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Come determinare il raggio atomico dell’atomo d’idrogeno conoscendo la sua energia di ionizzazione

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Testo

Determina il raggio atomico dell’atomo d’idrogeno sapendo che la sua energia di ionizzazione, cioè la minima energia richiesta per allontanare da esso un elettrone, è di 13,6 eV.

Prerequisiti


Per risolvere questo esercizio dovrai conoscere:

  1. I concetti di energia potenziale ed energia cinetica;
  2. La seconda legge della dinamica;
  3. Come invertire le formule;
  4. La carica dell’elettrone e del protone;
  5. La costante di Coulomb;
  6. Il concetto di energia totale
  7. La teoria associata al moto circolare uniforme
  8. Come convertire gli elettronVolt (eV) in Joule (J).

Soluzione

L’elettrone dell’atomo di idrogeno ruota intorno al nucleo mantenendo un’energia potenziale data dalla formula:
Si osservi che…

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Soluzione esercizio numero 13 pag 997 – L’Amaldi per i licei scientifici.blu

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Testo

Una bobina è composta da 35 spire, di raggio 2,5 cm, ed è collegata a un circuito che non contiene un generatore. Avvicinando e allontanando una calamita, il campo magnetico medio sulla superficie della bobina varia di 5,8 mT. La calamita viene spostata vicino e poi lontano dalla bobina quattro volte al secondo.

Calcola il modulo della forza elettromotrice media indotta nel circuito da tale variazione di flusso.

Prerequisiti

Per risolvere questo problema lo studente deve conoscere:

  • il concetto del flusso di campo magnetico;
  • le forumle relative al flusso di campo magnetico;
  • il concetto di vettore di superficie;
  • Il concetto di vettore di campo magnetico;
  • la differenze tra campo magnetico e flusso di campo magnetico.

Soluzione

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Esercizio numero 12 pag. 997 (L’Amaldi per i licei scientifici.blu)

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1 Testo

Una spira circolare di raggio 2,5 cm è immersa in un campo magnetico di modulo 0,15T. All’inizio è posta perpendicolarmente alle linee di campo. Successivamente subisce una rotazione di 30°. La rotazione avviene in 10 secondi.

  • Calcola la variazione del flusso del campo magnetico.
  • Calcola la forza elettromagnetica indotta
Vettore di campo magnetico e di superficie, dalla posizione iniziale a quella finale, come dai dati del problema. L’angolo rappresentato in rosso deve essere di 30°.

2 Prerequisiti

Per poter risolvere questo problema bisogna conoscere i seguenti concetti:

  • campo magnetico;
  • vettore superficie;
  • flusso di campo magnetico;
  • forza elettromotrice indotta.

3 Soluzione

3.1 Punto 1

Per risolvere il punto 1 dell’esercizio si deve calcolare il flusso del campo nautico finale e il flusso del campo magnetico iniziale, per poi effettuarne la differenza in modo da ricavare la variazione di flusso di campo magnetico.

Si consideri quindi… Se vuoi continuare a vedere la soluzione scarica il documento acquistandolo qui sotto.

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Soluzione esercizio n°14 pag. 913 (L’Amaldi per i licei scientifici.blu 2)

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Testo

Quattro conduttori paralleli tra loro sono fissati ai vertici di un quadrato, come mostrato in figura, di lato \( l=1.0cm \). In tutti i fili circola una corrente di \( 10A \), nei fili 1,2 e 3 uscenti dal foglio, nel filo 4 entrante.

Calcola modulo, direzione e verso della forza totale per unità di lunghezza che agisce sul filo 1.

Prerequisiti

Per risolvere questo problema è necessario conoscere:

  • La formula della forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente;
  • Le procedure per effettuare la scomposizione dei vettori;
  • Le procedure per effettuare la somma vettoriale;
  • I concetti di modulo, direzione e verso del vettore.

Soluzione

Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente

\( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}}= \frac{ \mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l _f \cdot \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \)

In cui:

  • \( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}} \) è la forza di attrazione tra i due fili;
  • \( \mu \) è una costante, di cui è la permeabilità magnetica del mezzo nel quale si trovano i fili;
  • \( i_1 \) è la corrente che attraversa il primo filo;
  • \( i_2 \) è la corrente che attraversa il secondo filo;
  • \( d \) è la distanza tra i due fili;
  • \( l _f \) è la lunghezza dei fili;
  • \( \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \) è un versore (vettore di modulo uno) che si trova sulla direzione che definisce la distanza tra i due fili.

