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Come risolvere esercizio n.24 capitolo 9 (Le traiettorie della fisica.azzurro)

1       Testo

Un pallone viene lanciato con una velocitร  di 8.7 m/s e con un’inclinazione di 60ยฐ rispetto al suolo.

  • Determina la massima altezza che il pallone puรฒ raggiungere.

2       Soluzione

Il sistema che descrive il moto del pallone รจ:

\( \left \{ \begin{matrix} x=v_{0,x}t \\ y=v_{0,y}-\frac{1}{2}gt^2 \end{matrix} \right. \)

In cui:

  • \(x\) รจ la coordinata x della posizione del corpo;
  • \(y\) รจ la coordinata y della posizione del corpo;
  • \(v_{0,x}\) รจ la velocitร  iniziale del pallone lungo x;
  • \(v_{0,y}\) รจ la velocitร  iniziale del pallone lungo y;
  • \(g\) รจ accelerazione gravitazionale \(9.81\frac{m}{s^2}\).

Si puรฒ affermare che…

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Esercizio esempio sui diagrammi di Bode in un circuito RC

1       Testo

Sia dato un circuito RC con una resistenza pari aย \( 1k\Omega \)ย e una capacitร  pari aย \( 5\mu\ F \). Si scelga un generatore ad ampiezza pari a 2V e oscillazione 5Hz. Considerando la tensione di outputย \( V_{out} \) quella sul condensatore si determini:

  • lโ€™ampiezza della tensione di output (al condensatore); 
  • la frequenza di taglio del sistema;
  • lโ€™ampiezza dellโ€™output a seguito di una perdita di 3dB di ampiezza;
  • per quale frequenza viene dimezzata lโ€™ampiezza dellโ€™input.

2       Soluzione

Il circuito RC descritto dal testo del problema รจ rappresentato in figura seguente.

Figuraย 1ย Esempio di circuito RC, il programma utilizzato รจ LTspice XVII

Si sa che, per la legge alle maglie di Kirchhoff, tutte le tensioni sommate devono fare zero. Perciรฒ in un circuito RC vale che:

\(V_{in}+V_R+V_C=0\)

Ovvero:

\(V_{in}=-V_R-V_C=-V_R-\frac{1}{C}\int_{0}^{t}{i(t)}dt\)

Ricordando che, per la trasformata di Laplace, lโ€™integrale รจ soggetto alla regola:

\( \mathcal{L}\left[\int_{0}^{t}f\left(\tau\right)dt\right]=\frac{1}{s}F(s) \)

Allora, nel dominio di Laplace, diventa:

\( V_{in}\left(s\right)=-V_R\left(s\right)-\frac{1}{sC}I(s) \)
\( V_{in}\left(s\right)=-RI(s)-\frac{1}{sC}I(s) \)
\( V_{in}\left(s\right)=\left(-1-\frac{1}{sRC}\right)RI(s) \)
\( \frac{V_R\left(s\right)}{V_{in}(s)}=-\frac{sRC}{sRC+1} \)

Quindi…

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Esercizio esempio richiesto su come ridurre un’equazione trigonometrica

Si voglia ridurre la seguente espressione trigonometrica

\( \sin^2{\frac{a}{2}}+sin(30ยฐ+a)+sin60ยฐcos( \frac{ฯ€}{2}+a) \)

Soluzione

Ricordando che:

\(\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\beta}\cos{\alpha}\)

Si ha:

\( \sin^2{\frac{a}{2}}+sin30ยฐcosa+sinacos30ยฐ+sin60ยฐcos(\frac{ฯ€}{2}+a) \)

E ricordando che:

\(\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\)

Si ottiene…

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Come trovare il vertice di una parabola ruotata, esercizio di esempio

1ย ย ย ย ย ย  Testo

Si determini il vertice della seguente parabola:

\( x^2-4xy+4y^2-28x-44y+96=0 \)

2       Soluzione

La formula del testo si presenta nella seguente forma generica:

\(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\)

Esisterร  un sistema di riferimento per cui รจ vero che:

\(x=X\cos{\alpha}-Y\sin{\alpha}\)

\(y=X\sin{\alpha}+Y\cos{\alpha}\)

In cui \(\alpha\) รจ la rotazione tra i due sistemi di riferimento \(xy\) e \(XY\).

