PhD student | Biomedical Engineer | Telemedicine | Telerehabilitation | Investor
Andrea รจ un Ingegnere Biomedico,ย specialista nel settore della Teleriabilitazione e appassionato di tematiche economico-finanziarie. Investe regolarmente in Borsa da anni ed รจ ideatore e creatore di OJB.
Sia dato un circuito RC con una resistenza pari aย \( 1k\Omega \)ย e una capacitร pari aย \( 5\mu\ F \). Si scelga un generatore ad ampiezza pari a 2V e oscillazione 5Hz. Considerando la tensione di outputย \( V_{out} \) quella sul condensatore si determini:
lโampiezza della tensione di output (al condensatore);
la frequenza di taglio del sistema;
lโampiezza dellโoutput a seguito di una perdita di 3dB di ampiezza;
per quale frequenza viene dimezzata lโampiezza dellโinput.
2 Soluzione
Il circuito RC descritto dal testo del problema รจ rappresentato in figura seguente.
Figuraย 1ย Esempio di circuito RC, il programma utilizzato รจ LTspice XVII
Si sa che, per la legge alle maglie di Kirchhoff, tutte le tensioni sommate devono fare zero. Perciรฒ in un circuito RC vale che:
La pressione รจ una grandezza fisica scalare indicativa dellโeffetto che ha una forza agente su una certa superficie. La pressione si calcola dal rapporto tra il modulo della forza che agisce su una data superficie e perpendicolare a essa e lโarea della superficie stessa.
Essendo che la pressione รจ una grandezza scalare, essa non possiede le caratteristiche tipiche del vettore, cioรจ non possiede modulo, direzione e/o verso. Come ogni grandezza scalare, la pressione รจ solo un numero, che ha come unitร di misura il Pascal \( [Pa] \). Inoltre, essendo che la pressione รจ il rapporto tra il modulo di una forza e una superficie รจ anche vero che un Pascal รจ pari alla forza di un Newton applicata a un metro quadro di superficie \( [ \frac{N}{m^2}] \).
Sebbene la pressione dipendente dal modulo della forza le due grandezze non sono sommabili per due motivi:
Il motivo piรน strettamente correlato al significato fisico dice che possono essere sommate solo due grandezze che hanno la stessa unitร di misura. Siccome pressione e forza hanno unitร di misura differenti non ha un senso fisico la loro somma numerica;
Il motivo piรน strettamente correlato al significato matematico ci porta a concludere che le due grandezze non sono sommabili perchรฉ hanno identitร matematica differente; infatti, la pressione รจ uno scalare e la forza รจ un vettore. Vettore e scalare non sono sommabili tra di loro.
\( \left \| \vec{F_{\perp }} \right \| \) รจ il modulo della forza perpendicolare \( \vec{F_{\perp }} \) alla superficie \( S \);
\( S \) รจ la superficie su cui agisce la forza \( \vec{F_{\perp }} \) .
Dalla formula appena proposta si intuisce che per aumentare la pressione ci sono due scelte che si possono fare:
A paritร di forza diminuire la superficie;
A paritร di superficie aumentare la forza.
Si dice infatti che la pressione รจ inversamente proporzionale alla superficie su cui agisce la forza perchรฉ tanto piรน aumenta la superficie e tanto piรน diminuisce la pressione ovvero tanto piรน diminuisce la superficie e tanto piรน aumenta la pressione.
Viceversa, la pressione รจ direttamente proporzionale alla forza che agisce su una determinata superficie perchรฉ tanto piรน aumenta la forza e tanto piรน aumenta la pressione ovvero tanto piรน diminuisce la forza e tanto piรน diminuisce la pressione.
In definitiva la pressione e la forza sono direttamente proporzionali mentre la pressione e la superficie sono inversamente proporzionali.
Tabella 1 Rappresentazione schematizzata di come cambia la pressione al variare della forza e della superficie. Tutti i vettori sono indicati come rappresentativi dei moduli. I simboli \( \uparrow\) , \( \downarrow\) e \( \leftrightarrow\) stanno rispettivamente per cresce, decresce, rimane costante. In rosso vengono indicate le quantitร inversamente proporzionali mentre in verde vengono indicate quelle direttamente proporzionali
richiami teorici sui requisiti per la corretta interpretazione del teorema e della sua dimostrazione;
la dimostrazione del teorema di Fermat.