Nel nostro caso di ha che le forze per unità di lunghezza sono:

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{12}}{l _f}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 12}\)

e

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{13}}{l _f}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 13}\)

e

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{14}}{l _f}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{4}}{d_{14}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 14}\)

Il reale valore della lunghezza dei fili \( l _f \) è, ai fini dei calcoli, irrilevante, in quanto viene richiesta la forza per unità di lunghezza.

La somma vettoriale tra i vettori richiesti è:

\( \vec{\boldsymbol{F}}_{tot}=\vec{\boldsymbol{F}}_{12}+\vec{\boldsymbol{F}}_{13} + \vec{\boldsymbol{F}}_{14}\)

Procedendo come richiesto dal problema si osserva che i contributi dovuti a \( l _f \) si annullano ovunque, perché tutti i membri a sinistra e a destra dell’uguaglianza sono divisi per \( l _f \). Tuttavia, tutti i ragionamenti di seguito valgono per ogni metro di filo percorso da corrente.

Di seguito la rappresentazione dei vettori coinvolti.

Per trovare la risultante si immagini un piano cartesiano centrato sul filo 1. Per le componenti orizzontali si ha:

\( F_{tot, x}=\left\|\vec{F}_{12}\right\|+\left\|\vec{F}_{13}\right\| \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}}+\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Per le componenti verticali si ha:

\( F_{tot, y}=\left\|\vec{F}_{14}\right\|-\left\|\vec{F}_{13}\right\| \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{4}}{d_{14}}-\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Siccome \( d_{12}=d_{14}=l \), \( d_{13}= \sqrt{2}l\) e considerando che \( \mu = \mu_{0}=4 \pi \cdot 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}\) si ha:

\( F_{tot, x}=\frac{\mu}{2 \pi l}\left(i_{1} i_{2}+i_{1} i_{3} \frac{1}{2}\right)=\frac{2 \cdot 10^{-7}}{0.01}\left(\frac{200+100}{2}\right)=0.003 N \)

\( F_{tot, y}=\frac{\mu}{2 \pi l}\left(i_{1} i_{4}-i_{1} i_{3} \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{2 \cdot 10^{-7}}{0.01}\left(\frac{200-100 \sqrt{2}}{2}\right)=0.000585 N \)

\( \left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{tot}\right\|=\sqrt{F_{tot, x}^{2}+F_{tot, y}^{2}} \approx 3.06 \cdot 10^{-3} N \)

Quindi il modulo della forza totale per unità di lunghezza che agisce sul filo 1 è di circa \( 3.06 \cdot 10^{-3} N \).

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Soluzione esercizio n°12 pag. 913 (L’Amaldi per i licei scientifici.blu 2)

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Testo

Un cavetto di alluminio (densità \( \rho=2690 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} \) ), lungo \( 3.2m \), a sezione quadrata di lato \( 2.0mm \), percorso da una corrente di \( 33A \), è appoggiato su un tavolo da lavoro che presenta un coefficiente d’attrito \( \mu = 0.15 \). Un’asta di ferro molto lunga si trova fissata al tavolo parallelamente al filo a una distanza di \( 2.0 cm \).

Calcola il verso (rispetto alla prima) e l’intensità della minima corrente che occorrerebbe far scorrere nell’asta per allontanare il cavetto.

Prerequisiti

Per poter risolvere questo problema si deve conoscere:

  • La formula della forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente;
  • Le procedure per effettuare la scomposizione dei vettori;
  • Le procedure per effettuare la somma vettoriale;
  • I concetti di modulo, direzione e verso del vettore.

