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I vasi comunicanti per liquidi non miscibili

Sono considerati vasi comunicanti due o più recipienti collegati tra loro al di sotto del livello di superficie del liquido che li riempie. Un’illustrazione schematica dei vasi comunicanti è data in Figura 1, in cui è possibile notare come l’altezza del livello di superficie del liquido a sinistra e a destra dei vasi è uguale.

Il liquido tende a riempire il recipiente mantenendo il livello di superficie uguale per tutti i punti superficiali rispetto al livello di terra.

Figura 1 Esempio di vasi comunicanti. Le due segnalazioni laterali mostrano come il livello di superficie del liquido sia uguale nel vaso di sinistra e in quello di destra

La legge di Stevino vale anche in questa condizione e ci dice che:

\(P=p_{a t m}+d g h\)

In cui:

  • \(P\) è la pressione a una certa altezza dalla superficie;
  • \(d\) è la densità del liquido;
  • \(g\) è l’accelerazione gravitazionale e vale \(9.81 \frac{m}{s^{2}}\);
  • \( h \) è la profondità dalla superficie dell’acqua.

Quando al liquido viene aggiunto un altro liquido immiscibile succede che i due liquidi rimangono separati. Ciascun liquido ha densità diverse e sotto tale condizione tra i vasi può instaurarsi un dislivello. Un esempio di questa situazione è rappresentato in Figura 2.

Si può assumere che il liquido blu e il liquido giallo siano rispettivamente acqua e olio. In questo caso l’aggiunta di olio provocherebbe il dislivello indicato nell’illustrazione. Il vaso che contiene l’aggiunta di olio ha un livello di superficie più alto rispetto alla controparte.

Figura 2 Esempio di vasi comunicanti con liquido aggiunto differente non miscibile

Deve essere vero che la pressione nel fondo dei vasi destro e sinistro è uguale:

\(P_{s x}=P_{d x}\)

In Figura 3 viene mostrata la condizione di aggiunta dell’olio in una situazione in cui i vasi comunicanti sono pieni di acqua.

Figura 3 La condizione di equilibrio è decisa dalle regioni tratteggiate in arancione

La linea tratteggiata rossa è stata tracciata in modo tale che si trovasse a livello con la superficie che separa l’olio dall’acqua. Come è possibile notare la linea rossa taglia anche il vaso sinistro. Sopra la linea rossa le quantità di volume di liquido sono diverse, perché le densità dei liquidi interessati sono diverse.

L’acqua, che è più densa dell’olio, mostra uno stacco in altezza dalla linea tratteggiata rossa pari a \(h_{dis}\), mentre l’olio, meno denso dell’acqua, mostra uno stacco in altezza dalla linea tratteggiata rossa pari a \(h_{olio}\) .

Risulta evidente dalla figura che \(h_{\text {olio }}>h_{\text {dis }}\), che è una conseguenza del fatto che la densità dell’olio è minore di quella dell’acqua. In sostanza questo fa capire che, dato un certo volume di acqua serve più volume di olio per bilanciare il peso dell’acqua. Questo è anche il motivo per cui l’altezza del liquido del vaso destro \(h_{dx}\) è superiore a quella del vaso sinistro \(h_{sx}\) .

Supponendo che \(d_{H 2 O}\) sia la densità dell’acqua e che \(d_{olio}\)  sia la densità dell’olio, per la legge di Stevino, deve essere:

\(p_{a t m}+d_{H 2 o} g h_{d i s}=p_{a t m}+d_{\text {olio }} g h_{\text {olio }}\)

\(d_{H 2 O} h_{d i s}=d_{\text {olio }} h_{\text {olio }}\)

\(\frac{d_{H 2 O}}{d_{\text {olio }}}=\frac{h_{\text {olio }}}{h_{\text {dis }}}\)

Questo ci fa capire che, a parità di liquidi scelti, l’altezza di liquido del vaso in cui si trova l’olio sarà sempre più grande rispetto all’altra. Inoltre, tale legge ci fa capire che la differenza di altezza del liquido nei due vasi \(h_{\text {olio }}-h_{\text {dis }}\) dipende unicamente dalla quantità di olio aggiunta e non dalla quantità di liquido sotto la linea tratteggiata rossa.

