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Come trovare altezza relativa e equazione della retta parallela al lato di un triangolo

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Testo

Dato il triangolo di vertici A(-2; 4), B(4; 3) e C(2; -2), determina:

a. l’equazione dell’altezza relativa al lato AC;

b. l’equazione della retta passante per A e parallela al lato BC;

Soluzione

Punto a.

Per trovare l’altezza relativa ad AC, sappiamo che è una retta perpendicolare ad AC e passante per il vertice opposto B.

Troviamo inizialmente il coefficiente angolare della retta AC:

\( m_{AC}={\frac{y_{C}- y_{A}}{ x_{C}-x_{A} }}={\frac{-2-4}{2-(-2)}}= {\frac{-3}{2}} \)

Sapendo che la condizione di perpendicolarità tra due rette, otteniamo poi il coefficente angolare della retta relativa AC:

\( m_{BH}={\frac{-1}{ m_{AC}}}={\frac{2}{3}} \)

Data la definizione della retta in forma esplicita \( y=mx+q \), sostituendo il coefficiente  \( m_{BH} \) e imponendo il passaggio per il vertice B(4,3):

\( 3= {\frac{2}{3}}*4+q \qquad q=1 \)

\( y= {\frac{2}{3}}x+{\frac{1}{3}} \)

In forma implicita diventa dunque:

\( 2x+3y+1=0 \)

Punto b.

Qualunque retta parallela al segmento BC avrà il suo stesso coefficiente angolare. Andando dunque a calcolarlo abbiamo:

\( m_{BC}={\frac{y_{C}- y_{B}}{ x_{C}-x_{B} }}={\frac{-2-3}{2-4}}= {\frac{5}{2}} \)

Data la definizione della retta in forma esplicita  \( y=mx+q \), sostituendo il coefficiente  \( m_{BC} \) e imponendo il passaggio per il punto A(-2; 4):

\( 4= {\frac{5}{2}}*(-2)+q \qquad q=9 \)

\( y= {\frac{5}{2}}x+9 \)

In forma implicita diventa dunque:

\( 5x-2y+18=0 \)

Rappresentazione delle rette ricavate con il triangolo discusso nel problema
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Come calcolare il perimetro e le mediane e di un triangolo isoscele data la base e l’area

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Testo

Determina il perimetro e le mediane di un triangolo isoscele, di area 48a2, sapendo che la sua base ha una lunghezza 16a.

Soluzione

Figura 1: Triangolo rettangolo con le mediane

Possiamo determinare inizialmente la mediana AA’ che parte dal vertice A. Come si può notare in figura 1, la mediana AA’ corrisponde anche all’altezza del nostro triangolo; e avendo noti rispettivamente base e area, si ottiene che:

Per trovare i lati obliqui del triangolo isoscele, possiamo dividerlo in due triangoli rettangoli equivalenti. I cateti son definiti da BC/2=CA’=BA’ e AA’, e le ipotenuse dai segmenti AC e AB. Perciò applicando il teorema di Pitagora:

Il perimetro sarà dunque calcolato come:

mentre le due mediane BB’ e CC’ sono equivalenti e saranno date da:

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Come determinare il raggio atomico dell’atomo d’idrogeno conoscendo la sua energia di ionizzazione

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Testo

Determina il raggio atomico dell’atomo d’idrogeno sapendo che la sua energia di ionizzazione, cioè la minima energia richiesta per allontanare da esso un elettrone, è di 13,6 eV.

Prerequisiti


Per risolvere questo esercizio dovrai conoscere:

  1. I concetti di energia potenziale ed energia cinetica;
  2. La seconda legge della dinamica;
  3. Come invertire le formule;
  4. La carica dell’elettrone e del protone;
  5. La costante di Coulomb;
  6. Il concetto di energia totale
  7. La teoria associata al moto circolare uniforme
  8. Come convertire gli elettronVolt (eV) in Joule (J).

Soluzione

L’elettrone dell’atomo di idrogeno ruota intorno al nucleo mantenendo un’energia potenziale data dalla formula:
Si osservi che…

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Soluzione esercizio numero 13 pag 997 – L’Amaldi per i licei scientifici.blu

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Testo

Una bobina è composta da 35 spire, di raggio 2,5 cm, ed è collegata a un circuito che non contiene un generatore. Avvicinando e allontanando una calamita, il campo magnetico medio sulla superficie della bobina varia di 5,8 mT. La calamita viene spostata vicino e poi lontano dalla bobina quattro volte al secondo.

Calcola il modulo della forza elettromotrice media indotta nel circuito da tale variazione di flusso.