1 Enunciato del teorema
Data una funzione reale ad una variabile reale, che risulta continua e derivabile in un certo intervallo aperto I del valore \( x_0\), se in corrispondenza di \( x_0\) vi รจ un punto di massimo (minimo) allora la derivata prima in \( x_0\) vale zero. \( x_0\) viene anche detto punto di stazionarietร per la funzione \(f(x)\). Piรน formalmente, se esiste una funzione \(f:(a,b)โ\mathbb{R}\) che ha punto di massimo o minimo locale in \(x_0โ(a,b)\) e la funzione รจ differenziabile in \(x_0\) allora \( f’ (x_0 )=0 \). Lโaffermazione dellโenunciato viene resa palese tramite la rappresentazione grafica in Figura 1, in cui i valori \( M \) (di massimo locale) ed m (di minimo locale) rappresentano valori scelti di \(x_0\). Risulta chiaro che in corrispondenza di tali valori il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione รจ pari a zero, infatti la retta tangente risulta parallela allโasse \(x\).
Figura 1 Illustrazione di punti di massimo e di minimo e della relativa direzione della retta tangente
Qualora il concetto del teorema di Fermat risulti poco chiaro รจ suggerito proseguire la lettura, in cui verranno chiarificati, tramite dei richiami teorici, i requisiti per la corretta interpretazione del teorema. Alla fine dei richiami verrร mostrata la dimostrazione dellโenunciato, perciรฒ se รจ tutto chiaro si consiglia di procedere direttamente alla dimostrazione del teorema di Fermat.
2 Prerequisiti
Prima di passare alla dimostrazione del teorema รจ consigliato dare un ripasso rapido ai seguenti concetti:
Rapporto incrementale;
Derivata prima in un punto;
Massimi e minimi relativi;
Massimi e minimi stazionari e non stazionari.
Vengono riportati di seguito dei richiami ai temi necessari per la corretta interpretazione del teorema di Fermat e della sua interpretazione. Qualora tutti questi concetti siano chiari, si passi tranquillamente alla dimostrazione del teorema.
2.1 Rapporto incrementale
Data una funzione continua in un determinato intorno \(I\) del valore \(x_0\) si definisce rapporto incrementale in un punto \(x_0\), appartenente allโintorno, il rapporto tra la variazione della funzione a seguito di un certo incremento h sull’asse delle x e l’incremento stesso. In modo piรน formale, si supponga che \(f:\mathbb{R}โ\mathbb{R}\) sia una funzione continua in un certo intervallo I e si supponga che \(x_0\) sia un punto appartenente ad \(I\). Sia h un certo incremento, in x, rispetto al punto \(x_0\), tale che sia identificabile un nuovo valore \(x_0 + h\). Il rapporto incrementale รจ dato da:
Una rappresentazione geometrica dei termini presenti nel rapporto incrementale รจ osservabile dalla Figura 2.
Figura 2. Rappresentazione delle differenze incrementali in y e in x
Come ulteriormente precisato in Figura 3, รจ possibile evincere come il rapporto incrementale sia geometricamente corrispondente alla pendenza della retta secante la funzione e passante per il punto \( A ( x_0,f(x_0 )) \) e il punto \( B (x_0+h,f(x_0+h)) \).
Figure 3 Rappresentazione della retta passante per i punti A e B
2.2 Derivata prima in un punto
La derivata prima di una funzione in un punto \( x_0 \) รจ definita come il limite, per \( h \) che tende a zero, del rapporto incrementale:
\( \frac{f(x_0+h )-f(x_0 )}{h} \)
Il quale geometricamente esprime il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto \(x_0\), come illustrato in Figura 4.
Figura 4 Rappresentazione del coefficiente angolare di una retta tangente in un punto. Il punto B si sovrappone dinamicamente ad A.
Rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione \( f(x) \) nel punto \( x_0 \) e si dice derivata prima della funzione \( f(x) \).