Puรฒ essere facilmente ricavato che:

\(X=x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}\)

Volendo riscrivere \(X=x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}\) si avrebbe:

\(A(X\cos \alpha-Y\sin \alpha)^2+\)

\( + B(X\cos \alpha-Y\sin \alpha)(X\sin \alpha+Y\cos \alpha) +\)

\(+ C(X\sin \alpha+Y\cos \alpha)^2 +\)

\( + D(X\cos\alpha-Y\sin\alpha) +\)

\(+ E(X\sin \alpha+Y\cos \alpha)+F=0\)

Che riorganizzata potrร  essere certamente scritta nella forma:

\( A^\prime X^2+B^\prime XY+C^\prime Y^2+D^\prime X+E^\prime Y+F=0 \)

In cui i nuovi coefficienti dipendono dal nuovo sistema di riferimento. Se il sistema di riferimento fosse rintracciato appropriatamente allora…

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Cosa รจ la pressione in fisica?

La pressione รจ una grandezza fisica scalare indicativa dellโ€™effetto che ha una forza agente su una certa superficie. La pressione si calcola dal rapporto tra il modulo della forza che agisce su una data superficie e perpendicolare a essa e lโ€™area della superficie stessa.

Essendo che la pressione รจ una grandezza scalare, essa non possiede le caratteristiche tipiche del vettore, cioรจ non possiede modulo, direzione e/o verso. Come ogni grandezza scalare, la pressione รจ solo un numero, che ha come unitร  di misura il Pascal \( [Pa] \). Inoltre, essendo che la pressione รจ il rapporto tra il modulo di una forza e una superficie รจ anche vero che un Pascal รจ pari alla forza di un Newton applicata a un metro quadro di superficie \( [ \frac{N}{m^2}] \).

Sebbene la pressione dipendente dal modulo della forza le due grandezze non sono sommabili per due motivi:

  • Il motivo piรน strettamente correlato al significato fisico dice che possono essere sommate solo due grandezze che hanno la stessa unitร  di misura. Siccome pressione e forza hanno unitร  di misura differenti non ha un senso fisico la loro somma numerica;
  • Il motivo piรน strettamente correlato al significato matematico ci porta a concludere che le due grandezze non sono sommabili perchรฉ hanno identitร  matematica differente; infatti, la pressione รจ uno scalare e la forza รจ un vettore. Vettore e scalare non sono sommabili tra di loro.

La pressione si calcola quindi come segue:

\( P=\frac{ \left \| \vec{F_{\perp }} \right \| }{S} \)

In cui:

  • \( \left \| \vec{F_{\perp }} \right \| \) รจ il modulo della forza perpendicolare \( \vec{F_{\perp }} \) alla superficie \( S \);
  • \( S \) รจ la superficie su cui agisce la forza \( \vec{F_{\perp }} \) .

Dalla formula appena proposta si intuisce che per aumentare la pressione ci sono due scelte che si possono fare:

  1. A paritร  di forza diminuire la superficie;
  2. A paritร  di superficie aumentare la forza.

Si dice infatti che la pressione รจ inversamente proporzionale alla superficie su cui agisce la forza perchรฉ tanto piรน aumenta la superficie e tanto piรน diminuisce la pressione ovvero tanto piรน diminuisce la superficie e tanto piรน aumenta la pressione.

Viceversa, la pressione รจ direttamente proporzionale alla forza che agisce su una determinata superficie perchรฉ tanto piรน aumenta la forza e tanto piรน aumenta la pressione ovvero tanto piรน diminuisce la forza e tanto piรน diminuisce la pressione.

In definitiva la pressione e la forza sono direttamente proporzionali mentre la pressione e la superficie sono inversamente proporzionali.

Tabella 1 Rappresentazione schematizzata di come cambia la pressione al variare della forza e della superficie. Tutti i vettori sono indicati come rappresentativi dei moduli. I simboli \( \uparrow\) , \( \downarrow\) e \( \leftrightarrow\) stanno rispettivamente per cresce, decresce, rimane costante. In rosso vengono indicate le quantitร  inversamente proporzionali mentre in verde vengono indicate quelle direttamente proporzionali
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Spiegazione e dimostrazione del teorema di Fermat

In questo scritto รจ possibile trovare:

  1. lโ€™enunciato del teorema di Fermat;
  2. richiami teorici sui requisiti per la corretta interpretazione del teorema e della sua dimostrazione;
  3. la dimostrazione del teorema di Fermat.