Prerequisiti

Per risolvere questo problema lo studente deve conoscere:

  • il concetto del flusso di campo magnetico;
  • le forumle relative al flusso di campo magnetico;
  • il concetto di vettore di superficie;
  • Il concetto di vettore di campo magnetico;
  • la differenze tra campo magnetico e flusso di campo magnetico.

Soluzione

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Soluzione esercizio numero 137 pag.834 tratto dal libro Matematica.azzurro 4 con Tutor

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Testo

Nel seguente esercizio determina gli elementi richiesti utilizzando i dati forniti dalle figure.

Sfruttando le conoscenze sulla trigonometria bisogna cercare di ricavare le aree richieste.

Soluzione

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Esercizio numero 12 pag. 997 (L’Amaldi per i licei scientifici.blu)

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1 Testo

Una spira circolare di raggio 2,5 cm è immersa in un campo magnetico di modulo 0,15T. All’inizio è posta perpendicolarmente alle linee di campo. Successivamente subisce una rotazione di 30°. La rotazione avviene in 10 secondi.

  • Calcola la variazione del flusso del campo magnetico.
  • Calcola la forza elettromagnetica indotta
Vettore di campo magnetico e di superficie, dalla posizione iniziale a quella finale, come dai dati del problema. L’angolo rappresentato in rosso deve essere di 30°.

2 Prerequisiti

Per poter risolvere questo problema bisogna conoscere i seguenti concetti:

  • campo magnetico;
  • vettore superficie;
  • flusso di campo magnetico;
  • forza elettromotrice indotta.

3 Soluzione

3.1 Punto 1

Per risolvere il punto 1 dell’esercizio si deve calcolare il flusso del campo nautico finale e il flusso del campo magnetico iniziale, per poi effettuarne la differenza in modo da ricavare la variazione di flusso di campo magnetico.

Si consideri quindi… Se vuoi continuare a vedere la soluzione scarica il documento acquistandolo qui sotto.

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Soluzione le traiettorie della fisica seconda edizione esercizio pag 65 num 45

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Testo

Giuseppe misura la quantità di liquido contenuto in una pentola utilizzando un cilindro graduato che ha una portata di 150mL e una sensibilità di 5 mL. Con il liquido della pentola riempie per 5 volte il cilindro completamente e l’ultima volta fino alla tacca corrispondente al 40 mL.

  • Qual è il risultato della sua misura del contenuto della pentola?

Poi ripete la misura usando un cilindro con la stessa sensibilità e con la portata di 1,5 litri.

  • L’incertezza della misura cambia in questo caso?

Prerequisiti

Per risolvere il problema bisogna conoscere:

  • il significato di sensibilità dello strumento di misura;
  • il significato dell’incertezza di misura;
  • cosa si intende per misura.

Soluzione

Primo punto

Per risolvere il primo punto bisogna tenere in considerazione che la misurazione del contenuto è stata effettuata 6 volte, di cui 5 volte con il cilindro completamente pieno e 1 volta con il cilindro parzialmente pieno.

Questo significa che l’incertezza della misura si è accumulata 6 volte, risultando pari a 6 volte 5mL, cioè pari a 30mL. Infatti

\( 6 \cdot 5mL = 30mL\)

Se non ci fosse stata alcuna incertezza, la misura sarebbe stata di 790mL, perché sono stati aggiunti per 5 volte 150mL e per una volta 40 mL. Infatti:

\( 5 \cdot 150mL + 1 \cdot 40mL = 790mL\)

Quindi, rispondendo alla prima domanda, il risultato della sua misura del contenuto della pentola è di \( 790mL \pm 30mL\).

Secondo punto

Per il secondo punto invece viene effettuata solamente una misurazione e quindi l’incertezza stavolta cambia ed è meno rispetto alla volta precedente. Infatti il numero delle volte che si effettua la misura è solo 1 e non 6 come nel punto precedente. In questo caso dunque l’incertezza ammonta a soli 5 ml.

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Come risolvere esercizio n. 43 pag. 448 – Le traiettorie della fisica.azzurro, Amaldi

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1        Testo

I palloni stratosferici sono enormi aerostati in polietilene, che possono raggiungere il diametro di 200 m. Vengono lanciati con un carico di strumenti di rilevazione per effettuare esperimenti scientifici nell’alta atmosfera (possono arrivare a 40.000 m di quota). Un pallone stratosferico pieno di elio (densità \( \rho = 0.179 kg / m^3 \) )sale in aria (densità \( \rho = 1.29 kg / m^3 \) ) sollevato da una spinta ascensionale pari a \( 7.12 \cdot 10^5 N \).