Volendo generalizzare a due liquidi generici con densità \(d_1\) e \(d_2\) si può facilmente concludere che:

\(\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{h_{2}}{h_{1}}\)

In cui \(h_1\)  e \(h_2\)  sono le altezze, rispetto alla linea tratteggiata rossa, a cui si trovano le superfici di liquido rispettivamente al vaso a destra e a sinstra.

Esempio vasi comunicanti per liquidi non miscibili

Supponiamo di aggiungere 100 ml di olio a dei vasi comunicanti, con sezione circolare a raggio 3cm, che contengono acqua. Di quanto si innalza il livello dell’acqua a sinistra dei vasi?

\( h_{dis} \frac{d_{H 2 O}}{d_{ \text {olio } }} = \frac{ h_{ \text {olio } }}{ \boldsymbol{h_{dis }}} \boldsymbol{h_{dis}}\)

\(\boldsymbol{d_{olio }} h_{dis} \frac{d_{H2O}}{\boldsymbol{d_{olio }}} = h_{olio } d_{olio } \)

\( \frac{h_{dis} \boldsymbol{d_{H2O}}}{ \boldsymbol{d_{H2O}}} = \frac {h_{olio} d_{olio}}{d_{H2O}} \)

\(h_{d i s}=\frac{d_{\text {olio }}}{d_{H 2 O}} h_{\text {olio }}\)

Sapendo che \(d_{\text {olio }}=0.916 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}\) e che \(d_{H 2 O}=1 \frac{k g}{m^{3}}\) si ha:

\(h_{d i s}=0.916 h_{\text {olio }}\)

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Analisi su Plus 500

Nota bene: Thinking Process non si assume alcuna responsabilità sulla accuratezza dei dati e delle predizioni, ogni scelta di investimento è completa responsabilità dell’investitore.

Plus 500 è un’azienda nel settore della tecnologia che fornisce servizi da broker e secondo quanto affermato dall’azienda stessa “Plus 500 è uno dei maggiori fornitori di contratti per differenza (CFD), ed offre funzioni di trading di azioni, forex, materie prime, criptovalute, ETF, opzioni ed indici assieme ad una tecnologia di trading innovativa”.

Di seguito vengono valutate alcune performance chiave di questa azienda. Le valutazioni delle performance medie vengono effettuate per gli anni che vanno dal 2015 al 2020, uno storico corrispondente agli ultimi 6 anni di attività.

Il patrimonio netto dell’azienda risulta cresciuto con media annua del 34% mentre il tasso di crescita medio dell’attivo totale risulta essere pari al 30%, molto di più rispetto alle passività totali, le quali risultano essere cresciute annualmente del 26% in media. Dalla Figura 1 è possibile notare la discrepanza tra i trend delle voci di bilancio sopra menzionate, si può notare un grande stacco verso l’alto degli attivi di Plus 500.

Figura 1 Confronto tra patrimonio netto (grigio), totale attivo (blu) e passività totali (rosso).

In Figura 2 viene mostrato il confronto con aggiunta della capitalizzazione. Si può calcolare che il rischio di perdita di capitale per l’investitore si aggira in media tra 70% e 80% nell’eventualità in cui l’impresa dovesse liquidare tutto. Tuttavia questa eventualità è molto remota, viste le performance generali di Plus 500.

Figura 2 Confronto tra patrimonio netto (grigio), totale attivo (blu) e passività totali (rosso) con aggiunta della capitalizzazione

Supponendo che il tasso di crescita medio annuo si mantenga il totale attivo del 2023 risulterà molto più grande rispetto ai passivi dell’azienda, come si può notare dalla Figura 3.

Figura 3 Predizioni fino al 2023 dell’andamento del patrimonio netto (grigio), totale attivo (blu) e passività totali (rosso), supponendo che il tasso di crescita medio annuo si mantenga.