1 Enunciato del teorema

Data una funzione reale ad una variabile reale, che risulta continua e derivabile in un certo intervallo aperto I del valore \( x_0\), se in corrispondenza di \( x_0\) vi รจ un punto di massimo (minimo) allora la derivata prima in \( x_0\) vale zero. \( x_0\) viene anche detto punto di stazionarietร  per la funzione \(f(x)\).
Piรน formalmente, se esiste una funzione \(f:(a,b)โ†’\mathbb{R}\) che ha punto di massimo o minimo locale in \(x_0โˆˆ(a,b)\) e la funzione รจ differenziabile in \(x_0\) allora \( f’ (x_0 )=0 \).
Lโ€™affermazione dellโ€™enunciato viene resa palese tramite la rappresentazione grafica in Figura 1, in cui i valori \( M \) (di massimo locale) ed m (di minimo locale) rappresentano valori scelti di \(x_0\). Risulta chiaro che in corrispondenza di tali valori il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione รจ pari a zero, infatti la retta tangente risulta parallela allโ€™asse \(x\).

Figura 1 Illustrazione di punti di massimo e di minimo e della relativa direzione della retta tangente

Qualora il concetto del teorema di Fermat risulti poco chiaro รจ suggerito proseguire la lettura, in cui verranno chiarificati, tramite dei richiami teorici, i requisiti per la corretta interpretazione del teorema.
Alla fine dei richiami verrร  mostrata la dimostrazione dellโ€™enunciato, perciรฒ se รจ tutto chiaro si consiglia di procedere direttamente alla dimostrazione del teorema di Fermat.


2 Prerequisiti


Prima di passare alla dimostrazione del teorema รจ consigliato dare un ripasso rapido ai seguenti concetti:

  • Rapporto incrementale;
  • Derivata prima in un punto;
  • Massimi e minimi relativi;
  • Massimi e minimi stazionari e non stazionari.

Vengono riportati di seguito dei richiami ai temi necessari per la corretta interpretazione del teorema di Fermat e della sua interpretazione. Qualora tutti questi concetti siano chiari, si passi tranquillamente alla dimostrazione del teorema.

2.1 Rapporto incrementale

Data una funzione continua in un determinato intorno \(I\) del valore \(x_0\) si definisce rapporto incrementale in un punto \(x_0\), appartenente allโ€™intorno, il rapporto tra la variazione della funzione a seguito di un certo incremento h sull’asse delle x e l’incremento stesso.
In modo piรน formale, si supponga che \(f:\mathbb{R}โ†’\mathbb{R}\) sia una funzione continua in un certo intervallo I e si supponga che \(x_0\) sia un punto appartenente ad \(I\). Sia h un certo incremento, in x, rispetto al punto \(x_0\), tale che sia identificabile un nuovo valore \(x_0 + h\).
Il rapporto incrementale รจ dato da:


\( \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \)

Una rappresentazione geometrica dei termini presenti nel rapporto incrementale รจ osservabile dalla Figura 2.

Figura 2. Rappresentazione delle differenze incrementali in y e in x

Come ulteriormente precisato in Figura 3, รจ possibile evincere come il rapporto incrementale sia geometricamente corrispondente alla pendenza della retta secante la funzione e passante per il punto \( A ( x_0,f(x_0 )) \) e il punto \( B (x_0+h,f(x_0+h)) \).

Figure 3 Rappresentazione della retta passante per i punti A e B


2.2 Derivata prima in un punto


La derivata prima di una funzione in un punto \( x_0 \) รจ definita come il limite, per \( h \) che tende a zero, del rapporto incrementale:


\( \frac{f(x_0+h )-f(x_0 )}{h} \)


Il quale geometricamente esprime il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto \(x_0\), come illustrato in Figura 4.

Figura 4 Rappresentazione del coefficiente angolare di una retta tangente in un punto. Il punto B si sovrappone dinamicamente ad A.

Il termine:

\( f’ (x)= \lim\limits_{h \mapsto 0}โก \frac{f(x_0+h )-f(x_0 )}{h}\)

Rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione \( f(x) \) nel punto \( x_0 \) e si dice derivata prima della funzione \( f(x) \).


2.3 Massimo/minimo relativo


2.3.1 Massimo relativo


Sia \(f:\mathbb{R}โ†’\mathbb{R}\), definiamo \(x_0\) punto di massimo relativo se esiste almeno un intorno di \(x_0\) tale che, per ogni x appartenente all’intorno di \(x_0\), il valore della funzione in \(x_0\) รจ maggiore o uguale al valore che la funzione assume in ogni punto di tale intorno.
In Figura 4 viene rappresentato un intorno del valore \(x_0\) e tale intorno รจ definito dalla quantitร  \(\delta\). La quantitร  \(\delta\) puรฒ essere scelta piccola a piacere ma rimane comunque vero che \(x_0\) รจ maggiore o uguale al valore che la funzione assume in ogni punto di tale intorno.

