin{\alpha}+Y\cos{\alpha}\)

In cui \(\alpha\) è la rotazione tra i due sistemi di riferimento \(xy\) e \(XY\).

Può essere facilmente ricavato che:

\(X=x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}\)

Volendo riscrivere \(X=x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}\) si avrebbe:

\(A(X\cos \alpha-Y\sin \alpha)^2+\)

\( + B(X\cos \alpha-Y\sin \alpha)(X\sin \alpha+Y\cos \alpha) +\)

\(+ C(X\sin \alpha+Y\cos \alpha)^2 +\)

\( + D(X\cos\alpha-Y\sin\alpha) +\)

\(+ E(X\sin \alpha+Y\cos \alpha)+F=0\)

Che riorganizzata potrà essere certamente scritta nella forma:

\( A^\prime X^2+B^\prime XY+C^\prime Y^2+D^\prime X+E^\prime Y+F=0 \)

In cui i nuovi coefficienti dipendono dal nuovo sistema di riferimento. Se il sistema di riferimento fosse rintracciato appropriatamente allora…

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Cosa è la pressione in fisica?

La pressione è una grandezza fisica scalare indicativa dell’effetto che ha una forza agente su una certa superficie. La pressione si calcola dal rapporto tra il modulo della forza che agisce su una data superficie e perpendicolare a essa e l’area della superficie stessa.

Essendo che la pressione è una grandezza scalare, essa non possiede le caratteristiche tipiche del vettore, cioè non possiede modulo, direzione e/o verso. Come ogni grandezza scalare, la pressione è solo un numero, che ha come unità di misura il Pascal \( [Pa] \). Inoltre, essendo che la pressione è il rapporto tra il modulo di una forza e una superficie è anche vero che un Pascal è pari alla forza di un Newton applicata a un metro quadro di superficie \( [ \frac{N}{m^2}] \).

Sebbene la pressione dipendente dal modulo della forza le due grandezze non sono sommabili per due motivi:

  • Il motivo più strettamente correlato al significato fisico dice che possono essere sommate solo due grandezze che hanno la stessa unità di misura. Siccome pressione e forza hanno unità di misura differenti non ha un senso fisico la loro somma numerica;
  • Il motivo più strettamente correlato al significato matematico ci porta a concludere che le due grandezze non sono sommabili perché hanno identità matematica differente; infatti, la pressione è uno scalare e la forza è un vettore. Vettore e scalare non sono sommabili tra di loro.

La pressione si calcola quindi come segue:

\( P=\frac{ \left \| \vec{F_{\perp }} \right \| }{S} \)

In cui:

  • \( \left \| \vec{F_{\perp }} \right \| \) è il modulo della forza perpendicolare \( \vec{F_{\perp }} \) alla superficie \( S \);
  • \( S \) è la superficie su cui agisce la forza \( \vec{F_{\perp }} \) .

Dalla formula appena proposta si intuisce che per aumentare la pressione ci sono due scelte che si possono fare:

  1. A parità di forza diminuire la superficie;
  2. A parità di superficie aumentare la forza.

Si dice infatti che la pressione è inversamente proporzionale alla superficie su cui agisce la forza perché tanto più aumenta la superficie e tanto più diminuisce la pressione ovvero tanto più diminuisce la superficie e tanto più aumenta la pressione.

Viceversa, la pressione è direttamente proporzionale alla forza che agisce su una determinata superficie perché tanto più aumenta la forza e tanto più aumenta la pressione ovvero tanto più diminuisce la forza e tanto più diminuisce la pressione.

In definitiva la pressione e la forza sono direttamente proporzionali mentre la pressione e la superficie sono inversamente proporzionali.

Tabella 1 Rappresentazione schematizzata di come cambia la pressione al variare della forza e della superficie. Tutti i vettori sono indicati come rappresentativi dei moduli. I simboli \( \uparrow\) , \( \downarrow\) e \( \leftrightarrow\) stanno rispettivamente per cresce, decresce, rimane costante. In rosso vengono indicate le quantità inversamente proporzionali mentre in verde vengono indicate quelle direttamente proporzionali
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Spiegazione e dimostrazione del teorema di Fermat

In questo scritto è possibile trovare:

  1. l’enunciato del teorema di Fermat;
  2. richiami teorici sui requisiti per la corretta interpretazione del teorema e della sua dimostrazione;
  3. la dimostrazione del teorema di Fermat.

