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I vasi comunicanti per liquidi non miscibili

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Sono considerati vasi comunicanti due o più recipienti collegati tra loro al di sotto del livello di superficie del liquido che li riempie. Un’illustrazione schematica dei vasi comunicanti è data in Figura 1, in cui è possibile notare come l’altezza del livello di superficie del liquido a sinistra e a destra dei vasi è uguale.

Il liquido tende a riempire il recipiente mantenendo il livello di superficie uguale per tutti i punti superficiali rispetto al livello di terra.

Figura 1 Esempio di vasi comunicanti. Le due segnalazioni laterali mostrano come il livello di superficie del liquido sia uguale nel vaso di sinistra e in quello di destra

La legge di Stevino vale anche in questa condizione e ci dice che:

\(P=p_{a t m}+d g h\)

In cui:

  • \(P\) è la pressione a una certa altezza dalla superficie;
  • \(d\) è la densità del liquido;
  • \(g\) è l’accelerazione gravitazionale e vale \(9.81 \frac{m}{s^{2}}\);
  • \( h \) è la profondità dalla superficie dell’acqua.

Quando al liquido viene aggiunto un altro liquido immiscibile succede che i due liquidi rimangono separati. Ciascun liquido ha densità diverse e sotto tale condizione tra i vasi può instaurarsi un dislivello. Un esempio di questa situazione è rappresentato in Figura 2.

Si può assumere che il liquido blu e il liquido giallo siano rispettivamente acqua e olio. In questo caso l’aggiunta di olio provocherebbe il dislivello indicato nell’illustrazione. Il vaso che contiene l’aggiunta di olio ha un livello di superficie più alto rispetto alla controparte.

Figura 2 Esempio di vasi comunicanti con liquido aggiunto differente non miscibile

Deve essere vero che la pressione nel fondo dei vasi destro e sinistro è uguale:

\(P_{s x}=P_{d x}\)

In Figura 3 viene mostrata la condizione di aggiunta dell’olio in una situazione in cui i vasi comunicanti sono pieni di acqua.

Figura 3 La condizione di equilibrio è decisa dalle regioni tratteggiate in arancione

La linea tratteggiata rossa è stata tracciata in modo tale che si trovasse a livello con la superficie che separa l’olio dall’acqua. Come è possibile notare la linea rossa taglia anche il vaso sinistro. Sopra la linea rossa le quantità di volume di liquido sono diverse, perché le densità dei liquidi interessati sono diverse.

L’acqua, che è più densa dell’olio, mostra uno stacco in altezza dalla linea tratteggiata rossa pari a \(h_{dis}\), mentre l’olio, meno denso dell’acqua, mostra uno stacco in altezza dalla linea tratteggiata rossa pari a \(h_{olio}\) .

Risulta evidente dalla figura che \(h_{\text {olio }}>h_{\text {dis }}\), che è una conseguenza del fatto che la densità dell’olio è minore di quella dell’acqua. In sostanza questo fa capire che, dato un certo volume di acqua serve più volume di olio per bilanciare il peso dell’acqua. Questo è anche il motivo per cui l’altezza del liquido del vaso destro \(h_{dx}\) è superiore a quella del vaso sinistro \(h_{sx}\) .

Supponendo che \(d_{H 2 O}\) sia la densità dell’acqua e che \(d_{olio}\)  sia la densità dell’olio, per la legge di Stevino, deve essere:

\(p_{a t m}+d_{H 2 o} g h_{d i s}=p_{a t m}+d_{\text {olio }} g h_{\text {olio }}\)

\(d_{H 2 O} h_{d i s}=d_{\text {olio }} h_{\text {olio }}\)

\(\frac{d_{H 2 O}}{d_{\text {olio }}}=\frac{h_{\text {olio }}}{h_{\text {dis }}}\)

Questo ci fa capire che, a parità di liquidi scelti, l’altezza di liquido del vaso in cui si trova l’olio sarà sempre più grande rispetto all’altra. Inoltre, tale legge ci fa capire che la differenza di altezza del liquido nei due vasi \(h_{\text {olio }}-h_{\text {dis }}\) dipende unicamente dalla quantità di olio aggiunta e non dalla quantità di liquido sotto la linea tratteggiata rossa.

Volendo generalizzare a due liquidi generici con densità \(d_1\) e \(d_2\) si può facilmente concludere che:

\(\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{h_{2}}{h_{1}}\)

In cui \(h_1\)  e \(h_2\)  sono le altezze, rispetto alla linea tratteggiata rossa, a cui si trovano le superfici di liquido rispettivamente al vaso a destra e a sinstra.