Quale e il volume del pallone? (trascura la massa dell’involucro rispetto alla massa di elio)

2        Soluzione

Per risolvere il problema si deve tenere in considerazione che la spinta netta verso l’alto è il risultato di una spinta che batte anche la forza peso del pallone. Da questa considerazione si può affermare che la spinta ascensionale netta non è uguale alla forza che si utilizzerebbe nella formula di Archimede. Infatti la forza da utilizzare come spinta di Archimede è più grande della forza ascensionale dichiarata dal problema.

\( F_{A r c}=F_{a s c}+m_{e l} g \)

In cui:

  • \( F_{A r c} \) è la forza di Archimede;
  • \( F_{a s c} \) è la forza ascensionale dichiarata dal problema;
  • \( m_{e l} \) è la massa del pallone pieno d’elio;
  • \( g \) è l’accelerazione gravitazionale a cui viene sottoposto il pallone pieno d’elio.

D’altra parte deve essere vero che, per il principio di Archimede:

\( F_{A r c}=\rho_{a} V_{e l} g \)

In cui:

  • \( V_{e l}\) è il volume del pallone d’elio richiesto dal problema;
  • \( \rho_{a} \) è la densità dell’aria ed è un dato del problema.

Quindi:

\( F_{a s c}+m_{e l} g=\rho_{a} V_{e l} g \)

Ma siccome la densità del pallone pieno d’elio è:

\( \rho_{e l}=\frac{m_{e l}}{V_{e l}} \)

Allora si può scrivere anche che:

\( F_{a s c}+\rho_{e l} V_{e l} g=\rho_{a} V_{e l} g \)

Ovvero:

\( V_{e l}=\frac{F_{a s c}}{g\left(\rho_{a}-\rho_{e l}\right)} \approx 6.54 \cdot 10^{4} m^{3} \)

Quindi il volume del pallone pieno d’elio è pari a circa \( 6.54 \cdot 10^{4} m^{3} \).

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Soluzione esercizio n°14 pag. 913 (L’Amaldi per i licei scientifici.blu 2)

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Testo

Quattro conduttori paralleli tra loro sono fissati ai vertici di un quadrato, come mostrato in figura, di lato \( l=1.0cm \). In tutti i fili circola una corrente di \( 10A \), nei fili 1,2 e 3 uscenti dal foglio, nel filo 4 entrante.

Calcola modulo, direzione e verso della forza totale per unità di lunghezza che agisce sul filo 1.

Prerequisiti

Per risolvere questo problema è necessario conoscere:

  • La formula della forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente;
  • Le procedure per effettuare la scomposizione dei vettori;
  • Le procedure per effettuare la somma vettoriale;
  • I concetti di modulo, direzione e verso del vettore.

Soluzione

Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente

\( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}}= \frac{ \mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l _f \cdot \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \)

In cui:

  • \( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}} \) è la forza di attrazione tra i due fili;
  • \( \mu \) è una costante, di cui è la permeabilità magnetica del mezzo nel quale si trovano i fili;
  • \( i_1 \) è la corrente che attraversa il primo filo;
  • \( i_2 \) è la corrente che attraversa il secondo filo;
  • \( d \) è la distanza tra i due fili;
  • \( l _f \) è la lunghezza dei fili;
  • \( \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \) è un versore (vettore di modulo uno) che si trova sulla direzione che definisce la distanza tra i due fili.

Nel nostro caso di ha che le forze per unità di lunghezza sono:

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{12}}{l _f}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 12}\)

e

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{13}}{l _f}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 13}\)

e

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{14}}{l _f}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{4}}{d_{14}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 14}\)

Il reale valore della lunghezza dei fili \( l _f \) è, ai fini dei calcoli, irrilevante, in quanto viene richiesta la forza per unità di lunghezza.

La somma vettoriale tra i vettori richiesti è:

\( \vec{\boldsymbol{F}}_{tot}=\vec{\boldsymbol{F}}_{12}+\vec{\boldsymbol{F}}_{13} + \vec{\boldsymbol{F}}_{14}\)

Procedendo come richiesto dal problema si osserva che i contributi dovuti a \( l _f \) si annullano ovunque, perché tutti i membri a sinistra e a destra dell’uguaglianza sono divisi per \( l _f \). Tuttavia, tutti i ragionamenti di seguito valgono per ogni metro di filo percorso da corrente.

Di seguito la rappresentazione dei vettori coinvolti.