1 Enunciato del teorema

Data una funzione reale ad una variabile reale, che risulta continua e derivabile in un certo intervallo aperto I del valore \( x_0\), se in corrispondenza di \( x_0\) vi è un punto di massimo (minimo) allora la derivata prima in \( x_0\) vale zero. \( x_0\) viene anche detto punto di stazionarietà per la funzione \(f(x)\).
Più formalmente, se esiste una funzione \(f:(a,b)→\mathbb{R}\) che ha punto di massimo o minimo locale in \(x_0∈(a,b)\) e la funzione è differenziabile in \(x_0\) allora \( f’ (x_0 )=0 \).
L’affermazione dell’enunciato viene resa palese tramite la rappresentazione grafica in Figura 1, in cui i valori \( M \) (di massimo locale) ed m (di minimo locale) rappresentano valori scelti di \(x_0\). Risulta chiaro che in corrispondenza di tali valori il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione è pari a zero, infatti la retta tangente risulta parallela all’asse \(x\).

Figura 1 Illustrazione di punti di massimo e di minimo e della relativa direzione della retta tangente

Qualora il concetto del teorema di Fermat risulti poco chiaro è suggerito proseguire la lettura, in cui verranno chiarificati, tramite dei richiami teorici, i requisiti per la corretta interpretazione del teorema.
Alla fine dei richiami verrà mostrata la dimostrazione dell’enunciato, perciò se è tutto chiaro si consiglia di procedere direttamente alla dimostrazione del teorema di Fermat.


2 Prerequisiti


Prima di passare alla dimostrazione del teorema è consigliato dare un ripasso rapido ai seguenti concetti:

  • Rapporto incrementale;
  • Derivata prima in un punto;
  • Massimi e minimi relativi;
  • Massimi e minimi stazionari e non stazionari.

Vengono riportati di seguito dei richiami ai temi necessari per la corretta interpretazione del teorema di Fermat e della sua interpretazione. Qualora tutti questi concetti siano chiari, si passi tranquillamente alla dimostrazione del teorema.

2.1 Rapporto incrementale

Data una funzione continua in un determinato intorno \(I\) del valore \(x_0\) si definisce rapporto incrementale in un punto \(x_0\), appartenente all’intorno, il rapporto tra la variazione della funzione a seguito di un certo incremento h sull’asse delle x e l’incremento stesso.
In modo più formale, si supponga che \(f:\mathbb{R}→\mathbb{R}\) sia una funzione continua in un certo intervallo I e si supponga che \(x_0\) sia un punto appartenente ad \(I\). Sia h un certo incremento, in x, rispetto al punto \(x_0\), tale che sia identificabile un nuovo valore \(x_0 + h\).
Il rapporto incrementale è dato da:


\( \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \)

Una rappresentazione geometrica dei termini presenti nel rapporto incrementale è osservabile dalla Figura 2.

Figura 2. Rappresentazione delle differenze incrementali in y e in x

Come ulteriormente precisato in Figura 3, è possibile evincere come il rapporto incrementale sia geometricamente corrispondente alla pendenza della retta secante la funzione e passante per il punto \( A ( x_0,f(x_0 )) \) e il punto \( B (x_0+h,f(x_0+h)) \).

Figure 3 Rappresentazione della retta passante per i punti A e B


2.2 Derivata prima in un punto


La derivata prima di una funzione in un punto \( x_0 \) è definita come il limite, per \( h \) che tende a zero, del rapporto incrementale:


\( \frac{f(x_0+h )-f(x_0 )}{h} \)


Il quale geometricamente esprime il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto \(x_0\), come illustrato in Figura 4.

Figura 4 Rappresentazione del coefficiente angolare di una retta tangente in un punto. Il punto B si sovrappone dinamicamente ad A.

Il termine:

\( f’ (x)= \lim\limits_{h \mapsto 0}⁡ \frac{f(x_0+h )-f(x_0 )}{h}\)

Rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione \( f(x) \) nel punto \( x_0 \) e si dice derivata prima della funzione \( f(x) \).