Figura 4 Rappresentazione di un valore di massimo locale per una funzione \(f(x)\)


Si supponga che tale intorno venga chiamato \(I(x_0 )\).
Deve essere vero che:


\(\forall x \in I(x_0 ) \to f(x_0 ) \geq f(x)\)


E si legge: per qualunque x appartenente allโ€™intorno \(I\) di \(x_0\) si ha che \(f(x_0 )\) รจ maggiore o uguale a \(f(x)\).


2.3.2 Minimo relativo


Sia \(f:\mathbb{R}โ†’\mathbb{R}\), definiamo \(x_0\) punto di minimo relativo se esiste almeno un torno di \(x_0\) tale che per ogni x appartenente all’intorno di \(x_0\) il valore della funzione in \(x_0\) รจ minore o uguale al valore che la funzione assume in ogni punto di tale intorno.

In Figura 5 viene rappresentato un intorno del valore \(x_0\) e tale intorno รจ definito dalla quantitร  \(\delta\).

Figura 5 Rappresentazione di un valore di minimo locale per una funzione \(f(x)\)


Si supponga che tale intorno venga chiamato \(I(x_0 )\). Deve essere vero che:


\(\forall x \in I(x_0 ) \to f(x_0 ) \leq f(x)\)


2.3.3 Un punto di massimo/ minimo puรฒ essere stazionario o non stazionario

Un punto di massimo o di minimo puรฒ essere stazionario o non stazionario. In particolare, un punto รจ detto stazionario quando la derivata prima in quel punto vale zero. In questo caso la pendenza della retta tangente รจ nulla, e quindi la retta tangente รจ orizzontale.
Gli esempi riportati in Figura 4 e in Figura 5 mostrano dei punti stazionari rispettivamente di massimo e di minimo locale. Non necessariamente un punto di stazionarietร  รจ perรฒ di massimo o di minimo locale, casistica in cui si parla di punto di flesso, come quella rappresentata in Figura 6.

Figura 6 Rappresentazione di un punto di flesso. La derivata รจ zero ma il punto non รจ nรฉ di massimo nรฉ di minimo

Nel caso in cui non si รจ in presenza di punti di stazionarietร , questi possono comunque essere punti di massimo o di minimo locale. Infatti se รจ vero che la derivata nulla puรฒ essere indice di punto di massimo o di minimo locale non รจ vero che il contrario e cioรจ potrebbe essere possibile trovare dei punti di massimo o di minimo locale con valori di derivata diversi da zero.
Piรน precisamente puรฒ capitare per esempio che ci sia un punto in cui la derivata destra e sinistra siano tra loro diverse.
Le condizioni che potrebbero presentarsi sono le seguenti:

  • Un punto angoloso,
  • Una cuspide,
  • Un estremo in cui la pendenza della retta รจ non nulla.

Questi casi possono dare luogo a dei minimi o dei massimi locali che sono
Massimo non stazionario
In Figura 7 vengono mostrati dei casi di massimo locale che non hanno derivata nulla, cioรจ non sono punti stazionari. Si puรฒ osservare come le rette tangenti in tali punti non mostrino coefficiente angolare uguale a zero.

Figura 7 Esempi di massimi non stazionari a) Punto di cuspide b) Punto angoloso c) Estremi della funzione

In Figura 8 vengono mostrati dei casi di minimo locale che non hanno derivata nulla, cioรจ non sono punti stazionari. Si puรฒ osservare come le rette tangenti in tali punti non mostrino coefficiente angolare uguale a zero.

Figura 8 Esempi di minimi non stazionari a) Punto di cuspide b) Punto angoloso c) Estremi della funzione

2.4 Teorema di Fermat


Data una funzione reale ad una variabile reale che risulta continua e derivabile in un certo intervallo \(I\), se \(x_0\) รจ un punto di massimo (minimo) allora la derivata prima in \(x_0\) vale zero. Ovvero \(x_0\) รจ un punto stazionario.

Ipotesi


Sia \(f:\mathbb{R}โ†’\mathbb{R}\) continua e derivabile in \(I \subset D\) e \(x_0 \in I\) sia un punto di massimo.

Tesi

\(f'(x_0)=0\)


Cioรจ \( x_0 \) รจ stazionario.


Osservazione


Lโ€™ipotesi di derivabilitร  consente di non ricadere nel caso del punto angoloso o di cuspide, perchรฉ in tali punti, essendo le derivate sinistra e destra differenti, si parla di funzioni non derivabili in quei punti. Inoltre, lโ€™ipotesi di derivabilitร  vieta la possibilitร  di stare agli estremi di definizione. In quanto in tali punti la funzione non ha derivata sinistra e destra ma o solo sinistra o solo destra.