La predizione di stacco netto degli attivi dai passivi, sebbene più moderata, è confermata dalla Figura 4, in cui è stata utilizzata la funzione del software Excel FORECAST.ETS per il calcolo delle predizioni.

Figura 4 Predizioni dell’andamento del patrimonio netto (grigio), totale attivo (blu) e passività totali (rosso) tramite l’utilizzo della funzione del software Excel FORECAST.ETS.

ROI, ROE e ROA hanno tassi di crescita che si aggirano in media tra il 50% e il 100%, come testimoniato dalla Figura 5, attestando l’azienda Plus 500 come un interessante investimento a forte prospettiva di crescita. Se i tassi di profitto si mantengono l’azienda continuerà a crescere in modo molto intenso nei prossimi anni.

Figura 5 Confronto tra ROE (grigio), ROI (blu) e ROA (rosso). L’azienda mostra forte crescita.

I ricavi totali dell’azienda crescono annualmente con una media del 35% mentre il reddito netto ha una crescita del 59%, vicino al doppio rispetto ai ricavi totali. La capitalizzazione cresce a un passo medio annuo del 28% circa, mentre le spese totali del 23%.

Figura 6 Confronto tra reddito netto (grigio), ricavi totali (blu), spese totali d’esercizio (rosso) e capitalizzazione (giallo).

Dai dati emerge che l’azienda è in forte crescita, con interessanti dati per investimenti a lungo termine. La valutazione dei dati sopra citati è certamente limitata all’osservazione di alcuni parametri fondamentali e non costituisce alcuna garanzia di successo dell’impresa. È sempre buona norma valutare anche le iniziative business dell’azienda stessa e le iniziative orientate alla crescita che intraprende.

Nota bene: Thinking Process non si assume alcuna responsabilità sulla accuratezza dei dati e delle predizioni, ogni scelta di investimento è completa responsabilità dell’investitore.

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Come determinare il raggio atomico dell’atomo d’idrogeno conoscendo la sua energia di ionizzazione

Testo

Determina il raggio atomico dell’atomo d’idrogeno sapendo che la sua energia di ionizzazione, cioè la minima energia richiesta per allontanare da esso un elettrone, è di 13,6 eV.

Prerequisiti


Per risolvere questo esercizio dovrai conoscere:

  1. I concetti di energia potenziale ed energia cinetica;
  2. La seconda legge della dinamica;
  3. Come invertire le formule;
  4. La carica dell’elettrone e del protone;
  5. La costante di Coulomb;
  6. Il concetto di energia totale
  7. La teoria associata al moto circolare uniforme
  8. Come convertire gli elettronVolt (eV) in Joule (J).

Soluzione

L’elettrone dell’atomo di idrogeno ruota intorno al nucleo mantenendo un’energia potenziale data dalla formula:
Si osservi che…

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Prima lezione sullo studio di funzione

Questa è il video della prima lezione sullo studio di funzione proposta da Thinking Process del percorso “Maratona di lezioni sullo studio di funzione”.

Qui di seguito il manifesto dell’iniziativa e sotto il video della prima lezione.

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Come capire l’impatto degli investimenti sul futuro del proprio patrimonio netto con la app di OJB

Vuoi scaricare la nostra applicazione? Bene, puoi farlo in fondo alla pagina. L’app è totalmente gratuita!

1  Come stimare il proprio patrimonio netto futuro con la app di OJB

Avevamo già precedentemente discusso cosa significasse investire cumulativamente in un proprio portafoglio in termini di patrimonio netto futuro. Avevamo già discusso l’importanza dell’investimento e la convenienza dello stesso. Oggi abbiamo anche la possibilità di fornire un’applicazione in grado di stimare il patrimonio netto futuro sotto determinate ipotesi.

Quando si investe nei mercati azionari è cosa buona cercare di stimare, in base ai propri profitti, quale sarà il proprio patrimonio netto da quel momento agli anni a venire.

Per poter calcolare il patrimonio netto futuro è necessario conoscere la quantità di deposito iniziale e la quantità di deposito mensile che l’ investitore ha intenzione di fornire ai propri investimenti .