2.3 Massimo/minimo relativo


2.3.1 Massimo relativo


Sia \(f:\mathbb{R}→\mathbb{R}\), definiamo \(x_0\) punto di massimo relativo se esiste almeno un intorno di \(x_0\) tale che, per ogni x appartenente all’intorno di \(x_0\), il valore della funzione in \(x_0\) è maggiore o uguale al valore che la funzione assume in ogni punto di tale intorno.
In Figura 4 viene rappresentato un intorno del valore \(x_0\) e tale intorno è definito dalla quantità \(\delta\). La quantità \(\delta\) può essere scelta piccola a piacere ma rimane comunque vero che \(x_0\) è maggiore o uguale al valore che la funzione assume in ogni punto di tale intorno.

Figura 4 Rappresentazione di un valore di massimo locale per una funzione \(f(x)\)


Si supponga che tale intorno venga chiamato \(I(x_0 )\).
Deve essere vero che:


\(\forall x \in I(x_0 ) \to f(x_0 ) \geq f(x)\)


E si legge: per qualunque x appartenente all’intorno \(I\) di \(x_0\) si ha che \(f(x_0 )\) è maggiore o uguale a \(f(x)\).


2.3.2 Minimo relativo


Sia \(f:\mathbb{R}→\mathbb{R}\), definiamo \(x_0\) punto di minimo relativo se esiste almeno un torno di \(x_0\) tale che per ogni x appartenente all’intorno di \(x_0\) il valore della funzione in \(x_0\) è minore o uguale al valore che la funzione assume in ogni punto di tale intorno.

In Figura 5 viene rappresentato un intorno del valore \(x_0\) e tale intorno è definito dalla quantità \(\delta\).

Figura 5 Rappresentazione di un valore di minimo locale per una funzione \(f(x)\)


Si supponga che tale intorno venga chiamato \(I(x_0 )\). Deve essere vero che:


\(\forall x \in I(x_0 ) \to f(x_0 ) \leq f(x)\)


2.3.3 Un punto di massimo/ minimo può essere stazionario o non stazionario

Un punto di massimo o di minimo può essere stazionario o non stazionario. In particolare, un punto è detto stazionario quando la derivata prima in quel punto vale zero. In questo caso la pendenza della retta tangente è nulla, e quindi la retta tangente è orizzontale.
Gli esempi riportati in Figura 4 e in Figura 5 mostrano dei punti stazionari rispettivamente di massimo e di minimo locale. Non necessariamente un punto di stazionarietà è però di massimo o di minimo locale, casistica in cui si parla di punto di flesso, come quella rappresentata in Figura 6.

Figura 6 Rappresentazione di un punto di flesso. La derivata è zero ma il punto non è né di massimo né di minimo

Nel caso in cui non si è in presenza di punti di stazionarietà, questi possono comunque essere punti di massimo o di minimo locale. Infatti se è vero che la derivata nulla può essere indice di punto di massimo o di minimo locale non è vero che il contrario e cioè potrebbe essere possibile trovare dei punti di massimo o di minimo locale con valori di derivata diversi da zero.
Più precisamente può capitare per esempio che ci sia un punto in cui la derivata destra e sinistra siano tra loro diverse.
Le condizioni che potrebbero presentarsi sono le seguenti:

  • Un punto angoloso,
  • Una cuspide,
  • Un estremo in cui la pendenza della retta è non nulla.

Questi casi possono dare luogo a dei minimi o dei massimi locali che sono
Massimo non stazionario
In Figura 7 vengono mostrati dei casi di massimo locale che non hanno derivata nulla, cioè non sono punti stazionari. Si può osservare come le rette tangenti in tali punti non mostrino coefficiente angolare uguale a zero.

Figura 7 Esempi di massimi non stazionari a) Punto di cuspide b) Punto angoloso c) Estremi della funzione

In Figura 8 vengono mostrati dei casi di minimo locale che non hanno derivata nulla, cioè non sono punti stazionari. Si può osservare come le rette tangenti in tali punti non mostrino coefficiente angolare uguale a zero.

Figura 8 Esempi di minimi non stazionari a) Punto di cuspide b) Punto angoloso c) Estremi della funzione

2.4 Teorema di Fermat


Data una funzione reale ad una variabile reale che risulta continua e derivabile in un certo intervallo \(I\), se \(x_0\) è un punto di massimo (minimo) allora la derivata prima in \(x_0\) vale zero. Ovvero \(x_0\) è un punto stazionario.

Ipotesi


Sia \(f:\mathbb{R}→\mathbb{R}\) continua e derivabile in \(I \subset D\) e \(x_0 \in I\) sia un punto di massimo.