2.3 Massimo/minimo relativo
2.3.1 Massimo relativo
Sia \(f:\mathbb{R}โ\mathbb{R}\), definiamo \(x_0\) punto di massimo relativo se esiste almeno un intorno di \(x_0\) tale che, per ogni x appartenente all’intorno di \(x_0\), il valore della funzione in \(x_0\) รจ maggiore o uguale al valore che la funzione assume in ogni punto di tale intorno. In Figura 4 viene rappresentato un intorno del valore \(x_0\) e tale intorno รจ definito dalla quantitร \(\delta\). La quantitร \(\delta\) puรฒ essere scelta piccola a piacere ma rimane comunque vero che \(x_0\) รจ maggiore o uguale al valore che la funzione assume in ogni punto di tale intorno.
Figura 4 Rappresentazione di un valore di massimo locale per una funzione \(f(x)\)
Si supponga che tale intorno venga chiamato \(I(x_0 )\). Deve essere vero che:
\(\forall x \in I(x_0 ) \to f(x_0 ) \geq f(x)\)
E si legge: per qualunque x appartenente allโintorno \(I\) di \(x_0\) si ha che \(f(x_0 )\) รจ maggiore o uguale a \(f(x)\).
2.3.2 Minimo relativo
Sia \(f:\mathbb{R}โ\mathbb{R}\), definiamo \(x_0\) punto di minimo relativo se esiste almeno un torno di \(x_0\) tale che per ogni x appartenente all’intorno di \(x_0\) il valore della funzione in \(x_0\) รจ minore o uguale al valore che la funzione assume in ogni punto di tale intorno.
In Figura 5 viene rappresentato un intorno del valore \(x_0\) e tale intorno รจ definito dalla quantitร \(\delta\).
Figura 5 Rappresentazione di un valore di minimo locale per una funzione \(f(x)\)
Si supponga che tale intorno venga chiamato \(I(x_0 )\). Deve essere vero che:
\(\forall x \in I(x_0 ) \to f(x_0 ) \leq f(x)\)
2.3.3 Un punto di massimo/ minimo puรฒ essere stazionario o non stazionario
Un punto di massimo o di minimo puรฒ essere stazionario o non stazionario. In particolare, un punto รจ detto stazionario quando la derivata prima in quel punto vale zero. In questo caso la pendenza della retta tangente รจ nulla, e quindi la retta tangente รจ orizzontale. Gli esempi riportati in Figura 4 e in Figura 5 mostrano dei punti stazionari rispettivamente di massimo e di minimo locale. Non necessariamente un punto di stazionarietร รจ perรฒ di massimo o di minimo locale, casistica in cui si parla di punto di flesso, come quella rappresentata in Figura 6.
Figura 6 Rappresentazione di un punto di flesso. La derivata รจ zero ma il punto non รจ nรฉ di massimo nรฉ di minimo
Nel caso in cui non si รจ in presenza di punti di stazionarietร , questi possono comunque essere punti di massimo o di minimo locale. Infatti se รจ vero che la derivata nulla puรฒ essere indice di punto di massimo o di minimo locale non รจ vero che il contrario e cioรจ potrebbe essere possibile trovare dei punti di massimo o di minimo locale con valori di derivata diversi da zero. Piรน precisamente puรฒ capitare per esempio che ci sia un punto in cui la derivata destra e sinistra siano tra loro diverse. Le condizioni che potrebbero presentarsi sono le seguenti:
Un punto angoloso,
Una cuspide,
Un estremo in cui la pendenza della retta รจ non nulla.
Questi casi possono dare luogo a dei minimi o dei massimi locali che sono Massimo non stazionario In Figura 7 vengono mostrati dei casi di massimo locale che non hanno derivata nulla, cioรจ non sono punti stazionari. Si puรฒ osservare come le rette tangenti in tali punti non mostrino coefficiente angolare uguale a zero.
Figura 7 Esempi di massimi non stazionari a) Punto di cuspide b) Punto angoloso c) Estremi della funzione
In Figura 8 vengono mostrati dei casi di minimo locale che non hanno derivata nulla, cioรจ non sono punti stazionari. Si puรฒ osservare come le rette tangenti in tali punti non mostrino coefficiente angolare uguale a zero.
Figura 8 Esempi di minimi non stazionari a) Punto di cuspide b) Punto angoloso c) Estremi della funzione
2.4 Teorema di Fermat
Data una funzione reale ad una variabile reale che risulta continua e derivabile in un certo intervallo \(I\), se \(x_0\) รจ un punto di massimo (minimo) allora la derivata prima in \(x_0\) vale zero. Ovvero \(x_0\) รจ un punto stazionario.