Purtroppo nel web ci sono poche applicazioni che considerano il deposito mensile dell investitore e molte applicazioni invece che considerano solo il deposito iniziale.

Laddove si abbia il deposito iniziale, l’altra informazione che è necessario avere sono gli anni di accumulazione dei propri capitali e le percentuali di profitto mensile stimate. Anche se le percentuali di profitto mensile non si dovessero mantenere esattamente, almeno in media dovrebbero essere rappresentative dell’effettiva performance del portafoglio durante l’anno. Eventualmente si può inoltre tenere in considerazione l’aggiunta che deriva dalla ricezione dei dividendi.

2  L’applicazione OJB come strumento per farsi una panoramica

Nell’applicazione di OJB è possibile monitorare i propri andamenti in tre scenari possibili:

  • deposito mensile senza investimento;
  • deposito mensile con investimento ma senza reinvestimento di dividendi;
  • deposito mensile con investimento e con reinvestimento dei dividendi.

Negli esempi a seguire è possibile notare come ci sia una tremenda differenza tra le tre curve. Investire sistematicamente i dividendi porta la condizione più favorevole. Il solo fatto di mettere da parte soldi non aiuta granchè la crescita del proprio patrimonio netto.

I calcoli che sono implementati in questo tipo di software sono di tipo iterativo e vengono iterati mese dopo mese. Il software parte dal deposito iniziale e aggiunge il profitto mensile per ogni mese dell’anno, quindi 12 volte. Se ci sono dei dividendi ipotizza di reinvestirli. Infatti, alla fine di ogni anno, assume che l’ investitore decida di reinvestire il proprio dividendo e suppone che i dividendi abbiano lo yield prestabilito rispetto al valore del portafoglio.

3  Come usare la app

La app è composta di 5 riquadri in cui inserire i valori e ciascuno di essi deve essere inserito secondo quanto descritto di seguito.

Come prima cosa è necessario inserire il deposito iniziale che si vuole investire. il deposito iniziale è relativo all’ inizio di investimento e non è quello relativo all’aggiunta mensile che si vuole effettuare.

Nel secondo riquadro bisogna inserire invece il deposito mensile che si vuole effettuare, il tanto di soldi che l’invesitore aggiungerà ogni mese al portafoglio.

Nel terzo riquadro vanno inseriti gli anni che l’investitore vuole attendere prima di prelevare il proprio capitale, ovvero gli anni che si desidera trascorrere seguendo rigorosamente l’impegno imposto dalle regole di investimento.

Nel quarto riquadro si inseriscono i profitti che si pensa di poter ottenere in media mensilmente e nell’ultimo riquadro si deve inserire quanto si pensa che il proprio portafoglio debba rendere in termini di dividendi rispetto all’ investito.

Una volta inseriti i valori nei riquadri allora è possibile premere il tasto “Run” per il calcolo della stima del proprio patrimonio netto anno dopo anno. Verra mostrato un grafico in cui l’asse delle ascisse è il numero dei mesi di investimento, mentre l’asse delle ordinate rappresenta il patrimonio netto raggiunto.

L’applicazione non fa alcuna assunzione sulla valuta utilizzata (anche se viene specificato di inserire €), delle commisioni, e della tassazionione finale sul capital gain (che peraltro varia da paese a paese), perciò si rimanda all’ investitore il calcolo di tali considerazioni.

Qui di seguito viene mostrato, tramite GIF, un esempio di interazione con la app “CALCOLO DEL PIANO DI ACCUMULO” di OJB.

Figura 1. GIF illustrativa in cui vengono mostrate le modalità di utilizzo della app

4 Esempi di scenario

4.1 Modellizzazione NASDAQ

In questo esempio di scenario vogliamo cercare di modellizzare la performance del Nasdaq e simulare un investimento sull indice in 10 anni a partire da adesso supponendo che le performance storiche del Nasdaq si mantengano nel tempo.