Tesi

\(f'(x_0)=0\)


Cioè \( x_0 \) è stazionario.


Osservazione


L’ipotesi di derivabilità consente di non ricadere nel caso del punto angoloso o di cuspide, perché in tali punti, essendo le derivate sinistra e destra differenti, si parla di funzioni non derivabili in quei punti. Inoltre, l’ipotesi di derivabilità vieta la possibilità di stare agli estremi di definizione. In quanto in tali punti la funzione non ha derivata sinistra e destra ma o solo sinistra o solo destra.


Dimostrazione


Si consideri un certo intorno di \(x_0\), \((x_0-\delta ; x_0 + \delta ) \). È possibile suddividere tale intorno in due zone:
Intorno sinistro di \( x_0, (x_0- \delta ; x_0 ] \), indicato con \( I^{-} (x_0) \);
Intorno destro di \(x_0 \), \([x_0;x_0+\delta)\),indicato con \(I^{+} (x_0 )\).
In Figura 9 viene illustrata la situazione di riferimento.

Figura 9 Illustrazione dell’intorno e dei due intorni, destro e sinistro, scelti in modo tale da essere simmetrici rispetto al punto di massimo locale


Quindi è possibile definire come segue l’intorno di \(x_0\):


\(I(x_0 )=(x_0-\delta ,x_0+\delta) \)

E come segue l’intorno sinistro di \(x_0\):


\(I^{-}(x_0 )=(x_0 – \delta , x_0 )\)

E infine l’intorno destro di \(x_0\):


\( I^{+} (x_0 )=(x_0,x_0+\delta )\)


Intorno sinistro di \(x_0\)


Si consideri ora l’intorno sinistro e il rapporto incrementale sinistro nel punto \(x_0\), l’obiettivo è quello di ragionare sulla derivata sinistra nel punto \(x_0\).
Si può scrivere il rapporto incrementale sinistro nel seguente modo:


\(RI^{-} (x_0 )=\frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h}\)


In questo caso è necessario considerare un valore di \(h\) negativo, perché la quantità \(x_0+h\) deve trovarsi a sinistra del valore \(x_0\), come mostrato in Figura 10.

Figura 10 Illustrazione grafica del punto di massimo locale, del rapporto incrementale sinistro e della retta con tale coefficiente angolare


Considerando \(h<0\) per la quantità \(RI^{-} (x_0 )=\frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h}\) si deve avere che


\( f(x_0+h)-f(x_0 ) \leq 0 \)

Infatti


\( f(x_0 ) \geq f(x_0+h) \)


E di conseguenza:


\( \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \geq 0\)


Si nota subito che tale rapporto incrementale presenta:

  • Un numeratore negativo;
  • Un denominatore negativo.

Il numeratore è negativo poiché \(x_0\) è punto di massimo, quindi il valore di \(f(x_0 )\) è maggiore o uguale a quello di ogni altra \(f(x)\) all’interno dell’intorno \(I^{-} (x_0 )\) e quindi anche di \(f(x_0+h)\). Il denominatore è negativo poiché abbiamo assunto un incremento h negativo. Dunque, il rapporto incrementale nell’intorno sinistro è certamente maggiore o uguale a zero. Dopotutto è possibile notare come la retta secante sia crescente. Passando al limite del rapporto incrementale per h tendente a zero, dovremmo ammettere che è maggiore o uguale a zero.


\(f’_{-} (x_0 )=\lim\limits_{h \to 0} RI^{-} (x_0 ) \geq 0\)


Dunque, si sta ammettendo che la derivata sinistra è maggiore o uguale a zero.


Intorno destro di \(x_0\)


Si consideri ora l’intorno destro \( I^{+} (x_0 ) \) e il rapporto incrementale destro nel punto \( x_0 \), l’obiettivo è quello di ragionare sulla derivata destra nel punto \( x_0 \).
Si può scrivere il rapporto incrementale destro nel seguente modo:


\( RI^{+} (x_0 ) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \)


In questo caso è invece necessario ammettere che il valore di \( h \) è positivo, come viene delucidato dalla Figura 11.