Dimostrazione


Si consideri un certo intorno di \(x_0\), \((x_0-\delta ; x_0 + \delta ) \). รˆ possibile suddividere tale intorno in due zone:
Intorno sinistro di \( x_0, (x_0- \delta ; x_0 ] \), indicato con \( I^{-} (x_0) \);
Intorno destro di \(x_0 \), \([x_0;x_0+\delta)\),indicato con \(I^{+} (x_0 )\).
In Figura 9 viene illustrata la situazione di riferimento.

Figura 9 Illustrazione dell’intorno e dei due intorni, destro e sinistro, scelti in modo tale da essere simmetrici rispetto al punto di massimo locale


Quindi รจ possibile definire come segue lโ€™intorno di \(x_0\):


\(I(x_0 )=(x_0-\delta ,x_0+\delta) \)

E come segue lโ€™intorno sinistro di \(x_0\):


\(I^{-}(x_0 )=(x_0 – \delta , x_0 )\)

E infine lโ€™intorno destro di \(x_0\):


\( I^{+} (x_0 )=(x_0,x_0+\delta )\)


Intorno sinistro di \(x_0\)


Si consideri ora l’intorno sinistro e il rapporto incrementale sinistro nel punto \(x_0\), lโ€™obiettivo รจ quello di ragionare sulla derivata sinistra nel punto \(x_0\).
Si puรฒ scrivere il rapporto incrementale sinistro nel seguente modo:


\(RI^{-} (x_0 )=\frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h}\)


In questo caso รจ necessario considerare un valore di \(h\) negativo, perchรฉ la quantitร  \(x_0+h\) deve trovarsi a sinistra del valore \(x_0\), come mostrato in Figura 10.

Figura 10 Illustrazione grafica del punto di massimo locale, del rapporto incrementale sinistro e della retta con tale coefficiente angolare


Considerando \(h<0\) per la quantitร  \(RI^{-} (x_0 )=\frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h}\) si deve avere che


\( f(x_0+h)-f(x_0 ) \leq 0 \)

Infatti


\( f(x_0 ) \geq f(x_0+h) \)


E di conseguenza:


\( \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \geq 0\)


Si nota subito che tale rapporto incrementale presenta:

  • Un numeratore negativo;
  • Un denominatore negativo.

Il numeratore รจ negativo poichรฉ \(x_0\) รจ punto di massimo, quindi il valore di \(f(x_0 )\) รจ maggiore o uguale a quello di ogni altra \(f(x)\) all’interno dell’intorno \(I^{-} (x_0 )\) e quindi anche di \(f(x_0+h)\). Il denominatore รจ negativo poichรฉ abbiamo assunto un incremento h negativo. Dunque, il rapporto incrementale nell’intorno sinistro รจ certamente maggiore o uguale a zero. Dopotutto รจ possibile notare come la retta secante sia crescente. Passando al limite del rapporto incrementale per h tendente a zero, dovremmo ammettere che รจ maggiore o uguale a zero.


\(f’_{-} (x_0 )=\lim\limits_{h \to 0}โ€ŠRI^{-} (x_0 ) \geq 0\)


Dunque, si sta ammettendo che la derivata sinistra รจ maggiore o uguale a zero.


Intorno destro di \(x_0\)


Si consideri ora l’intorno destro \( I^{+} (x_0 ) \) e il rapporto incrementale destro nel punto \( x_0 \), lโ€™obiettivo รจ quello di ragionare sulla derivata destra nel punto \( x_0 \).
Si puรฒ scrivere il rapporto incrementale destro nel seguente modo:


\( RI^{+} (x_0 ) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \)


In questo caso รจ invece necessario ammettere che il valore di \( h \) รจ positivo, come viene delucidato dalla Figura 11.

Figura 11 Illustrazione grafica del punto di massimo locale, del rapporto incrementale destro e della retta con tale coefficiente angolare


Considerando \( h>0 \) per la quantitร  \( RI^{+} (x_0 )= \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h}\) si deve avere che


\( f(x_0+h)- f(x_0 ) \leq 0 \)

Infatti:


\( f(x_0 ) \geq f(x_0+h) \)


E di conseguenza:


\( \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \leq 0 \)


Notiamo subito che tale rapporto incrementale presenta:

  • Un numeratore negativo
  • Un denominatore positivo


Il numeratore รจ ancora negativo, poichรฉ \(x_0\) รจ punto di massimo. Quindi il valore di \( f(x_0 ) \) รจ maggiore o uguale a quello di ogni altra \( f(x) \) all’interno dell’intorno \( I^{+} (x_0 ) \) e quindi anche di \( f(x_0+h)\). Il denominatore รจ positivo poichรฉ รจ stato assunto un incremento \(h\) positivo, dunque il rapporto incrementale nell’intorno sinistro รจ certamente minore o uguale a zero. Dopotutto รจ possibile notare come la retta sia secante รจ decrescente. Passando al limite del rapporto incrementale per h tendente a zero, รจ necessario ammettere che รจ minore o uguale a zero.