Con questa ipotesi abbiamo che, se supponiamo di depositare inizialmente 10.000€ e di depositare mensilmente 100€, per un totale di 10 anni di piano di accumulo, con un profitto mensile di 1.25% e un dividendo annuale di 1.42%, si ottiene il risultato come in figura sotto.

Figura 2. Calcolo del valore nel tempo di un portafoglio che segue le stesse performance del NASDAQ, supponendo che esse si mantengano nel tempo. Sull’asse delle ascisse viene mostrato il tempo in mesi, sull’asse delle ordinate il valore dei propri risparmi in dollari.

Come si può notare dalle tre curve se consideriamo solo i risparmi, che è la curva nera, si ottiene un patrimonio netto finale di circa 20.000€ mentre investendo i capitali, anche senza reinvestimento dei dividendi, si ottiene, a distanza di 120 mesi, un capitale di circa 3,5 volte superiore. Investendo invece assiduamente i dividendi si ottiene addirittura un capitale di circa 80.000€, che corrisponderebbe a circa 4 volte la cifra inizialmente investita.

4.2 Modellizzazione Vanguard High dividend yield (VGWD)

In questo esempio di scenario vogliamo cercare di modellizzare la performance del’ETF Vanguard High dividend yield (VGWD) e simulare un investimento di 10 anni a partire da adesso, supponendo che le performance storiche si mantengono nel tempo.

Con questa ipotesi abbiamo che, se supponiamo di depositare 10.000€ come investimento iniziale e di depositare 100 € ogni mese, per un totale di 10 anni di piano di accumulo, con un profitto mensile del 0.6% e un dividendo annuale del 2.89%, si ottiene il risultato come in Figura 2.

Come si può notare dalle tre curve, se consideriamo solo i risparmi (curva nera) si ottiene un patrimonio netto finale di circa 20.000 € mentre investendo i capitali, anche senza reinvestimento dei dividendi, si ottiene un capitale di circa 3.5 volte superiore a distanza di 120 mesi. Reinvestendo i dividendi si ottiene addirittura un capitale di circa 50.000 €, che corrisponderebbe a circa 5 volte la cifra inizialmente investita.

Figura 3. Calcolo del valore nel tempo di un portafoglio che segue le stesse performance del VGWD, supponendo che esse si mantengano nel tempo. Sull’asse delle ascisse viene mostrato il tempo in mesi, sull’asse delle ordinate il valore dei propri risparmi in dollari.

5 Conclusioni

Attraverso questa app è possibile pianificare un opportuno piano di investimenti scegliendo a proprio piacere e sensibilità al rischio, il rendimento annuale desiderato. Attraverso questa app inoltre è possibile notare il grande vantaggio economico e la crescita più o meno costante (se non addirittura espnenziale) che si potrebbe ottenere con una visione di risparmio a medio/lungo termine ben pianificata. L’app è scaricabille gratuitamente su questo sito, cliccando sul prodotto presente in fondo alla pagina.

Al fine di migliorare la propria cultura finanziaria noi di OJB inoltre suggeriamo vivamente i libri indicati nei banner sottostante.

Se vuoi imparare a monitorare il tuo portafoglio usando la piattaforma Etoro, esiste una dashboard che ti permetterà di controllare tutti i parametri e le notizie relative alle tue azioni. Noi di OJB promuoviamo questa iniziativa perchè il fondatore sarebbe lieto di aiutare i ragazzi a capirne di più. Se vuoi scoprirne di più vai su StockverWatch cliccando l’immagine qui sotto.

StockverWatch | free stock dashboard
Clicca sull’immagine per andare su StockverWatch

Disclaimer: Questo articolo ha valore puramente informativo. Gli autori non sono professionisti in ambito finanziario e declinano ogni responsabilità sulle eventuali scelte di investimento effettuate dal lettore.

5.1 Appendice A – Modellizzazione del Piano di accumulo YOLO!

Al fine di proporre diverse strategie di investimento si mostra infine, il rendimento potenziale che si potrebbe ottenere investendo TUTTI I PROPRI RISPARMI in Gamestop e AMC, invece di far fruttare i propri risparmi in noiosi ETF o nei soliti stock da Boomer (dai comunque qualche spicciolo in Tesla si può mettere).