Figura 11 Illustrazione grafica del punto di massimo locale, del rapporto incrementale destro e della retta con tale coefficiente angolare


Considerando \( h>0 \) per la quantità \( RI^{+} (x_0 )= \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h}\) si deve avere che


\( f(x_0+h)- f(x_0 ) \leq 0 \)

Infatti:


\( f(x_0 ) \geq f(x_0+h) \)


E di conseguenza:


\( \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \leq 0 \)


Notiamo subito che tale rapporto incrementale presenta:

  • Un numeratore negativo
  • Un denominatore positivo


Il numeratore è ancora negativo, poiché \(x_0\) è punto di massimo. Quindi il valore di \( f(x_0 ) \) è maggiore o uguale a quello di ogni altra \( f(x) \) all’interno dell’intorno \( I^{+} (x_0 ) \) e quindi anche di \( f(x_0+h)\). Il denominatore è positivo poiché è stato assunto un incremento \(h\) positivo, dunque il rapporto incrementale nell’intorno sinistro è certamente minore o uguale a zero. Dopotutto è possibile notare come la retta sia secante è decrescente. Passando al limite del rapporto incrementale per h tendente a zero, è necessario ammettere che è minore o uguale a zero.


\(f’_{+} (x_0 )=\lim\limits_{h \to 0} RI^{+} (x_0 ) \leq 0 \)


Dunque, si sta ammettendo che la derivata destra è minore o uguale a zero.
Volendo ricapitolare:

  • La derivata sinistra di \(x_0\) è maggiore o uguale a zero.
  • La derivata destra di \(x_0\) è minore o uguale a zero.


Un’illustrazione della situazione di questa prima conclusione viene fornita in Figura 12.

Figura 12 illustrazione della retta secante sinistra e retta secante destra al punto \(x_0\) precedentemente considerate


Siccome la funzione è derivabile in \(x_0\) per ipotesi, allora la derivata sinistra deve per forza coincidere con la derivata destra. Questo è possibile solamente quando la derivata è uguale a zero, che è la tesi.

Figura 13 Rappresentazione grafica intuitiva di conclusione secondo tesi del teorema di Fermat

Tenendo in considerazione che \( f’_{-} (x_0 ) \geq 0 \) e che \(f’_{+} (x_0 ) \leq 0\) deve dunque essere per forza che:


f’_{-} (x_0 )=f’_{+} (x_0 )=0


È stato dunque dimostrato che se una funzione è continua e derivabile in un certo intervallo, i punti di massimo (o di minimo) presenti internamente sono stazionari.

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I vasi comunicanti per liquidi non miscibili

Sono considerati vasi comunicanti due o più recipienti collegati tra loro al di sotto del livello di superficie del liquido che li riempie. Un’illustrazione schematica dei vasi comunicanti è data in Figura 1, in cui è possibile notare come l’altezza del livello di superficie del liquido a sinistra e a destra dei vasi è uguale.

Il liquido tende a riempire il recipiente mantenendo il livello di superficie uguale per tutti i punti superficiali rispetto al livello di terra.

Figura 1 Esempio di vasi comunicanti. Le due segnalazioni laterali mostrano come il livello di superficie del liquido sia uguale nel vaso di sinistra e in quello di destra

La legge di Stevino vale anche in questa condizione e ci dice che:

\(P=p_{a t m}+d g h\)

In cui:

  • \(P\) è la pressione a una certa altezza dalla superficie;
  • \(d\) è la densità del liquido;
  • \(g\) è l’accelerazione gravitazionale e vale \(9.81 \frac{m}{s^{2}}\);
  • \( h \) è la profondità dalla superficie dell’acqua.

Quando al liquido viene aggiunto un altro liquido immiscibile succede che i due liquidi rimangono separati. Ciascun liquido ha densità diverse e sotto tale condizione tra i vasi può instaurarsi un dislivello. Un esempio di questa situazione è rappresentato in Figura 2.

Si può assumere che il liquido blu e il liquido giallo siano rispettivamente acqua e olio. In questo caso l’aggiunta di olio provocherebbe il dislivello indicato nell’illustrazione. Il vaso che contiene l’aggiunta di olio ha un livello di superficie più alto rispetto alla controparte.

Figura 2 Esempio di vasi comunicanti con liquido aggiunto differente non miscibile

Deve essere vero che la pressione nel fondo dei vasi destro e sinistro è uguale:

\(P_{s x}=P_{d x}\)

In Figura 3 viene mostrata la condizione di aggiunta dell’olio in una situazione in cui i vasi comunicanti sono pieni di acqua.

