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Come trovare altezza relativa e equazione della retta parallela al lato di un triangolo

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Testo

Dato il triangolo di vertici A(-2; 4), B(4; 3) e C(2; -2), determina:

a. l’equazione dell’altezza relativa al lato AC;

b. l’equazione della retta passante per A e parallela al lato BC;

Soluzione

Punto a.

Per trovare l’altezza relativa ad AC, sappiamo che è una retta perpendicolare ad AC e passante per il vertice opposto B.

Troviamo inizialmente il coefficiente angolare della retta AC:

\( m_{AC}={\frac{y_{C}- y_{A}}{ x_{C}-x_{A} }}={\frac{-2-4}{2-(-2)}}= {\frac{-3}{2}} \)

Sapendo che la condizione di perpendicolarità tra due rette, otteniamo poi il coefficente angolare della retta relativa AC:

\( m_{BH}={\frac{-1}{ m_{AC}}}={\frac{2}{3}} \)

Data la definizione della retta in forma esplicita \( y=mx+q \), sostituendo il coefficiente  \( m_{BH} \) e imponendo il passaggio per il vertice B(4,3):

\( 3= {\frac{2}{3}}*4+q \qquad q=1 \)

\( y= {\frac{2}{3}}x+{\frac{1}{3}} \)

In forma implicita diventa dunque:

\( 2x+3y+1=0 \)

Punto b.

Qualunque retta parallela al segmento BC avrà il suo stesso coefficiente angolare. Andando dunque a calcolarlo abbiamo:

\( m_{BC}={\frac{y_{C}- y_{B}}{ x_{C}-x_{B} }}={\frac{-2-3}{2-4}}= {\frac{5}{2}} \)

Data la definizione della retta in forma esplicita  \( y=mx+q \), sostituendo il coefficiente  \( m_{BC} \) e imponendo il passaggio per il punto A(-2; 4):

\( 4= {\frac{5}{2}}*(-2)+q \qquad q=9 \)

\( y= {\frac{5}{2}}x+9 \)

In forma implicita diventa dunque:

\( 5x-2y+18=0 \)

Rappresentazione delle rette ricavate con il triangolo discusso nel problema
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Come calcolare il perimetro e le mediane e di un triangolo isoscele data la base e l’area

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Testo

Determina il perimetro e le mediane di un triangolo isoscele, di area 48a2, sapendo che la sua base ha una lunghezza 16a.

Soluzione

Figura 1: Triangolo rettangolo con le mediane

Possiamo determinare inizialmente la mediana AA’ che parte dal vertice A. Come si può notare in figura 1, la mediana AA’ corrisponde anche all’altezza del nostro triangolo; e avendo noti rispettivamente base e area, si ottiene che:

Per trovare i lati obliqui del triangolo isoscele, possiamo dividerlo in due triangoli rettangoli equivalenti. I cateti son definiti da BC/2=CA’=BA’ e AA’, e le ipotenuse dai segmenti AC e AB. Perciò applicando il teorema di Pitagora:

Il perimetro sarà dunque calcolato come:

mentre le due mediane BB’ e CC’ sono equivalenti e saranno date da:

Se desideri scaricare il problema e la risoluzione in formato pdf puoi farlo cliccando nel pulsante sottostante

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Come risolvere esercizio n.35 pag 177 (Matematica.verde 3G)

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L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:

  • n.35 pag. 177 Matematica.verde 3A
  • n.35 pag. 255 Matematica.blu 2.0 3 – Seconda edizione
  • n.35 pag. 255 Manuale blu 2.0 di matematica 3A – 3A Plus
  • n.35 pag.215 Matematica.rosso 3 – Seconda edizione

Testo

Riconosci se il fascio di equazione \( 3 a x+4 a y+3 a-1=0 \) è proprio o improprio e determina l’equazione della retta del fascio:

  1. passante per il punto \( \left(\frac{2}{3},-1\right) \);
  2. passante per l’origine;
  3. che dista 1 dall’origine

Prerequisiti

Per risolvere questo esercizio dovrai conoscere:

  1. fascio proprio o improprio;
  2. retta passante per un punto;
  3. retta passante per l’origine;
  4. distanza dalla retta;
  5. coefficiente angolare.