Soluzione

Si osservi che il volume del cavetto è pari a quello di un prisma a base quadrata:

\( V=h l^{2}=3.2 \cdot\left(2 \cdot 10^{-3}\right)^{2} m^{3}=12.8 \cdot 10^{-3} \mathrm{m}^{3} \)

Per poter trovare la massa del filo si procede come segue:

\( m=\rho V=2690 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}} \cdot 12.8 \cdot 10^{-6} \mathrm{m}^{3} \approx 0.034 \mathrm{kg} \)

La forza peso associata al filo di alluminio è quindi pari a:

\( F_{p}=m g=0.034 \mathrm{kg} \cdot 9.81 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}} \approx 0.333 \mathrm{N} \)

Quindi la forza d’attrito è pari a:

\( F_{a}=\mu F_{\perp}=0.15 \cdot 0.333 N \approx 0.05 N \)

Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente:

\( \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r} \)

In cui:

  • \( \overrightarrow{\boldsymbol{F}} \) è la forza di attrazione tra i due fili;
  • \( \frac{\mu}{2 \pi} \) è una costante, di cui \( \mu \) è la permeabilità magnetica del mezzo nel quale si trovano i fili;
  • \( i_1 \) è la corrente che attraversa il primo filo;
  • \( i_2 \) è la corrente che attraversa il secondo filo;
  • \( d \) è la distanza tra i due fili;
  • \( l \)è la lunghezza dei fili;
  • \( \widehat{\mathbf{u}}_{r} \)è un versore (vettore di modulo uno) che si trova sulla direzione che definisce la distanza tra i due fili.

Quindi deve essere:

\( \vec{F} \geq \vec{F}_{a} \)

Al minimo deve quindi essere:

\( \frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l+0.05 N=0 \)

Affinché sia vero, le due correnti che percorrono i due fili devono essere di verso opposto, così:

\( \frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l=0.05 N \)

La corrente desiderata è:

\( i_{2}=0.05 \frac{d 2 \pi}{l \mu i_{1}}=\frac{0.05 \cdot 2 \cdot 10^{-2} \cdot 2 \pi}{3.2 \cdot 4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 33}=\frac{0.05 \cdot 10^{-2} \cdot 33}{3.2 \cdot 10^{-7}} \approx 4.735 \cdot 10^{-4} \cdot 10^{5} A \approx 47.35 A \)

In definitiva l’intensità della minima corrente che occorrerebbe far scorrere nell’asta per allontanare il cavetto è di circa \( 47.35 A \)

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Soluzione esercizio n°29 pag. 915 (L’Amaldi per i licei scientifici.blu 2)

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Questo è il testo dell’esercizio n°29 pag. 915 del libro “L’Amaldi per i licei scientifici.blu 2” con la soluzione a seguire.

Testo

Vuoi sollevare una bacchetta di alluminio dal tavolo. Attacchi quindi alcune calamite a ferro di cavallo sul piano del tavolo in modo da produrre un campo magnetico pressoché uniforme e appoggi la bacchetta, lunga \( 16 \mathrm{cm} \) e di massa \( m=14 g \), su due contatti elettrici posti sul tavolo, in modo che questa sia attraversata da una corrente \( i=34 A \).

  • Come deve essere diretto il campo magnetico perché il sistema congegnato abbia massima efficacia?
  • Quanto dovrebbe valere il campo magnetico per sollevare la bacchetta con accelerazione pari a \( \frac{1}{2} g \)?
Continua a leggere Soluzione esercizio n°29 pag. 915 (L’Amaldi per i licei scientifici.blu 2)
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Esercizio n°11 pag. 913 (L’Amaldi per i licei scientifici.blu 2)

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Testo

Tre fili paralleli sono posti ai vertici di un triangolo equilatero di lato \( d=35cm\), come mostrato nella figura, e sono attraversati dalle correnti \( i_1 \), \( i_2 \) e \( i_3 \). Le correnti hanno tutte intensità uguale a \( 2A \).

Determina modulo direzione e verso della forza per unità di lunghezza che agisce sul filo 1 nel caso in cui le correnti \( i_1 \), \( i_2 \) e \( i_3 \) siano tutte uscenti dal foglio.

Prerequisiti

Per risolvere questo problema è necessario conoscere:

  • La formula della forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente;
  • Le procedure per effettuare la scomposizione dei vettori;
  • Le procedure per effettuare la somma vettoriale;
  • I concetti di modulo, direzione e verso del vettore.