Figura 3 La condizione di equilibrio è decisa dalle regioni tratteggiate in arancione

La linea tratteggiata rossa è stata tracciata in modo tale che si trovasse a livello con la superficie che separa l’olio dall’acqua. Come è possibile notare la linea rossa taglia anche il vaso sinistro. Sopra la linea rossa le quantità di volume di liquido sono diverse, perché le densità dei liquidi interessati sono diverse.

L’acqua, che è più densa dell’olio, mostra uno stacco in altezza dalla linea tratteggiata rossa pari a \(h_{dis}\), mentre l’olio, meno denso dell’acqua, mostra uno stacco in altezza dalla linea tratteggiata rossa pari a \(h_{olio}\) .

Risulta evidente dalla figura che \(h_{\text {olio }}>h_{\text {dis }}\), che è una conseguenza del fatto che la densità dell’olio è minore di quella dell’acqua. In sostanza questo fa capire che, dato un certo volume di acqua serve più volume di olio per bilanciare il peso dell’acqua. Questo è anche il motivo per cui l’altezza del liquido del vaso destro \(h_{dx}\) è superiore a quella del vaso sinistro \(h_{sx}\) .

Supponendo che \(d_{H 2 O}\) sia la densità dell’acqua e che \(d_{olio}\)  sia la densità dell’olio, per la legge di Stevino, deve essere:

\(p_{a t m}+d_{H 2 o} g h_{d i s}=p_{a t m}+d_{\text {olio }} g h_{\text {olio }}\)

\(d_{H 2 O} h_{d i s}=d_{\text {olio }} h_{\text {olio }}\)

\(\frac{d_{H 2 O}}{d_{\text {olio }}}=\frac{h_{\text {olio }}}{h_{\text {dis }}}\)

Questo ci fa capire che, a parità di liquidi scelti, l’altezza di liquido del vaso in cui si trova l’olio sarà sempre più grande rispetto all’altra. Inoltre, tale legge ci fa capire che la differenza di altezza del liquido nei due vasi \(h_{\text {olio }}-h_{\text {dis }}\) dipende unicamente dalla quantità di olio aggiunta e non dalla quantità di liquido sotto la linea tratteggiata rossa.

Volendo generalizzare a due liquidi generici con densità \(d_1\) e \(d_2\) si può facilmente concludere che:

\(\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{h_{2}}{h_{1}}\)

In cui \(h_1\)  e \(h_2\)  sono le altezze, rispetto alla linea tratteggiata rossa, a cui si trovano le superfici di liquido rispettivamente al vaso a destra e a sinstra.

Esempio vasi comunicanti per liquidi non miscibili

Supponiamo di aggiungere 100 ml di olio a dei vasi comunicanti, con sezione circolare a raggio 3cm, che contengono acqua. Di quanto si innalza il livello dell’acqua a sinistra dei vasi?

\( h_{dis} \frac{d_{H 2 O}}{d_{ \text {olio } }} = \frac{ h_{ \text {olio } }}{ \boldsymbol{h_{dis }}} \boldsymbol{h_{dis}}\)

\(\boldsymbol{d_{olio }} h_{dis} \frac{d_{H2O}}{\boldsymbol{d_{olio }}} = h_{olio } d_{olio } \)

\( \frac{h_{dis} \boldsymbol{d_{H2O}}}{ \boldsymbol{d_{H2O}}} = \frac {h_{olio} d_{olio}}{d_{H2O}} \)

\(h_{d i s}=\frac{d_{\text {olio }}}{d_{H 2 O}} h_{\text {olio }}\)

Sapendo che \(d_{\text {olio }}=0.916 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}\) e che \(d_{H 2 O}=1 \frac{k g}{m^{3}}\) si ha:

\(h_{d i s}=0.916 h_{\text {olio }}\)

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Analisi su Plus 500

Nota bene: Thinking Process non si assume alcuna responsabilità sulla accuratezza dei dati e delle predizioni, ogni scelta di investimento è completa responsabilità dell’investitore.

Plus 500 è un’azienda nel settore della tecnologia che fornisce servizi da broker e secondo quanto affermato dall’azienda stessa “Plus 500 è uno dei maggiori fornitori di contratti per differenza (CFD), ed offre funzioni di trading di azioni, forex, materie prime, criptovalute, ETF, opzioni ed indici assieme ad una tecnologia di trading innovativa”.