Con questa ipotesi abbiamo che, se supponiamo di depositare i 50€ (ma anche se fossero 50000 non cambia nulla) rimanenti sulla nostra Poste Pay come investimento iniziale; e di depositare 1 € ogni mese (cosa vuole che sia un caffè al mese signora mia), per un periodo temporale di 1 anni, con un profitto mensile stimato del 2000% e un dividendo annuale del 0%, si ottiene come risultato il PIL della Bielorussia.

Figura 4: Rendimento che si otterrebbe investendo in GME e AMC. Alla faccia degli hedge fund speculativi

Disclaimer: Questo articolo ha valore puramente informativo. Gli autori non sono professionisti in ambito finanziario ma consigliano fortemente di andare a informarsi sui Gruppi Reddit.

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Soluzione esercizio numero 13 pag 997 – L’Amaldi per i licei scientifici.blu

Testo

Una bobina è composta da 35 spire, di raggio 2,5 cm, ed è collegata a un circuito che non contiene un generatore. Avvicinando e allontanando una calamita, il campo magnetico medio sulla superficie della bobina varia di 5,8 mT. La calamita viene spostata vicino e poi lontano dalla bobina quattro volte al secondo.

Calcola il modulo della forza elettromotrice media indotta nel circuito da tale variazione di flusso.

Prerequisiti

Per risolvere questo problema lo studente deve conoscere:

  • il concetto del flusso di campo magnetico;
  • le forumle relative al flusso di campo magnetico;
  • il concetto di vettore di superficie;
  • Il concetto di vettore di campo magnetico;
  • la differenze tra campo magnetico e flusso di campo magnetico.

Soluzione

Scarica il documento per ottenere la soluzione di questo esercizio. Se hai bisogno di assistenza puoi contattarci in qualsiasi momento.

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Soluzione esercizio numero 137 pag.834 tratto dal libro Matematica.azzurro 4 con Tutor

Testo

Nel seguente esercizio determina gli elementi richiesti utilizzando i dati forniti dalle figure.

Sfruttando le conoscenze sulla trigonometria bisogna cercare di ricavare le aree richieste.

Soluzione

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Esercizio numero 12 pag. 997 (L’Amaldi per i licei scientifici.blu)

1 Testo

Una spira circolare di raggio 2,5 cm è immersa in un campo magnetico di modulo 0,15T. All’inizio è posta perpendicolarmente alle linee di campo. Successivamente subisce una rotazione di 30°. La rotazione avviene in 10 secondi.

  • Calcola la variazione del flusso del campo magnetico.
  • Calcola la forza elettromagnetica indotta
Vettore di campo magnetico e di superficie, dalla posizione iniziale a quella finale, come dai dati del problema. L’angolo rappresentato in rosso deve essere di 30°.

2 Prerequisiti

Per poter risolvere questo problema bisogna conoscere i seguenti concetti:

  • campo magnetico;
  • vettore superficie;
  • flusso di campo magnetico;
  • forza elettromotrice indotta.

3 Soluzione

3.1 Punto 1

Per risolvere il punto 1 dell’esercizio si deve calcolare il flusso del campo nautico finale e il flusso del campo magnetico iniziale, per poi effettuarne la differenza in modo da ricavare la variazione di flusso di campo magnetico.

Si consideri quindi… Se vuoi continuare a vedere la soluzione scarica il documento acquistandolo qui sotto.

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Soluzione le traiettorie della fisica seconda edizione esercizio pag 65 num 45

Testo

Giuseppe misura la quantità di liquido contenuto in una pentola utilizzando un cilindro graduato che ha una portata di 150mL e una sensibilità di 5 mL. Con il liquido della pentola riempie per 5 volte il cilindro completamente e l’ultima volta fino alla tacca corrispondente al 40 mL.

  • Qual è il risultato della sua misura del contenuto della pentola?

Poi ripete la misura usando un cilindro con la stessa sensibilità e con la portata di 1,5 litri.