Soluzione

Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente

\( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}}= \frac{ \mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l \cdot \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \)

In cui:

  • \( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}} \) è la forza di attrazione tra i due fili;
  • \( \mu \) è una costante, di cui  è la permeabilità magnetica del mezzo nel quale si trovano i fili;
  • \( i_1 \) è la corrente che attraversa il primo filo;
  • \( i_2 \) è la corrente che attraversa il secondo filo;
  • \( d \) è la distanza tra i due fili;
  • \( l \) è la lunghezza dei fili;
  • \( \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \) è un versore (vettore di modulo uno) che si trova sulla direzione che definisce la distanza tra i due fili.

Nel nostro caso di ha che le forze per unità di lunghezza sono:

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{12}}{l}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 12}\)

e

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{13}}{l}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 13}\)

Il reale valore della lunghezza dei fili è, hai fini dei calcoli, irrilevante, in quanto viene richiesta la forza per unità di lunghezza.

La somma vettoriale:

\( \vec{\boldsymbol{F}}_{tot}=\vec{\boldsymbol{F}}_{12}+\vec{\boldsymbol{F}}_{13} \)

Vuole che, al netto, sia:

\( \left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{t o t}\right\|=\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{12}\right\| \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{13}\right\| \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)= \)

\( \left(\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{12}\right\|+\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{13}\right\|\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \)

In quanto le componenti orizzontali si annullano. La simbologia \( \left(\left\| \cdot \right\|\right) \) identifica il modulo del vettore.

Procedendo come richiesto dal problema si osserva che i contributi dovuti a \( l \) si annullano ovunque, perché tutti i membri a sinistra e a destra dell’uguaglianza sono divisi per \( l \). Tuttavia, tutti i ragionamenti di seguito valgono per ogni metro di filo percorso da corrente.

Perciò:

\( \left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{\text {tot}}\right\|=\left(\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}}+\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}}\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \)

Siccome \( d_{12}=d_{13}=d \) si ha:

\( \left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{\text {tot}}\right\|=\frac{\mu}{2 \pi d}\left(i_{1} i_{2}+i_{1} i_{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \)

Nel nostro caso \( \mu=\mu_{0}=4 \pi \cdot 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m} \) da cui:

\( \left\|\vec{F}_{t o t}\right\|=\frac{16}{0.35} \cdot 10^{-7} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} N \approx 4 \cdot 10^{-6} N \)

Ricordando quanto detto prima e cioè che tutti i ragionamenti appena fatti valgono per ogni metro di filo percorso da corrente si può concludere che:

\( \frac{\left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{\text {tot}}\right\|}{l} \approx 4 \cdot 10^{-6} \frac{N}{m}\)

Quindi il modulo della forza per unità di lunghezza che agisce sul filo 1 è pari a circa \( 4 \cdot 10^{-6} \frac{N}{m}\). La direzione della forza è perpendicolare alla congiungente dei fili 2 e 3, con la coda del vettore sul filo 1.

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Come risolvere il problema della distanza di arresto dalla carica Q

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Testo

Una particella di massa m = 3.0 \cdot 10^{-3} Kg e carica q = 2.0 \cdot 10^{-4} C proviene dall’infinito con velocità v = 2.4 \cdot 10^{2} m/s e si muove verso una particella di carica Q = 4.0 \cdot 10^{-6} C tenuta fissa a riposo nel vuoto. La velocità di avvicinamento è diretta lungo la congiungente le due particelle.

Calcola a quale distanza r dalla carica Q la particella di carica q si ferma per un istante.

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Quale è la differenza di potenziale ai capi del condensatore?

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Il seguente esercizio è stato tratto dal libro “L’Amaldi per i licei scientifici.blu 2”.

Testo

Il cannone elettronico di un tubo a raggi catodici produce elettroni con velocità di 0.65 \cdot 10 ^ {7} m/s. Il fascio prodotto attraversa le piastre di un condensatore e gli elettroni subiscono una deviazione dall’asse orizzontale di 2.9 mm. Le armature del condensatore sono lunghe 7.0 cm e distano tra loro di 6.0mm

Calcola la differenza di potenziale che è applicata al condensatore.

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Energia potenziale del sistema di cariche nell’ atomo di idrogeno

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Testo

L’atomo di idrogeno è costituito da un protone e da un elettrone posti alla distanza del raggio di Bohr, pari a 5.29\cdot 10^{-11}m .

Calcola l’energia potenziale di questo sistema di cariche nel vuoto.

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