Di seguito vengono valutate alcune performance chiave di questa azienda. Le valutazioni delle performance medie vengono effettuate per gli anni che vanno dal 2015 al 2020, uno storico corrispondente agli ultimi 6 anni di attività.

Il patrimonio netto dell’azienda risulta cresciuto con media annua del 34% mentre il tasso di crescita medio dell’attivo totale risulta essere pari al 30%, molto di più rispetto alle passività totali, le quali risultano essere cresciute annualmente del 26% in media. Dalla Figura 1 è possibile notare la discrepanza tra i trend delle voci di bilancio sopra menzionate, si può notare un grande stacco verso l’alto degli attivi di Plus 500.

Figura 1 Confronto tra patrimonio netto (grigio), totale attivo (blu) e passività totali (rosso).

In Figura 2 viene mostrato il confronto con aggiunta della capitalizzazione. Si può calcolare che il rischio di perdita di capitale per l’investitore si aggira in media tra 70% e 80% nell’eventualità in cui l’impresa dovesse liquidare tutto. Tuttavia questa eventualità è molto remota, viste le performance generali di Plus 500.

Figura 2 Confronto tra patrimonio netto (grigio), totale attivo (blu) e passività totali (rosso) con aggiunta della capitalizzazione

Supponendo che il tasso di crescita medio annuo si mantenga il totale attivo del 2023 risulterà molto più grande rispetto ai passivi dell’azienda, come si può notare dalla Figura 3.

Figura 3 Predizioni fino al 2023 dell’andamento del patrimonio netto (grigio), totale attivo (blu) e passività totali (rosso), supponendo che il tasso di crescita medio annuo si mantenga.

La predizione di stacco netto degli attivi dai passivi, sebbene più moderata, è confermata dalla Figura 4, in cui è stata utilizzata la funzione del software Excel FORECAST.ETS per il calcolo delle predizioni.

Figura 4 Predizioni dell’andamento del patrimonio netto (grigio), totale attivo (blu) e passività totali (rosso) tramite l’utilizzo della funzione del software Excel FORECAST.ETS.

ROI, ROE e ROA hanno tassi di crescita che si aggirano in media tra il 50% e il 100%, come testimoniato dalla Figura 5, attestando l’azienda Plus 500 come un interessante investimento a forte prospettiva di crescita. Se i tassi di profitto si mantengono l’azienda continuerà a crescere in modo molto intenso nei prossimi anni.

Figura 5 Confronto tra ROE (grigio), ROI (blu) e ROA (rosso). L’azienda mostra forte crescita.

I ricavi totali dell’azienda crescono annualmente con una media del 35% mentre il reddito netto ha una crescita del 59%, vicino al doppio rispetto ai ricavi totali. La capitalizzazione cresce a un passo medio annuo del 28% circa, mentre le spese totali del 23%.

Figura 6 Confronto tra reddito netto (grigio), ricavi totali (blu), spese totali d’esercizio (rosso) e capitalizzazione (giallo).

Dai dati emerge che l’azienda è in forte crescita, con interessanti dati per investimenti a lungo termine. La valutazione dei dati sopra citati è certamente limitata all’osservazione di alcuni parametri fondamentali e non costituisce alcuna garanzia di successo dell’impresa. È sempre buona norma valutare anche le iniziative business dell’azienda stessa e le iniziative orientate alla crescita che intraprende.

Nota bene: Thinking Process non si assume alcuna responsabilità sulla accuratezza dei dati e delle predizioni, ogni scelta di investimento è completa responsabilità dell’investitore.

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Come determinare il raggio atomico dell’atomo d’idrogeno conoscendo la sua energia di ionizzazione

Testo

Determina il raggio atomico dell’atomo d’idrogeno sapendo che la sua energia di ionizzazione, cioè la minima energia richiesta per allontanare da esso un elettrone, è di 13,6 eV.

Prerequisiti


Per risolvere questo esercizio dovrai conoscere:

  1. I concetti di energia potenziale ed energia cinetica;
  2. La seconda legge della dinamica;
  3. Come invertire le formule;
  4. La carica dell’elettrone e del protone;
  5. La costante di Coulomb;
  6. Il concetto di energia totale
  7. La teoria associata al moto circolare uniforme
  8. Come convertire gli elettronVolt (eV) in Joule (J).

Soluzione

L’elettrone dell’atomo di idrogeno ruota intorno al nucleo mantenendo un’energia potenziale data dalla formula:
Si osservi che…