Esercizio di calcolo integrale non immediato

Testo

Si voglia svolgere il seguente integrale:

\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\sqrt{1-x^{2}}

Soluzione

Come primo passaggio si può riscrivere come segue:

\arcsin x-\int \sqrt{1-x^{2}}

Sfruttando l’integrazione per parti sul secondo addendo si ha:

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int-\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int \frac{-x^{2}+(1-1)}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int \frac{1-x^{2}-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\left(\int \frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\left(\int \frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int \sqrt{1-x^{2}}+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=

Per la quantità tra parentesi quadre si nota che:

\int \sqrt{1-x^{2}}=x \sqrt{1-x^{2}}-\int \sqrt{1-x^{2}}+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

Quindi:

2 \int \sqrt{1-x^{2}}=x \sqrt{1-x^{2}}+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

Ovvero:

\int \sqrt{1-x^{2}}=\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+\frac{\arcsin x}{2}

Quindi tutta la quantità tra parentesi quadre può essere sostituita con quella appena calcolata:

\arcsin x-\left[\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+\frac{\arcsin x}{2}\right]+c

Il termine costante  definisce le altre primitive.

Al finale, sommando, si ha che:

\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\sqrt{1-x^{2}}=\frac{\arcsin x}{2}-\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+c

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Un problema contrattuale

Testo

Giorgio deve trasferirsi per lavoro a Milano; preso in affitto un appartamento si reca presso gli uffici dell’azienda alpha per la stipula di un contratto per la fornitura dell’energia elettrica. Allo sportello il dipendente dell’azienda gli propone tre tipi di tariffe:

  • tariffa A: un costo fisso di 40€ mensili e 0.3€ ogni 5 kwh di energia consumati;
  • tariffa B: un costro fisso di 30€ mesili e 0.4€ ogni 5 kwh di energia consumati;
  • tariffa C: 0.6€ ogni 5 kwh di energia consumati.

Se nel precedente appartamento il consumo medio di energia di Giorgio era di 600 kwh, quale/i delle tre tariffe risulta/no più convenienti per Giorgio?

Soluzione

Tariffa A

In questo scenario Giorgio pagherebbe un fisso di 40€.

Per la parte dei consumi si considera la spesa totale come segue:

\frac{0.3 EUR}{5 kwh} \cdot 600 kwh = 36 EUR

Quindi in totale spenderebbe 76€ al mese.

Tariffa B

In questo scenario Giorgio pagherebbe un fisso di 30€.

Per la parte dei consumi si considera la spesa totale come segue:

\frac{0.4 EUR}{5 kwh} \cdot 600 kwh = 48 EUR

Quindi in totale spenderebbe 78€ al mese.

Tariffa C

In questo scenario Giorgio pagherebbe un fisso di 30€.

Per la parte dei consumi si considera la spesa totale come segue:

\frac{0.6 EUR}{5 kwh} \cdot 600 kwh = 72 EUR

Quindi in totale spenderebbe 72€ al mese.

Conclusioni

Dai calcoli effettuati segue che la tariffa migliore è la C.

Il gioco delle tessere

Testo

La piccola Aurelia sta giocando con 985 tessere di legno colorato, tutte a forma di triangolo equilatero e aventi le stesse dimensioni. Ha costruito con esse, affiancandole, il triangolo equilatero più grande possibile; quante tessere sono avanzate ad Aurelia?

Soluzione

Partendo con la prima tessera si può considerare questo come la prima riga di tessere, ovvero il vertice del triangolo equilatero grande.

Volendo sviluppare la seconda riga ci vogliono altri tre triangoli e continuando verso la terza riga ci vogliono 5 triangoli, come mostrato in figura.

Figura 1. Illustrazione del posizionamento successivo delle tessere per righe.

Come si può notare la sequenza è quella dei numeri dispati, infatti:

  • prima riga 1 tessera
  • seconda riga 3 tessere
  • terza riga 5 tessere
  • quarta riga 7 tessere
  • etc.

La sequenza continua fino a quando le tessere non finiscono.

A questo punto non resta che sommare tutti i numeri dispari fino ad arrivare a 61 tessere. La somma non è difficile, non richiede l’utilizzo di tecniche più sofisticate, specialmente se si considerano i numeri dispari a gruppi di 5. Per esempio i primi 5 numeri dispari sommati fanno 25, i secondi 75, i terzi 125, sempre un’aggiunta di 50 ogni gruppo di 5…

Facendo la somma di tutti i numeri dispari fino a 61 si ottiene esattamente 961. Perciò le tessere che avanzano sono 24.

Esempio di come bilanciare una reazione redox

1         Testo

Sia data la seguente reazione redox:

\small{K Mn^{(+7)} O_4+ Fe^{(+2)} SO_{4} + H_{2} SO_{4} \rightarrow  K_{2} SO_{4}+ Mn^{(+2)} SO_{4} + Fe_{2}^{(+3)} ( SO_{4} )_{3} + H_{2} O}

  1. Quale elemento di ossida e quale elemento si riduce?
  2. Bilancia la reazione redox.
Continua a leggere “Esempio di come bilanciare una reazione redox”

Equazione della parabola dato il vertice e un punto

Testo

Scrivere l’equazione della parabola, con asse parallelo a quello delle ordinate, avente il vertice nel punto di coordinate V(1 ; 0) e passante per il punto P(2; 1).

