Esercizio di calcolo integrale non immediato

Testo

Si voglia svolgere il seguente integrale:

\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\sqrt{1-x^{2}}

Soluzione

Come primo passaggio si può riscrivere come segue:

\arcsin x-\int \sqrt{1-x^{2}}

Sfruttando l’integrazione per parti sul secondo addendo si ha:

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int-\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int \frac{-x^{2}+(1-1)}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int \frac{1-x^{2}-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\left(\int \frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\left(\int \frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int \sqrt{1-x^{2}}+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=

Per la quantità tra parentesi quadre si nota che:

\int \sqrt{1-x^{2}}=x \sqrt{1-x^{2}}-\int \sqrt{1-x^{2}}+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

Quindi:

2 \int \sqrt{1-x^{2}}=x \sqrt{1-x^{2}}+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

Ovvero:

\int \sqrt{1-x^{2}}=\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+\frac{\arcsin x}{2}

Quindi tutta la quantità tra parentesi quadre può essere sostituita con quella appena calcolata:

\arcsin x-\left[\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+\frac{\arcsin x}{2}\right]+c

Il termine costante  definisce le altre primitive.

Al finale, sommando, si ha che:

\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\sqrt{1-x^{2}}=\frac{\arcsin x}{2}-\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+c

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Quando iniziare a mettere soldi veri in borsa?

Adesso. Non c’è momento migliore di adesso.

Bisogna smetterla di farsi farti male con l’idea che si ha bisogno di imparare prima con le simulazioni. Insegna molto di più perdere denaro reale che perdere denaro durante una simulazione. Bisogna imparare a essere onesti con se stessi: con i soldi veri si ragiona di più.

Continua a leggere “Quando iniziare a mettere soldi veri in borsa?”

Un problema contrattuale

Testo

Giorgio deve trasferirsi per lavoro a Milano; preso in affitto un appartamento si reca presso gli uffici dell’azienda alpha per la stipula di un contratto per la fornitura dell’energia elettrica. Allo sportello il dipendente dell’azienda gli propone tre tipi di tariffe:

  • tariffa A: un costo fisso di 40€ mensili e 0.3€ ogni 5 kwh di energia consumati;
  • tariffa B: un costro fisso di 30€ mesili e 0.4€ ogni 5 kwh di energia consumati;
  • tariffa C: 0.6€ ogni 5 kwh di energia consumati.

Se nel precedente appartamento il consumo medio di energia di Giorgio era di 600 kwh, quale/i delle tre tariffe risulta/no più convenienti per Giorgio?

Soluzione

Tariffa A

In questo scenario Giorgio pagherebbe un fisso di 40€.

Per la parte dei consumi si considera la spesa totale come segue:

\frac{0.3 EUR}{5 kwh} \cdot 600 kwh = 36 EUR

Quindi in totale spenderebbe 76€ al mese.

Tariffa B

In questo scenario Giorgio pagherebbe un fisso di 30€.

Per la parte dei consumi si considera la spesa totale come segue:

\frac{0.4 EUR}{5 kwh} \cdot 600 kwh = 48 EUR

Quindi in totale spenderebbe 78€ al mese.

Tariffa C

In questo scenario Giorgio pagherebbe un fisso di 30€.

Per la parte dei consumi si considera la spesa totale come segue:

\frac{0.6 EUR}{5 kwh} \cdot 600 kwh = 72 EUR

Quindi in totale spenderebbe 72€ al mese.

Conclusioni

Dai calcoli effettuati segue che la tariffa migliore è la C.

Il gioco delle tessere

Testo

La piccola Aurelia sta giocando con 985 tessere di legno colorato, tutte a forma di triangolo equilatero e aventi le stesse dimensioni. Ha costruito con esse, affiancandole, il triangolo equilatero più grande possibile; quante tessere sono avanzate ad Aurelia?

Soluzione

Partendo con la prima tessera si può considerare questo come la prima riga di tessere, ovvero il vertice del triangolo equilatero grande.