Ipotesi
Sia \(f:\mathbb{R}โ\mathbb{R}\) continua e derivabile in \(I \subset D\) e \(x_0 \in I\) sia un punto di massimo.
Tesi
\(f'(x_0)=0\)
Cioรจ \( x_0 \) รจ stazionario.
Osservazione
Lโipotesi di derivabilitร consente di non ricadere nel caso del punto angoloso o di cuspide, perchรฉ in tali punti, essendo le derivate sinistra e destra differenti, si parla di funzioni non derivabili in quei punti. Inoltre, lโipotesi di derivabilitร vieta la possibilitร di stare agli estremi di definizione. In quanto in tali punti la funzione non ha derivata sinistra e destra ma o solo sinistra o solo destra.
Dimostrazione
Si consideri un certo intorno di \(x_0\), \((x_0-\delta ; x_0 + \delta ) \). ร possibile suddividere tale intorno in due zone: Intorno sinistro di \( x_0, (x_0- \delta ; x_0 ] \), indicato con \( I^{-} (x_0) \); Intorno destro di \(x_0 \), \([x_0;x_0+\delta)\),indicato con \(I^{+} (x_0 )\). In Figura 9 viene illustrata la situazione di riferimento.
Figura 9 Illustrazione dell’intorno e dei due intorni, destro e sinistro, scelti in modo tale da essere simmetrici rispetto al punto di massimo locale
Quindi รจ possibile definire come segue lโintorno di \(x_0\):
\(I(x_0 )=(x_0-\delta ,x_0+\delta) \)
E come segue lโintorno sinistro di \(x_0\):
\(I^{-}(x_0 )=(x_0 – \delta , x_0 )\)
E infine lโintorno destro di \(x_0\):
\( I^{+} (x_0 )=(x_0,x_0+\delta )\)
Intorno sinistro di \(x_0\)
Si consideri ora l’intorno sinistro e il rapporto incrementale sinistro nel punto \(x_0\), lโobiettivo รจ quello di ragionare sulla derivata sinistra nel punto \(x_0\). Si puรฒ scrivere il rapporto incrementale sinistro nel seguente modo:
\(RI^{-} (x_0 )=\frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h}\)
In questo caso รจ necessario considerare un valore di \(h\) negativo, perchรฉ la quantitร \(x_0+h\) deve trovarsi a sinistra del valore \(x_0\), come mostrato in Figura 10.
Figura 10 Illustrazione grafica del punto di massimo locale, del rapporto incrementale sinistro e della retta con tale coefficiente angolare
Considerando \(h<0\) per la quantitร \(RI^{-} (x_0 )=\frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h}\) si deve avere che
\( f(x_0+h)-f(x_0 ) \leq 0 \)
Infatti
\( f(x_0 ) \geq f(x_0+h) \)
E di conseguenza:
\( \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \geq 0\)
Si nota subito che tale rapporto incrementale presenta:
Un numeratore negativo;
Un denominatore negativo.
Il numeratore รจ negativo poichรฉ \(x_0\) รจ punto di massimo, quindi il valore di \(f(x_0 )\) รจ maggiore o uguale a quello di ogni altra \(f(x)\) all’interno dell’intorno \(I^{-} (x_0 )\) e quindi anche di \(f(x_0+h)\). Il denominatore รจ negativo poichรฉ abbiamo assunto un incremento h negativo. Dunque, il rapporto incrementale nell’intorno sinistro รจ certamente maggiore o uguale a zero. Dopotutto รจ possibile notare come la retta secante sia crescente. Passando al limite del rapporto incrementale per h tendente a zero, dovremmo ammettere che รจ maggiore o uguale a zero.
Dunque, si sta ammettendo che la derivata sinistra รจ maggiore o uguale a zero.
Intorno destro di \(x_0\)
Si consideri ora l’intorno destro \( I^{+} (x_0 ) \) e il rapporto incrementale destro nel punto \( x_0 \), lโobiettivo รจ quello di ragionare sulla derivata destra nel punto \( x_0 \). Si puรฒ scrivere il rapporto incrementale destro nel seguente modo:
\( RI^{+} (x_0 ) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \)
In questo caso รจ invece necessario ammettere che il valore di \( h \) รจ positivo, come viene delucidato dalla Figura 11.