Esempio vasi comunicanti per liquidi non miscibili

Supponiamo di aggiungere 100 ml di olio a dei vasi comunicanti, con sezione circolare a raggio 3cm, che contengono acqua. Di quanto si innalza il livello dell’acqua a sinistra dei vasi?

\( h_{dis} \frac{d_{H 2 O}}{d_{ \text {olio } }} = \frac{ h_{ \text {olio } }}{ \boldsymbol{h_{dis }}} \boldsymbol{h_{dis}}\)

\(\boldsymbol{d_{olio }} h_{dis} \frac{d_{H2O}}{\boldsymbol{d_{olio }}} = h_{olio } d_{olio } \)

\( \frac{h_{dis} \boldsymbol{d_{H2O}}}{ \boldsymbol{d_{H2O}}} = \frac {h_{olio} d_{olio}}{d_{H2O}} \)

\(h_{d i s}=\frac{d_{\text {olio }}}{d_{H 2 O}} h_{\text {olio }}\)

Sapendo che \(d_{\text {olio }}=0.916 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}\) e che \(d_{H 2 O}=1 \frac{k g}{m^{3}}\) si ha:

\(h_{d i s}=0.916 h_{\text {olio }}\)

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Come usare le formule per i problemi sui fluidi (fisica): pressione, torchio idraulico e legge di Stevino

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Ogni argomento viene suddiviso in sottoparagrafi e per ogni legge o definizione verranno mostrate formula e formule inverse.

1 Pressione

La pressione è definita come la forza applicata per unità di superficie. L’unità di misura della pressione è il Pascal, il quale equivale alla forza di un Newton applicata su un metro quadro di superficie.

La pressione è definita in generale come segue:

\( P = \frac{F}{S}\)

In cui:

  • \( P \) è la pressione esercitata;
  • \( F \) è la forza che agisce sulla superficie;
  • \( S \) è la superficie su cui agisce la forza.

Dalla definizione si può capire come la pressione sia inversamente proporzionale alla superficie. Ciò significa che, a parità di forza, più aumenta la superficie e più la pressione esercitata dalla forza diminuisce. Viceversa la pressione è direttamente proporzionale alla forza, il che significa che, a parità di superficie, quanto più aumenta la forza tanto più aumenta la pressione esercitata sulla superficie dalla forza.

Nella tabella seguente vengono esaminate tre differenti casistiche Associata la risoluzione dei problemi in cui è coinvolta la formula che definisce la pressione.

Tabella 1 Pressione e formule inverse

2 Torchio idraulico

Il torchio idraulico mette in relazione le forze esercitate su due superfici di grandezza differente quando collegate da vasi comunicanti tramite un liquido, che tipicamente è l’acqua.

La formula che correla forze e superfici nel torchio idraulico è la seguente:

\( \frac{F_1}{S_1}= \frac{F_2}{S_2}\)

In cui:

  • \( F_1\) è la forza generata sulla superficie uno;
  • \( S_1\) è la superficie uno;
  • \( F_2\) è la forza generata sulla superficie due;
  • \( S_2\) è la superficie due.

Come si può notare la legge del torchio idraulico è semplicemente una proporzione, che mette in relazione forze e superfici: la forza numero 1 sta alla superficie numero 1 come la forza numero 2 sta alla superficie numero 2.

Figura 1 Rappresentazione schematica Del Torchio idraulico

Le superfici possono avere le forme più disparate, alcuni esempi sono: cerchio, quadrato, rettangolo e così via. Per il calcolo della superficie si procede seguendo le regole dettate dalla geometria piana. Quindi, se per esempio la superficie è un cerchio allora basterà utilizzare la formula della superficie del cerchio per la quantificazione del valore della superficie. Nella tabella seguente vengono mostrate tutte le varianti della legge del torchio idraulico. il lettore tenga in considerazione che \( r_1 \) e \( r_2 \) indicano i raggi delle superfici \(S_1 \) e \( S_2 \) rispettivamente.

Tabella 2 Legge del torchio idraulico e varianti

3 Legge di Stevino

La legge di Stevino definisce una relazione che ci dice qual è lo stato di pressione a una certa altezza dalla superficie di un qualsiasi liquido.

In generale la legge di Stevino ci dice che:

\( P = \rho g h \)

In cui:

  • \( P \) è la pressione a una certa altezza dalla superficie del liquido;
  • \( \rho \) è la densità del liquido;
  • \( g \) è l’accelerazione gravitazionale;
  • \( h \) è l’altezza, dalla superficie del liquido, alla quale la pressione viene calcolata. Forse infatti sarebbe più appropriato parlare di h come profondità.