Per trovare la risultante si immagini un piano cartesiano centrato sul filo 1. Per le componenti orizzontali si ha:

\( F_{tot, x}=\left\|\vec{F}_{12}\right\|+\left\|\vec{F}_{13}\right\| \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}}+\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Per le componenti verticali si ha:

\( F_{tot, y}=\left\|\vec{F}_{14}\right\|-\left\|\vec{F}_{13}\right\| \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{4}}{d_{14}}-\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Siccome \( d_{12}=d_{14}=l \), \( d_{13}= \sqrt{2}l\) e considerando che \( \mu = \mu_{0}=4 \pi \cdot 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}\) si ha:

\( F_{tot, x}=\frac{\mu}{2 \pi l}\left(i_{1} i_{2}+i_{1} i_{3} \frac{1}{2}\right)=\frac{2 \cdot 10^{-7}}{0.01}\left(\frac{200+100}{2}\right)=0.003 N \)

\( F_{tot, y}=\frac{\mu}{2 \pi l}\left(i_{1} i_{4}-i_{1} i_{3} \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{2 \cdot 10^{-7}}{0.01}\left(\frac{200-100 \sqrt{2}}{2}\right)=0.000585 N \)

\( \left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{tot}\right\|=\sqrt{F_{tot, x}^{2}+F_{tot, y}^{2}} \approx 3.06 \cdot 10^{-3} N \)

Quindi il modulo della forza totale per unità di lunghezza che agisce sul filo 1 è di circa \( 3.06 \cdot 10^{-3} N \).

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Soluzione esercizio n°12 pag. 913 (L’Amaldi per i licei scientifici.blu 2)

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Testo

Un cavetto di alluminio (densità \( \rho=2690 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} \) ), lungo \( 3.2m \), a sezione quadrata di lato \( 2.0mm \), percorso da una corrente di \( 33A \), è appoggiato su un tavolo da lavoro che presenta un coefficiente d’attrito \( \mu = 0.15 \). Un’asta di ferro molto lunga si trova fissata al tavolo parallelamente al filo a una distanza di \( 2.0 cm \).

Calcola il verso (rispetto alla prima) e l’intensità della minima corrente che occorrerebbe far scorrere nell’asta per allontanare il cavetto.

Prerequisiti

Per poter risolvere questo problema si deve conoscere:

  • La formula della forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente;
  • Le procedure per effettuare la scomposizione dei vettori;
  • Le procedure per effettuare la somma vettoriale;
  • I concetti di modulo, direzione e verso del vettore.

Soluzione

Si osservi che il volume del cavetto è pari a quello di un prisma a base quadrata:

\( V=h l^{2}=3.2 \cdot\left(2 \cdot 10^{-3}\right)^{2} m^{3}=12.8 \cdot 10^{-3} \mathrm{m}^{3} \)

Per poter trovare la massa del filo si procede come segue:

\( m=\rho V=2690 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}} \cdot 12.8 \cdot 10^{-6} \mathrm{m}^{3} \approx 0.034 \mathrm{kg} \)

La forza peso associata al filo di alluminio è quindi pari a:

\( F_{p}=m g=0.034 \mathrm{kg} \cdot 9.81 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}} \approx 0.333 \mathrm{N} \)

Quindi la forza d’attrito è pari a:

\( F_{a}=\mu F_{\perp}=0.15 \cdot 0.333 N \approx 0.05 N \)

Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente:

\( \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r} \)

In cui:

  • \( \overrightarrow{\boldsymbol{F}} \) è la forza di attrazione tra i due fili;
  • \( \frac{\mu}{2 \pi} \) è una costante, di cui \( \mu \) è la permeabilità magnetica del mezzo nel quale si trovano i fili;
  • \( i_1 \) è la corrente che attraversa il primo filo;
  • \( i_2 \) è la corrente che attraversa il secondo filo;
  • \( d \) è la distanza tra i due fili;
  • \( l \)è la lunghezza dei fili;
  • \( \widehat{\mathbf{u}}_{r} \)è un versore (vettore di modulo uno) che si trova sulla direzione che definisce la distanza tra i due fili.

Quindi deve essere:

\( \vec{F} \geq \vec{F}_{a} \)

Al minimo deve quindi essere:

\( \frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l+0.05 N=0 \)

Affinché sia vero, le due correnti che percorrono i due fili devono essere di verso opposto, così:

\( \frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l=0.05 N \)

La corrente desiderata è:

\( i_{2}=0.05 \frac{d 2 \pi}{l \mu i_{1}}=\frac{0.05 \cdot 2 \cdot 10^{-2} \cdot 2 \pi}{3.2 \cdot 4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 33}=\frac{0.05 \cdot 10^{-2} \cdot 33}{3.2 \cdot 10^{-7}} \approx 4.735 \cdot 10^{-4} \cdot 10^{5} A \approx 47.35 A \)

In definitiva l’intensità della minima corrente che occorrerebbe far scorrere nell’asta per allontanare il cavetto è di circa \( 47.35 A \)