Figura 11 Illustrazione grafica del punto di massimo locale, del rapporto incrementale destro e della retta con tale coefficiente angolare
Considerando \( h>0 \) per la quantitร \( RI^{+} (x_0 )= \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h}\) si deve avere che
\( f(x_0+h)- f(x_0 ) \leq 0 \)
Infatti:
\( f(x_0 ) \geq f(x_0+h) \)
E di conseguenza:
\( \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \leq 0 \)
Notiamo subito che tale rapporto incrementale presenta:
Un numeratore negativo
Un denominatore positivo
Il numeratore รจ ancora negativo, poichรฉ \(x_0\) รจ punto di massimo. Quindi il valore di \( f(x_0 ) \) รจ maggiore o uguale a quello di ogni altra \( f(x) \) all’interno dell’intorno \( I^{+} (x_0 ) \) e quindi anche di \( f(x_0+h)\). Il denominatore รจ positivo poichรฉ รจ stato assunto un incremento \(h\) positivo, dunque il rapporto incrementale nell’intorno sinistro รจ certamente minore o uguale a zero. Dopotutto รจ possibile notare come la retta sia secante รจ decrescente. Passando al limite del rapporto incrementale per h tendente a zero, รจ necessario ammettere che รจ minore o uguale a zero.
Dunque, si sta ammettendo che la derivata destra รจ minore o uguale a zero. Volendo ricapitolare:
La derivata sinistra di \(x_0\) รจ maggiore o uguale a zero.
La derivata destra di \(x_0\) รจ minore o uguale a zero.
Unโillustrazione della situazione di questa prima conclusione viene fornita in Figura 12.
Figura 12 illustrazione della retta secante sinistra e retta secante destra al punto \(x_0\) precedentemente considerate
Siccome la funzione รจ derivabile in \(x_0\) per ipotesi, allora la derivata sinistra deve per forza coincidere con la derivata destra. Questo รจ possibile solamente quando la derivata รจ uguale a zero, che รจ la tesi.
Figura 13 Rappresentazione grafica intuitiva di conclusione secondo tesi del teorema di Fermat
Tenendo in considerazione che \( f’_{-} (x_0 ) \geq 0 \) e che \(f’_{+} (x_0 ) \leq 0\) deve dunque essere per forza che:
f’_{-} (x_0 )=f’_{+} (x_0 )=0
ร stato dunque dimostrato che se una funzione รจ continua e derivabile in un certo intervallo, i punti di massimo (o di minimo) presenti internamente sono stazionari.
Sono considerati vasi comunicanti due o piรน recipienti collegati tra loro al di sotto del livello di superficie del liquido che li riempie. Unโillustrazione schematica dei vasi comunicanti รจ data in Figura 1, in cui รจ possibile notare come l’altezza del livello di superficie del liquido a sinistra e a destra dei vasi รจ uguale.
Il liquido tende a riempire il recipiente mantenendo il livello di superficie uguale per tutti i punti superficiali rispetto al livello di terra.
Figura 1 Esempio di vasi comunicanti. Le due segnalazioni laterali mostrano come il livello di superficie del liquido sia uguale nel vaso di sinistra e in quello di destra
La legge di Stevino vale anche in questa condizione e ci dice che:
\(P=p_{a t m}+d g h\)
In cui:
\(P\) รจ la pressione a una certa altezza dalla superficie;
\(d\) รจ la densitร del liquido;
\(g\) รจ lโaccelerazione gravitazionale e vale \(9.81 \frac{m}{s^{2}}\);
\( h \) รจ la profonditร dalla superficie dellโacqua.
Quando al liquido viene aggiunto un altro liquido immiscibile succede che i due liquidi rimangono separati. Ciascun liquido ha densitร diverse e sotto tale condizione tra i vasi puรฒ instaurarsi un dislivello. Un esempio di questa situazione รจ rappresentato in Figura 2.