Come si può notare la legge di Stevino è semplicemente un prodotto tra tre grandezze fisiche. Nella tabella di seguito viene mostrata la legge di Stevino e tutte le sue varianti.

Tabella 3 Legge di Stevino e varianti
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Soluzione esercizio pag. 236 n. 39 – Le traiettorie della fisica.azzurro seconda edizione

clear glass container with white round beadsReading Time: < 1 minute

Testo

Un cubo di materiale sconosciuto galleggia completamente immerso nel mercurio che ha densità \( d=13.6 \cdot 10^{3} \mathrm{kg} / \mathrm{m^3} \). La lunghezza di un lato del cubo è 1cm, quanto vale la massa del cubo?

Prerequisiti

Per poter risolvere il problema è necessario sapere:

  • il principio di Archimede;
  • il concetto di densità;
  • il secondo principio della dinamica;
  • convertire le unità di misura.

Soluzione

Se il cubo galleggia completamente deve valere:

\( F_{A}=g d_{\text {liq}} V_{\text {c}} \)

Dove:

  • \( F_A \) è la spinta di Archimede che contrasta la forza peso dell’oggetto in immersione;
  • \( g \) è l’accelerazione gravitazionale;
  • \( d_{liq} \) è la densità del liquido, nel nostro caso mercurio;
  • \( V_{c} \) è il volume del liquido spostato, cioè pari al volume totale del cubo, dal momento che è sommerso.

Quindi:

\( F_{A}=g d_{\text {liq}} V_{\text {c}}= \)

\( 9.81 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}} \cdot 13.6 \cdot 10^{3} \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}} \cdot 10^{-6} \mathrm{m}^{3} \)

\( \approx 0.133 N \)

Siccome il corpo galleggia ma è completamente immerso significa che:

\( F_A = F_P \)

Dove:

  • \( F_A \) è la spinta di Archimede che contrasta la forza peso dell’oggetto in immersione
  • \( F_P \) è la forza-peso del cubetto

Siccome poi:

\( F_P = m_c g \)

In cui \( m_c \) è la massa del cubetto.

Allora deve essere che:

\( m_c = \frac{F_A}{g} \approx 13.5g \)

In definitiva la massa del cubo è 13.5g.

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Soluzione esercizio pag. 234 n. 25 – Le traiettorie della fisica.azzurro seconda edizione

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Testo

La colonnina di mercurio di un termometro da interni a temperatura ambiente è alta \( 12 \mathrm{cm}\), la densità del mercurio è uguale a \(13.6 \cdot 10^{3} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\)

Qual è il valore della pressione dovuta alla forza-peso del mercurio in fondo al bulbo del termometro?

Thermometer, Summer, Heiss, Heat, Sun, Temperature

Soluzione

Per via della legge di Stevino si procede come segue:

\( P = \rho g h = \)

\( 13.6 \cdot 10^{3} \frac {kg}{m^{3}} \cdot 0.12 m \cdot 9.81 \frac{ m }{ s^2} \approx \)

\( 16 \cdot 10^{3} \frac{kg}{ m^{3}} \cdot m \cdot \frac{ m}{ s^{2}}= \)

\( 16 \cdot 10^{3} \frac{ kg}{m^{2}} \cdot \frac{ m}{ s^{2}}= \)

\( 16 \cdot 10^{3} \frac{ N}{m^{2}} = \)

\( 16 \cdot 10^{3} Pa=16 KPa \)

Perciò la pressione dovuta alla forza-peso del mercurio in fondo al bulbo del termometro è di:

\( 16 KPa \)

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Soluzione esercizio n.41 pag. 237 (Le traiettorie della fisica.azzurro – seconda edizione)

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In questo esercizio, tratto da un libro intitolato “Le traiettorie della fisica.azzurro – seconda edizione”, viene richiesto di ricavare la densità di un corpo conoscendone: la massa, la densità del liquido nel quale viene immerso e una misurazione effettuata con il dinamometro.

Testo

Un geologo vuole determinare la densità di una roccia che ha trovato. La pone su una bilancia e legge il valore di \( 316g \). Poi appende la roccia a un dinamometro e la immerge in un liquido di densità \( 830kg/m^3 \). Il
dinamometro misura una forza-peso corrispondente a una massa di \( 16g\).

Quanto vale la densità della roccia?

Guy, Man, Male, People, Hand, Hold, Rock, Levitate
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