Soluzione

Il coefficiente angolare del fascio è…

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Prima lezione sullo studio di funzione

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Questa è il video della prima lezione sullo studio di funzione proposta da Thinking Process del percorso “Maratona di lezioni sullo studio di funzione”.

Qui di seguito il manifesto dell’iniziativa e sotto il video della prima lezione.

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Soluzione esercizio numero 137 pag.834 tratto dal libro Matematica.azzurro 4 con Tutor

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Testo

Nel seguente esercizio determina gli elementi richiesti utilizzando i dati forniti dalle figure.

Sfruttando le conoscenze sulla trigonometria bisogna cercare di ricavare le aree richieste.

Soluzione

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Vertice di una parabola. Come trovare una parabola con vertice V(2,3)

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Testo

Illustra il concetto di vertice di una parabola. Fai un esempio di parabola con Vertice in V(2,3).

Soluzione

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Come risolvere esercizio n.186 pag.643 (MATEMATICA VERDE 3G)

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Testo

In un parallelogramma due lati consecutivi misurano rispettivamente 4 e 20 e l’angolo fra essi compreso è alfa = arcsin (4/5). Calcola la misura dell’area è delle diagonali.

Soluzione

Nel video potrai trovare la soluzione dell’esercizio. Se qualcosa non è chiaro o hai bisogno di ulteriori spiegazioni non esitare a contattarci!

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Come dimostrare, in 5 mosse, la perpendicolarità tra tangente e raggio.

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1. Testo

Dimostra, con l’utilizzo delle derivate, che la tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.  

2. Prerequisiti

Per poter affrontare al meglio questa tipologia di esercizio dovrai conoscere:

  • il concetto e la definizione di derivata
  • l’equazione della circonferenza
  • come ricavare le formule inverse

3. Soluzione

Primo step

Consideriamo l’equazione generica di una circonferenza di centro C(0,0) e raggio r : 

\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)

Secondo step

Ricaviamo la y in modo da poter esplicitare le coordinate di un punto sulla circonferenza: 

\( y=± \sqrt{r^2 − x^2 } \) 

Si ricordi che la circonferenza non è una funzione e, per tale motivo, nelle procedure di calcolo a seguire è stata scelta, per comodità, la semicirconferenza superiore.

Terzo step

Consideriamo un punto generico P sulla circonferenza, questo avrà coordinate: 

\( P(x_P, \sqrt{r^2 − x_P^2 }) \)

Figura 1. Rappresentazione sul piano cartesiano del problema proposto. Si ricordi che la circonferenza non è una funzione e, per tale motivo, nelle procedure di calcolo è stata scelta la semicirconferenza superiore.
Quarto step

Calcoliamo ora il coefficiente angolare del raggio della circonferenza congiungente il centro O con il punto P: 

\( m_{OP} =\frac{\Delta {y}}{\Delta {x}} =\frac{{y_P}-y_O}{{x_P}-x_O}=\frac{\sqrt{r^2- x_P^2}}{x_P}\)

Quinto e ultimo step

Ricordiamo il significato di derivata di una funzione in un punto.

Il significato geometrico di derivata in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.  

Svolgiamo quindi la derivata della funzione rappresentante la circonferenza  e calcoliamola nel punto \( P(x_P, \sqrt{r^2 − x_P^2 }) \) per dimostrare che la retta tangente alla circonferenza in quel punto è perpendicolare al raggio.  

\(\frac{d f(x)}{dx}=\frac{d \left(\sqrt{r^{2}-x^{2}}\right)}{d x}=\frac{d\left(r^{2}-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{d x}= \)

\(\frac{1}{2}(-2 x)\left(r^{2}-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}=\frac{-x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\)

Calcoliamo ora la derivata nel punto di ascissa \( x = x_P\) 

\( m_{perp-OP} =\frac{d {f (x_{P})}}{d {x}}=\frac{- x_{P}^{2}}{\sqrt{r^{2}-x_{P}^{2}}}\ \)

Dal confronto tra  

\( m_{perp-OP}= – \frac{x_{OP}}{\sqrt{r^{2}-x_P^2}}\)

e  

\( m_{OP}= \frac{\sqrt{r^{2}-x_P^2}}{x_{OP}}\)

si evidenzia come un valore sia esattamente l’antireciproco dell’altro.  

Questo corrisponde con la definizione di coefficienti angolari appartenenti a rette parallele, come volevasi dimostrare.  