Si puรฒ assumere che il liquido blu e il liquido giallo siano rispettivamente acqua e olio. In questo caso lโaggiunta di olio provocherebbe il dislivello indicato nellโillustrazione. Il vaso che contiene lโaggiunta di olio ha un livello di superficie piรน alto rispetto alla controparte.
Figura 2 Esempio di vasi comunicanti con liquido aggiunto differente non miscibile
Deve essere vero che la pressione nel fondo dei vasi destro e sinistro รจ uguale:
\(P_{s x}=P_{d x}\)
In Figura 3 viene mostrata la condizione di aggiunta dellโolio in una situazione in cui i vasi comunicanti sono pieni di acqua.
Figura 3 La condizione di equilibrio รจ decisa dalle regioni tratteggiate in arancione
La linea tratteggiata rossa รจ stata tracciata in modo tale che si trovasse a livello con la superficie che separa lโolio dallโacqua. Come รจ possibile notare la linea rossa taglia anche il vaso sinistro. Sopra la linea rossa le quantitร di volume di liquido sono diverse, perchรฉ le densitร dei liquidi interessati sono diverse.
Lโacqua, che รจ piรน densa dellโolio, mostra uno stacco in altezza dalla linea tratteggiata rossa pari a \(h_{dis}\), mentre lโolio, meno denso dellโacqua, mostra uno stacco in altezza dalla linea tratteggiata rossa pari a \(h_{olio}\) .
Risulta evidente dalla figura che \(h_{\text {olio }}>h_{\text {dis }}\), che รจ una conseguenza del fatto che la densitร dellโolio รจ minore di quella dellโacqua. In sostanza questo fa capire che, dato un certo volume di acqua serve piรน volume di olio per bilanciare il peso dellโacqua. Questo รจ anche il motivo per cui lโaltezza del liquido del vaso destro \(h_{dx}\) รจ superiore a quella del vaso sinistro \(h_{sx}\) .
Supponendo che \(d_{H 2 O}\) sia la densitร dellโacqua e che \(d_{olio}\) sia la densitร dellโolio, per la legge di Stevino, deve essere:
\(p_{a t m}+d_{H 2 o} g h_{d i s}=p_{a t m}+d_{\text {olio }} g h_{\text {olio }}\)
Questo ci fa capire che, a paritร di liquidi scelti, lโaltezza di liquido del vaso in cui si trova lโolio sarร sempre piรน grande rispetto allโaltra. Inoltre, tale legge ci fa capire che la differenza di altezza del liquido nei due vasi \(h_{\text {olio }}-h_{\text {dis }}\) dipende unicamente dalla quantitร di olio aggiunta e non dalla quantitร di liquido sotto la linea tratteggiata rossa.
Volendo generalizzare a due liquidi generici con densitร \(d_1\) e \(d_2\) si puรฒ facilmente concludere che:
\(\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{h_{2}}{h_{1}}\)
In cui \(h_1\) e \(h_2\) sono le altezze, rispetto alla linea tratteggiata rossa, a cui si trovano le superfici di liquido rispettivamente al vaso a destra e a sinstra.
Esempio vasi comunicanti per liquidi non miscibili
Supponiamo di aggiungere 100 ml di olio a dei vasi comunicanti, con sezione circolare a raggio 3cm, che contengono acqua. Di quanto si innalza il livello dellโacqua a sinistra dei vasi?
Nota bene: Thinking Process non si assume alcuna responsabilitร sulla accuratezza dei dati e delle predizioni, ogni scelta di investimento รจ completa responsabilitร dellโinvestitore.
Plus 500 รจ unโazienda nel settore della tecnologia che fornisce servizi da broker e secondo quanto affermato dallโazienda stessa โPlus 500 รจ uno dei maggiori fornitori di contratti per differenza (CFD), ed offre funzioni di trading di azioni, forex, materie prime, criptovalute, ETF, opzioni ed indici assieme ad una tecnologia di trading innovativaโ.
Di seguito vengono valutate alcune performance chiave di questa azienda. Le valutazioni delle performance medie vengono effettuate per gli anni che vanno dal 2015 al 2020, uno storico corrispondente agli ultimi 6 anni di attivitร .