  • L’incertezza della misura cambia in questo caso?

Prerequisiti

Per risolvere il problema bisogna conoscere:

  • il significato di sensibilità dello strumento di misura;
  • il significato dell’incertezza di misura;
  • cosa si intende per misura.

Soluzione

Primo punto

Per risolvere il primo punto bisogna tenere in considerazione che la misurazione del contenuto è stata effettuata 6 volte, di cui 5 volte con il cilindro completamente pieno e 1 volta con il cilindro parzialmente pieno.

Questo significa che l’incertezza della misura si è accumulata 6 volte, risultando pari a 6 volte 5mL, cioè pari a 30mL. Infatti

\( 6 \cdot 5mL = 30mL\)

Se non ci fosse stata alcuna incertezza, la misura sarebbe stata di 790mL, perché sono stati aggiunti per 5 volte 150mL e per una volta 40 mL. Infatti:

\( 5 \cdot 150mL + 1 \cdot 40mL = 790mL\)

Quindi, rispondendo alla prima domanda, il risultato della sua misura del contenuto della pentola è di \( 790mL \pm 30mL\).

Secondo punto

Per il secondo punto invece viene effettuata solamente una misurazione e quindi l’incertezza stavolta cambia ed è meno rispetto alla volta precedente. Infatti il numero delle volte che si effettua la misura è solo 1 e non 6 come nel punto precedente. In questo caso dunque l’incertezza ammonta a soli 5 ml.

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Come risolvere esercizio n. 43 pag. 448 – Le traiettorie della fisica.azzurro, Amaldi

1        Testo

I palloni stratosferici sono enormi aerostati in polietilene, che possono raggiungere il diametro di 200 m. Vengono lanciati con un carico di strumenti di rilevazione per effettuare esperimenti scientifici nell’alta atmosfera (possono arrivare a 40.000 m di quota). Un pallone stratosferico pieno di elio (densità \( \rho = 0.179 kg / m^3 \) )sale in aria (densità \( \rho = 1.29 kg / m^3 \) ) sollevato da una spinta ascensionale pari a \( 7.12 \cdot 10^5 N \).

Quale e il volume del pallone? (trascura la massa dell’involucro rispetto alla massa di elio)

2        Soluzione

Per risolvere il problema si deve tenere in considerazione che la spinta netta verso l’alto è il risultato di una spinta che batte anche la forza peso del pallone. Da questa considerazione si può affermare che la spinta ascensionale netta non è uguale alla forza che si utilizzerebbe nella formula di Archimede. Infatti la forza da utilizzare come spinta di Archimede è più grande della forza ascensionale dichiarata dal problema.

\( F_{A r c}=F_{a s c}+m_{e l} g \)

In cui:

  • \( F_{A r c} \) è la forza di Archimede;
  • \( F_{a s c} \) è la forza ascensionale dichiarata dal problema;
  • \( m_{e l} \) è la massa del pallone pieno d’elio;
  • \( g \) è l’accelerazione gravitazionale a cui viene sottoposto il pallone pieno d’elio.

D’altra parte deve essere vero che, per il principio di Archimede:

\( F_{A r c}=\rho_{a} V_{e l} g \)

In cui:

  • \( V_{e l}\) è il volume del pallone d’elio richiesto dal problema;
  • \( \rho_{a} \) è la densità dell’aria ed è un dato del problema.

Quindi:

\( F_{a s c}+m_{e l} g=\rho_{a} V_{e l} g \)

Ma siccome la densità del pallone pieno d’elio è:

\( \rho_{e l}=\frac{m_{e l}}{V_{e l}} \)

Allora si può scrivere anche che:

\( F_{a s c}+\rho_{e l} V_{e l} g=\rho_{a} V_{e l} g \)

Ovvero:

\( V_{e l}=\frac{F_{a s c}}{g\left(\rho_{a}-\rho_{e l}\right)} \approx 6.54 \cdot 10^{4} m^{3} \)

Quindi il volume del pallone pieno d’elio è pari a circa \( 6.54 \cdot 10^{4} m^{3} \).