Soluzione

Per prima cosa si osserva che, dovendo essere la parabola ad asse parallelo a quello delle ordinate, la sua equazione deve essere nella forma:

y=a x^{2}+b x+c

Ora si osserva che le coordinate generali del vertice della parabola sono:

V\left(-\frac{b}{2 a} ;-\frac{\Delta}{4 a}\right)

Dai dati sappiamo che il vertice ha coordinate V(1 ; 0) e dunque devono essere rispettate le seguenti condizioni:

\left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2 a}\\ -\frac{\Delta}{4 a}\end{matrix}\right.

Inoltre, essendo che la parabola passa per il punto P(2; 1) l’equazione della parabola deve essere soddisfatta quando attribuiamo a x e a y i valori del punto P. Quindi:

1=a(2)^{2}+b(2)+c

Che rappresenta la terza condizione del precedente sistema. Avendo 3 condizioni riusciamo a trovare i tre coefficienti.

Si deve dunque risolvere il seguente sistema per trovare i coefficienti della parabola:

\left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2 a} = 1 \\ -\frac{\Delta}{4 a} = 0 \\ 1=a(2)^{2}+b(2)+c \end{matrix}\right. \rightarrow

\left\{\begin{matrix} b=-2a \\ \Delta = 0 \\ 4a+2b+c-1=0 \end{matrix}\right. \rightarrow

\left\{\begin{matrix} b=-2a \\ a(a-1) = 0 \\ c-1=0 \end{matrix}\right. \rightarrow

\left\{\begin{matrix} b=-2 \\ a = 1 \\ c=1 \end{matrix}\right.

E l’equazione della parabola sarebbe:

y=x^2-2x+1

Rappresentata nella figura seguente:

Figura 1 Rappresentazione grafica della parabola y=x^2-2x+1

Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo all’esercizio appena svolto:

Il cambio di volume di aria nella siringa

Testo

Una siringa ben tappata è chiusa da uno stantuffo lubrificato e contiene 0.80mL di aria alla temperatura ambiente di 20°C. La siringa così predisposta viene introdotta in un freezer dove la temperatura è mantenuta a -18°C.

  • Quale sarà il volume dell’aria nella stringa una volta raggiunto l’equilibrio termico con il freezer?

Soluzione

Per la prima legge di Gay-Lussac, espressa per i gradi centigradi, si ha:

V = V_0 (1+\alpha t )

In cui:

  • V è il volume del gas alla temperatura t;
  • V_0 è il volume del gas alla temperatura di 0 ^{\circ}C;
  • \alpha è il coefficiente di dilatazione termica del gas ideale, pari a \frac  {1}{273.14^{\circ}C};
  • t è la temperatura alla quale si trova il corpo.

Ne nostro caso si vuole calcolare il volume finale V_f del gas a -18°C . Per scoprire il valore del volume del’aria a 0°C si deve ricavare la formula inversa sfruttando volume iniziale V_i, il quale è pari a quello che avrebbe il gas se si trovasse alla temperatura di 20°C.

Quindi:

V_0 = \frac{V_i}{(1+\alpha t_i )}

In cui:

  • V_i è il volume iniziale del gas;
  • t_i è la temperatura iniziale alla quale si trova il corpo, cioè 20°C.

La stessa legge vale per il volume finale e quindi:

V_f = V_0 (1+\alpha t_f )

In cui:

  • V_f è il volume finale del gas;
  • t_f è la temperatura finale alla quale si trova il corpo, cioè -18°C.

Combinando le informazioni si può scrivere:

V_f = \frac{1+\alpha t_f }{1+\alpha t_i } V_i \rightarrow

\huge{V_f = \frac{1+\frac {1}{273.14^{\circ}C} \cdot (-18^{\circ}C) }{1+\frac {1}{273.14^{\circ}C} \cdot (20^{\circ}C)} }0.80mL \approx 0.70mL

Quindi il volume dell’aria nella stringa una volta raggiunto l’equilibrio termico con il freezer è di 0.70mL circa.

Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo a questo esercizio:

Calcolo della superficie totale di una piramide a base quadrata

Testo

Una piramide di base quadrata ha l’altezza lunga 15 \sqrt{3} cm, che forma un angolo di 30° con l’apotema di ogni singola faccia. Determina la superficie totale del solido.

Continua a leggere “Calcolo della superficie totale di una piramide a base quadrata”

I punti Zeta e la probabilità di superare il limite

Testo

La percentuale di metanolo in lotti di prodotto ha un limite massimo di specifica dello 0,15%. I dati registrati suggeriscono che le osservazioni sul metanolo possono essere caratterizzate da una distribuzione normale con una media dello \eta = 0.10 \% e una deviazione standard dello \sigma = 0.02 \%. Qual è la probabilità di superare le specifiche?

Continua a leggere “I punti Zeta e la probabilità di superare il limite”

Calcolo della media, della deviazione standard e dei residui

Testo

Calcola la media e la deviazione standard per i dati seguenti sullo spessore dello strato epitassiale in micrometri: 16.8, 13.3, 11.8, 15.0, 13.2. Conferma che la somma dei residui  è zero. Illustra come useresti questo fatto per calcolare il quinto residuo conoscendo solo gli altri 4.

Continua a leggere “Calcolo della media, della deviazione standard e dei residui”

Resistori in serie

Testo

In un circuito sono collegati in serie un generatore di tensione di 18,0V e dieci resistori uguali. Viene misurata l’intensità di corrente, che risulta di 6mA.

  • Calcola la resistenza equivalente del circuito.
  • Calcola il valore della resistenza di ciascun resistore
Continua a leggere “Resistori in serie”