Il patrimonio netto dellโazienda risulta cresciuto con media annua del 34% mentre il tasso di crescita medio dellโattivo totale risulta essere pari al 30%, molto di piรน rispetto alle passivitร totali, le quali risultano essere cresciute annualmente del 26% in media. Dalla Figura 1 รจ possibile notare la discrepanza tra i trend delle voci di bilancio sopra menzionate, si puรฒ notare un grande stacco verso lโalto degli attivi di Plus 500.
Figura 1 Confronto tra patrimonio netto (grigio), totale attivo (blu) e passivitร totali (rosso).
In Figura 2 viene mostrato il confronto con aggiunta della capitalizzazione. Si puรฒ calcolare che il rischio di perdita di capitale per lโinvestitore si aggira in media tra 70% e 80% nellโeventualitร in cui lโimpresa dovesse liquidare tutto. Tuttavia questa eventualitร รจ molto remota, viste le performance generali di Plus 500.
Figura 2 Confronto tra patrimonio netto (grigio), totale attivo (blu) e passivitร totali (rosso) con aggiunta della capitalizzazione
Supponendo che il tasso di crescita medio annuo si mantenga il totale attivo del 2023 risulterร molto piรน grande rispetto ai passivi dellโazienda, come si puรฒ notare dalla Figura 3.
Figura 3 Predizioni fino al 2023 dell’andamento del patrimonio netto (grigio), totale attivo (blu) e passivitร totali (rosso), supponendo che il tasso di crescita medio annuo si mantenga.
La predizione di stacco netto degli attivi dai passivi, sebbene piรน moderata, รจ confermata dalla Figura 4, in cui รจ stata utilizzata la funzione del software Excel FORECAST.ETS per il calcolo delle predizioni.
Figura 4 Predizioni dell’andamento del patrimonio netto (grigio), totale attivo (blu) e passivitร totali (rosso) tramite lโutilizzo della funzione del software Excel FORECAST.ETS.
ROI, ROE e ROA hanno tassi di crescita che si aggirano in media tra il 50% e il 100%, come testimoniato dalla Figura 5, attestando lโazienda Plus 500 come un interessante investimento a forte prospettiva di crescita. Se i tassi di profitto si mantengono lโazienda continuerร a crescere in modo molto intenso nei prossimi anni.
Figura 5 Confronto tra ROE (grigio), ROI (blu) e ROA (rosso). Lโazienda mostra forte crescita.
I ricavi totali dellโazienda crescono annualmente con una media del 35% mentre il reddito netto ha una crescita del 59%, vicino al doppio rispetto ai ricavi totali. La capitalizzazione cresce a un passo medio annuo del 28% circa, mentre le spese totali del 23%.
Figura 6 Confronto tra reddito netto (grigio), ricavi totali (blu), spese totali dโesercizio (rosso) e capitalizzazione (giallo).
Dai dati emerge che lโazienda รจ in forte crescita, con interessanti dati per investimenti a lungo termine. La valutazione dei dati sopra citati รจ certamente limitata allโosservazione di alcuni parametri fondamentali e non costituisce alcuna garanzia di successo dellโimpresa. ร sempre buona norma valutare anche le iniziative business dellโazienda stessa e le iniziative orientate alla crescita che intraprende.
Nota bene: Thinking Process non si assume alcuna responsabilitร sulla accuratezza dei dati e delle predizioni, ogni scelta di investimento รจ completa responsabilitร dellโinvestitore.
Determina il raggio atomico dellโatomo dโidrogeno sapendo che la sua energia di ionizzazione, cioรจ la minima energia richiesta per allontanare da esso un elettrone, รจ di 13,6 eV.
Prerequisiti
Per risolvere questo esercizio dovrai conoscere:
I concetti di energia potenziale ed energia cinetica;
La seconda legge della dinamica;
Come invertire le formule;
La carica dellโelettrone e del protone;
La costante di Coulomb;
Il concetto di energia totale
La teoria associata al moto circolare uniforme
Come convertire gli elettronVolt (eV) in Joule (J).
Soluzione
Lโelettrone dellโatomo di idrogeno ruota intorno al nucleo mantenendo unโenergia potenziale data dalla formula: Si osservi che…
Questa รจ il video della prima lezione sullo studio di funzione proposta da Thinking Process del percorso “Maratona di lezioni sullo studio di funzione”.
Qui di seguito il manifesto dell’iniziativa e sotto il video della prima lezione.
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