\(f’_{+} (x_0 )=\lim\limits_{h \to 0}โ€ŠRI^{+} (x_0 ) \leq 0 \)


Dunque, si sta ammettendo che la derivata destra รจ minore o uguale a zero.
Volendo ricapitolare:

  • La derivata sinistra di \(x_0\) รจ maggiore o uguale a zero.
  • La derivata destra di \(x_0\) รจ minore o uguale a zero.


Unโ€™illustrazione della situazione di questa prima conclusione viene fornita in Figura 12.

Figura 12 illustrazione della retta secante sinistra e retta secante destra al punto \(x_0\) precedentemente considerate


Siccome la funzione รจ derivabile in \(x_0\) per ipotesi, allora la derivata sinistra deve per forza coincidere con la derivata destra. Questo รจ possibile solamente quando la derivata รจ uguale a zero, che รจ la tesi.

Figura 13 Rappresentazione grafica intuitiva di conclusione secondo tesi del teorema di Fermat

Tenendo in considerazione che \( f’_{-} (x_0 ) \geq 0 \) e che \(f’_{+} (x_0 ) \leq 0\) deve dunque essere per forza che:


f’_{-} (x_0 )=f’_{+} (x_0 )=0


รˆ stato dunque dimostrato che se una funzione รจ continua e derivabile in un certo intervallo, i punti di massimo (o di minimo) presenti internamente sono stazionari.

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I vasi comunicanti per liquidi non miscibili

Sono considerati vasi comunicanti due o piรน recipienti collegati tra loro al di sotto del livello di superficie del liquido che li riempie. Unโ€™illustrazione schematica dei vasi comunicanti รจ data in Figura 1, in cui รจ possibile notare come l’altezza del livello di superficie del liquido a sinistra e a destra dei vasi รจ uguale.

Il liquido tende a riempire il recipiente mantenendo il livello di superficie uguale per tutti i punti superficiali rispetto al livello di terra.

Figura 1 Esempio di vasi comunicanti. Le due segnalazioni laterali mostrano come il livello di superficie del liquido sia uguale nel vaso di sinistra e in quello di destra

La legge di Stevino vale anche in questa condizione e ci dice che:

\(P=p_{a t m}+d g h\)

In cui:

  • \(P\) รจ la pressione a una certa altezza dalla superficie;
  • \(d\) รจ la densitร  del liquido;
  • \(g\) รจ lโ€™accelerazione gravitazionale e vale \(9.81 \frac{m}{s^{2}}\);
  • \( h \) รจ la profonditร  dalla superficie dellโ€™acqua.

Quando al liquido viene aggiunto un altro liquido immiscibile succede che i due liquidi rimangono separati. Ciascun liquido ha densitร  diverse e sotto tale condizione tra i vasi puรฒ instaurarsi un dislivello. Un esempio di questa situazione รจ rappresentato in Figura 2.

Si puรฒ assumere che il liquido blu e il liquido giallo siano rispettivamente acqua e olio. In questo caso lโ€™aggiunta di olio provocherebbe il dislivello indicato nellโ€™illustrazione. Il vaso che contiene lโ€™aggiunta di olio ha un livello di superficie piรน alto rispetto alla controparte.

Figura 2 Esempio di vasi comunicanti con liquido aggiunto differente non miscibile

Deve essere vero che la pressione nel fondo dei vasi destro e sinistro รจ uguale:

\(P_{s x}=P_{d x}\)

In Figura 3 viene mostrata la condizione di aggiunta dellโ€™olio in una situazione in cui i vasi comunicanti sono pieni di acqua.

Figura 3 La condizione di equilibrio รจ decisa dalle regioni tratteggiate in arancione

La linea tratteggiata rossa รจ stata tracciata in modo tale che si trovasse a livello con la superficie che separa lโ€™olio dallโ€™acqua. Come รจ possibile notare la linea rossa taglia anche il vaso sinistro. Sopra la linea rossa le quantitร  di volume di liquido sono diverse, perchรฉ le densitร  dei liquidi interessati sono diverse.