Volendo sviluppare la seconda riga ci vogliono altri tre triangoli e continuando verso la terza riga ci vogliono 5 triangoli, come mostrato in figura.

Figura 1. Illustrazione del posizionamento successivo delle tessere per righe.

Come si può notare la sequenza è quella dei numeri dispati, infatti:

  • prima riga 1 tessera
  • seconda riga 3 tessere
  • terza riga 5 tessere
  • quarta riga 7 tessere
  • etc.

La sequenza continua fino a quando le tessere non finiscono.

A questo punto non resta che sommare tutti i numeri dispari fino ad arrivare a 61 tessere. La somma non è difficile, non richiede l’utilizzo di tecniche più sofisticate, specialmente se si considerano i numeri dispari a gruppi di 5. Per esempio i primi 5 numeri dispari sommati fanno 25, i secondi 75, i terzi 125, sempre un’aggiunta di 50 ogni gruppo di 5…

Facendo la somma di tutti i numeri dispari fino a 61 si ottiene esattamente 961. Perciò le tessere che avanzano sono 24.

Come funziona la leva finanziaria?

In questo post verrà esposto come funziona la leva finanziaria applicata a un portafoglio su Plus500. Le discussioni sotto riportate valgono per qualsiasi portafoglio con leva.

Continua a leggere “Come funziona la leva finanziaria?”

Stocks arena: Allianz VS AXA

In questo verrà effettuato un confronto dei fondamentali di due aziende nel settore finanziario: Allianz e AXA. Quelli che verranno discussi sono gli indicatori che tipicamente ha senso valutare, per poi effettuare ulteriori approfondimenti tramite i bilanci delle singole aziende.

Continua a leggere “Stocks arena: Allianz VS AXA”

Esempio di come bilanciare una reazione redox

1         Testo

Sia data la seguente reazione redox:

\small{K Mn^{(+7)} O_4+ Fe^{(+2)} SO_{4} + H_{2} SO_{4} \rightarrow  K_{2} SO_{4}+ Mn^{(+2)} SO_{4} + Fe_{2}^{(+3)} ( SO_{4} )_{3} + H_{2} O}

  1. Quale elemento di ossida e quale elemento si riduce?
  2. Bilancia la reazione redox.
Continua a leggere “Esempio di come bilanciare una reazione redox”

Come scrivere il codice di un programma C++ per il calcolo della media dei voti scolastici

Vuoi scrivere un programma C++ che calcoli la media dei tuoi voti scolastici? Qui di seguito ti propongo un esempio.

La procedura che segue il programma esempio è la seguente:

  • chiede all’utente quanti voti vuole immettere;
  • chiede all’utente di immettere il numero di voti che ha dichiarato uno a uno;
  • calcola la media aritmetica dei valori inseriti;
  • termina il programma dichiarando la media aritmetica dei voti.

Qui di seguito riporto il codice (copialo e incollalo se ti serve!):


#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
// dichiarazioni funzione per il calcolo della media aritmetica
float averageFloat(float vet[], int N);

int main()
{
int numElem = 0;
cout << "Quanti sono i voti che vuoi inserire?"; 
cin >> numElem;
cout << "Il numero di voti che vuoi inserire e' " << numElem << "\n"; 
float vectorFloat[numElem]; 
for(int k=0; k < numElem; k++)
     { 
     cout << "Inserisci il voto numero " << (k + 1) << "\n"; 
     cin >> vectorFloat[k];
     }
float res = 0;
res = averageFloat(vectorFloat, numElem);
cout <<"La media dei valori che hai inserito e': " << res;
return 0;
}

//funzione per il calcolo della media aritmetica
float averageFloat(float vet[], int N) {
int i;
float avg = 0;
for ( i = 0; i < N; i++) {
avg = avg + vet[i];
}
avg = avg / N; //calcolo della media
return avg;
}

Vuoi che ti aiuti a fare un programma diverso? Scrivi una mail a orangejellybeanojb@gmail.com, ti aspetto!