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Come risolvere l’esercizio n.28 pag. G55 Matematica multimediale.blu 1

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L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:

  • n.25 pag. G48 Matematica multimediale.verde 1
  • n.25 pag. G44 Matematica multimediale.bianco 1
  • n.28  pag.G49 Matematica multimediale.azzurro 1

1 Testo

Traccia due segmenti AB e CD che si intersecano nel punto M, che è il punto medio di entrambi. Dimostra che i triangoli AMC e BMD sono congruenti.

2 Prerequisiti

Per rispondere al quesito bisogna sapere:

  • il concetto di congruenza;
  • il primo criterio di congruenza;
  • il concetto di punto medio;
  • la distinzione tra ipotesi, dimostrazione e tesi.

3 Soluzione

3.1 Ipotesi e tesi

Ipotesi
\( AM\cong MB \)
\(CM\cong MD\)
Tesi
\(AMC\cong BMD \)

Di seguito viene mostrato graficamente il caso di cui è necessario fornire dimostrazione.

Figura 1. Illustrazione grafica del problema

3.2 Dimostrazione

Consideriamo i triangoli \(AMC\) e \(MBD\).

Essi hanno:

  • \(AM\cong MB\) per ipotesi
  • \(CM\cong MD\) per ipotesi
  • \(A\hat{M}C\cong B\hat{M}D\) perchè angoli opposti al vertice M

Dunque i due triangoli, avendo due lati e l’angolo tra essi compreso ordinatamente congruenti, sono congruenti, per il primo criterio di congruenza.

Quindi:

\(AMC\cong BMD \).

Come volevasi dimostrare.

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Come risolvere esercizio n. 34 pag.177 (Matematica.verde 3G)

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L’esercizio è presente anche nel seguente libro

  • esercizio n. 34 pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)

1 Testo

Determina per quale valore di k si ottiene una retta del fascio di equazione

\( kx+\left(1-2k\right)y+3+k=0\)

  1. passante per l’origine;
  2. parallela alla retta;
  3. perpendicolare alla retta

2 Prerequisiti

Per capire e risolvere l’esercizio è necessario conoscere:

  • l’equazione della retta (implicita ed esplicita)
  • come calcolare il coefficiente angolare della retta
  • come calcolare il valore di quota della retta
  • il concetto di fascio di rette proprio e improprio
  • come ricavare il coefficiente angolare di una retta parallela o perpendicolare a un’altra retta

3 Soluzione

3.1 Punto 1

Determiniamo l’equazione della retta del fascio passante per l’origine.

\( kx+\left(1-2k\right)y+3+k=0\)

Sostituiamo le coordinate dell’origine nell’equazione del fascio:

\( 0x +(1-2k)0+3+k=0 \)

\(0+0+3+k=0 \)

\(3+k=0 \)

\( k=-3 \)

Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio passante per l’origine è \( -3 \).

3.2 Punto 2

Determiniamo l’equazione della retta del fascio parallela alla retta \( r: x=5 \).

Il coefficiente angolare della retta di equazione \( x = 5 \) è \( \infty \) e rappresenta una retta verticale. In questo caso non possiamo porre il coefficiente angolare uguale a \( \infty \), ma doppiamo porre uguale a \( 0\) il coefficiente della y nel fascio:

\( 1-2k=0 \)

da cui

\( -2k=-1 \)

quindi

\( k=\frac{1}{2} \)

Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio parallela alla retta r è \( \frac{1}{2} \).

3.3 Punto 3

Determiniamo l’equazione della retta del fascio perpendicolare  alla retta \( s:x+y=5 \).

Iniziamo calcolando il coefficiente angolare della retta s:

\( m_s =-\frac{a}{b}=-3 \)

Calcoliamo il coefficiente angolare del fascio è:

\(m_f=-\frac{a}{b}=-\frac{k}{1-2k} \)

Dovendo determinare  una retta perpendicolare deve essere che:

\(m_f=-\frac{1}{m_s} =-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3} \)

cioè:

\(-\frac{k}{1-2k}=\frac{1}{3} \)

\(-3k=1-2k \)

\(-3k+2k=1 \)

\(-k=1\)

\(k=-1\)

Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio perpendicolare alla retta s è \( -1 \).

Figura 1. Rappresentazione delle rette del fascio , nelle condizioni indicate dall’esercizio.

Di cosa hai bisogno? Faccelo sapere, presto!