Lโ€™acqua, che รจ piรน densa dellโ€™olio, mostra uno stacco in altezza dalla linea tratteggiata rossa pari a \(h_{dis}\), mentre lโ€™olio, meno denso dellโ€™acqua, mostra uno stacco in altezza dalla linea tratteggiata rossa pari a \(h_{olio}\) .

Risulta evidente dalla figura che \(h_{\text {olio }}>h_{\text {dis }}\), che รจ una conseguenza del fatto che la densitร  dellโ€™olio รจ minore di quella dellโ€™acqua. In sostanza questo fa capire che, dato un certo volume di acqua serve piรน volume di olio per bilanciare il peso dellโ€™acqua. Questo รจ anche il motivo per cui lโ€™altezza del liquido del vaso destro \(h_{dx}\) รจ superiore a quella del vaso sinistro \(h_{sx}\) .

Supponendo che \(d_{H 2 O}\) sia la densitร  dellโ€™acqua e che \(d_{olio}\)  sia la densitร  dellโ€™olio, per la legge di Stevino, deve essere:

\(p_{a t m}+d_{H 2 o} g h_{d i s}=p_{a t m}+d_{\text {olio }} g h_{\text {olio }}\)

\(d_{H 2 O} h_{d i s}=d_{\text {olio }} h_{\text {olio }}\)

\(\frac{d_{H 2 O}}{d_{\text {olio }}}=\frac{h_{\text {olio }}}{h_{\text {dis }}}\)

Questo ci fa capire che, a paritร  di liquidi scelti, lโ€™altezza di liquido del vaso in cui si trova lโ€™olio sarร  sempre piรน grande rispetto allโ€™altra. Inoltre, tale legge ci fa capire che la differenza di altezza del liquido nei due vasi \(h_{\text {olio }}-h_{\text {dis }}\) dipende unicamente dalla quantitร  di olio aggiunta e non dalla quantitร  di liquido sotto la linea tratteggiata rossa.

Volendo generalizzare a due liquidi generici con densitร  \(d_1\) e \(d_2\) si puรฒ facilmente concludere che:

\(\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{h_{2}}{h_{1}}\)

In cui \(h_1\)  e \(h_2\)  sono le altezze, rispetto alla linea tratteggiata rossa, a cui si trovano le superfici di liquido rispettivamente al vaso a destra e a sinstra.

Esempio vasi comunicanti per liquidi non miscibili

Supponiamo di aggiungere 100 ml di olio a dei vasi comunicanti, con sezione circolare a raggio 3cm, che contengono acqua. Di quanto si innalza il livello dellโ€™acqua a sinistra dei vasi?

\( h_{dis} \frac{d_{H 2 O}}{d_{ \text {olio } }} = \frac{ h_{ \text {olio } }}{ \boldsymbol{h_{dis }}} \boldsymbol{h_{dis}}\)

\(\boldsymbol{d_{olio }} h_{dis} \frac{d_{H2O}}{\boldsymbol{d_{olio }}} = h_{olio } d_{olio } \)

\( \frac{h_{dis} \boldsymbol{d_{H2O}}}{ \boldsymbol{d_{H2O}}} = \frac {h_{olio} d_{olio}}{d_{H2O}} \)

\(h_{d i s}=\frac{d_{\text {olio }}}{d_{H 2 O}} h_{\text {olio }}\)

Sapendo che \(d_{\text {olio }}=0.916 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}\) e che \(d_{H 2 O}=1 \frac{k g}{m^{3}}\) si ha:

\(h_{d i s}=0.916 h_{\text {olio }}\)

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Analisi su Plus 500

Nota bene: Thinking Process non si assume alcuna responsabilitร  sulla accuratezza dei dati e delle predizioni, ogni scelta di investimento รจ completa responsabilitร  dellโ€™investitore.

Plus 500 รจ unโ€™azienda nel settore della tecnologia che fornisce servizi da broker e secondo quanto affermato dallโ€™azienda stessa โ€œPlus 500 รจ uno dei maggiori fornitori di contratti per differenza (CFD), ed offre funzioni di trading di azioni, forex, materie prime, criptovalute, ETF, opzioni ed indici assieme ad una tecnologia di trading innovativaโ€.

Di seguito vengono valutate alcune performance chiave di questa azienda. Le valutazioni delle performance medie vengono effettuate per gli anni che vanno dal 2015 al 2020, uno storico corrispondente agli ultimi 6 anni di attivitร .

Il patrimonio netto dellโ€™azienda risulta cresciuto con media annua del 34% mentre il tasso di crescita medio dellโ€™attivo totale risulta essere pari al 30%, molto di piรน rispetto alle passivitร  totali, le quali risultano essere cresciute annualmente del 26% in media. Dalla Figura 1 รจ possibile notare la discrepanza tra i trend delle voci di bilancio sopra menzionate, si puรฒ notare un grande stacco verso lโ€™alto degli attivi di Plus 500.

Figura 1 Confronto tra patrimonio netto (grigio), totale attivo (blu) e passivitร  totali (rosso).

In Figura 2 viene mostrato il confronto con aggiunta della capitalizzazione. Si puรฒ calcolare che il rischio di perdita di capitale per lโ€™investitore si aggira in media tra 70% e 80% nellโ€™eventualitร  in cui lโ€™impresa dovesse liquidare tutto. Tuttavia questa eventualitร  รจ molto remota, viste le performance generali di Plus 500.

Figura 2 Confronto tra patrimonio netto (grigio), totale attivo (blu) e passivitร  totali (rosso) con aggiunta della capitalizzazione

Supponendo che il tasso di crescita medio annuo si mantenga il totale attivo del 2023 risulterร  molto piรน grande rispetto ai passivi dellโ€™azienda, come si puรฒ notare dalla Figura 3.

Figura 3 Predizioni fino al 2023 dell’andamento del patrimonio netto (grigio), totale attivo (blu) e passivitร  totali (rosso), supponendo che il tasso di crescita medio annuo si mantenga.

La predizione di stacco netto degli attivi dai passivi, sebbene piรน moderata, รจ confermata dalla Figura 4, in cui รจ stata utilizzata la funzione del software Excel FORECAST.ETS per il calcolo delle predizioni.

Figura 4 Predizioni dell’andamento del patrimonio netto (grigio), totale attivo (blu) e passivitร  totali (rosso) tramite lโ€™utilizzo della funzione del software Excel FORECAST.ETS.

ROI, ROE e ROA hanno tassi di crescita che si aggirano in media tra il 50% e il 100%, come testimoniato dalla Figura 5, attestando lโ€™azienda Plus 500 come un interessante investimento a forte prospettiva di crescita. Se i tassi di profitto si mantengono lโ€™azienda continuerร  a crescere in modo molto intenso nei prossimi anni.

Figura 5 Confronto tra ROE (grigio), ROI (blu) e ROA (rosso). Lโ€™azienda mostra forte crescita.

I ricavi totali dellโ€™azienda crescono annualmente con una media del 35% mentre il reddito netto ha una crescita del 59%, vicino al doppio rispetto ai ricavi totali. La capitalizzazione cresce a un passo medio annuo del 28% circa, mentre le spese totali del 23%.

Figura 6 Confronto tra reddito netto (grigio), ricavi totali (blu), spese totali dโ€™esercizio (rosso) e capitalizzazione (giallo).

Dai dati emerge che lโ€™azienda รจ in forte crescita, con interessanti dati per investimenti a lungo termine. La valutazione dei dati sopra citati รจ certamente limitata allโ€™osservazione di alcuni parametri fondamentali e non costituisce alcuna garanzia di successo dellโ€™impresa. รˆ sempre buona norma valutare anche le iniziative business dellโ€™azienda stessa e le iniziative orientate alla crescita che intraprende.

Nota bene: Thinking Process non si assume alcuna responsabilitร  sulla accuratezza dei dati e delle predizioni, ogni scelta di investimento รจ completa responsabilitร  dellโ€™investitore.

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Come determinare il raggio atomico dellโ€™atomo dโ€™idrogeno conoscendo la sua energia di ionizzazione

Testo

Determina il raggio atomico dellโ€™atomo dโ€™idrogeno sapendo che la sua energia di ionizzazione, cioรจ la minima energia richiesta per allontanare da esso un elettrone, รจ di 13,6 eV.

Prerequisiti


Per risolvere questo esercizio dovrai conoscere:

  1. I concetti di energia potenziale ed energia cinetica;
  2. La seconda legge della dinamica;
  3. Come invertire le formule;
  4. La carica dellโ€™elettrone e del protone;
  5. La costante di Coulomb;
  6. Il concetto di energia totale
  7. La teoria associata al moto circolare uniforme
  8. Come convertire gli elettronVolt (eV) in Joule (J).

Soluzione

Lโ€™elettrone dellโ€™atomo di idrogeno ruota intorno al nucleo mantenendo unโ€™energia potenziale data dalla formula:
Si osservi che…