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Prima lezione sullo studio di funzione

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Questa è il video della prima lezione sullo studio di funzione proposta da Thinking Process del percorso “Maratona di lezioni sullo studio di funzione”.

Qui di seguito il manifesto dell’iniziativa e sotto il video della prima lezione.

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Soluzione esercizio numero 137 pag.834 tratto dal libro Matematica.azzurro 4 con Tutor

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Testo

Nel seguente esercizio determina gli elementi richiesti utilizzando i dati forniti dalle figure.

Sfruttando le conoscenze sulla trigonometria bisogna cercare di ricavare le aree richieste.

Soluzione

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Vertice di una parabola. Come trovare una parabola con vertice V(2,3)

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Testo

Illustra il concetto di vertice di una parabola. Fai un esempio di parabola con Vertice in V(2,3).

Soluzione

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Come risolvere esercizio n.186 pag.643 (MATEMATICA VERDE 3G)

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Testo

In un parallelogramma due lati consecutivi misurano rispettivamente 4 e 20 e l’angolo fra essi compreso è alfa = arcsin (4/5). Calcola la misura dell’area è delle diagonali.

Soluzione

Nel video potrai trovare la soluzione dell’esercizio. Se qualcosa non è chiaro o hai bisogno di ulteriori spiegazioni non esitare a contattarci!

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Come dimostrare, in 5 mosse, la perpendicolarità tra tangente e raggio.

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1. Testo

Dimostra, con l’utilizzo delle derivate, che la tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.  

2. Prerequisiti

Per poter affrontare al meglio questa tipologia di esercizio dovrai conoscere:

  • il concetto e la definizione di derivata
  • l’equazione della circonferenza
  • come ricavare le formule inverse

3. Soluzione

Primo step

Consideriamo l’equazione generica di una circonferenza di centro C(0,0) e raggio r : 

\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)

Secondo step

Ricaviamo la y in modo da poter esplicitare le coordinate di un punto sulla circonferenza: 

\( y=± \sqrt{r^2 − x^2 } \) 

Si ricordi che la circonferenza non è una funzione e, per tale motivo, nelle procedure di calcolo a seguire è stata scelta, per comodità, la semicirconferenza superiore.

Terzo step

Consideriamo un punto generico P sulla circonferenza, questo avrà coordinate: 

\( P(x_P, \sqrt{r^2 − x_P^2 }) \)

Figura 1. Rappresentazione sul piano cartesiano del problema proposto. Si ricordi che la circonferenza non è una funzione e, per tale motivo, nelle procedure di calcolo è stata scelta la semicirconferenza superiore.
Quarto step

Calcoliamo ora il coefficiente angolare del raggio della circonferenza congiungente il centro O con il punto P: 

\( m_{OP} =\frac{\Delta {y}}{\Delta {x}} =\frac{{y_P}-y_O}{{x_P}-x_O}=\frac{\sqrt{r^2- x_P^2}}{x_P}\)

Quinto e ultimo step

Ricordiamo il significato di derivata di una funzione in un punto.

Il significato geometrico di derivata in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.  

Svolgiamo quindi la derivata della funzione rappresentante la circonferenza  e calcoliamola nel punto \( P(x_P, \sqrt{r^2 − x_P^2 }) \) per dimostrare che la retta tangente alla circonferenza in quel punto è perpendicolare al raggio.  

\(\frac{d f(x)}{dx}=\frac{d \left(\sqrt{r^{2}-x^{2}}\right)}{d x}=\frac{d\left(r^{2}-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{d x}= \)

\(\frac{1}{2}(-2 x)\left(r^{2}-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}=\frac{-x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\)

Calcoliamo ora la derivata nel punto di ascissa \( x = x_P\) 

\( m_{perp-OP} =\frac{d {f (x_{P})}}{d {x}}=\frac{- x_{P}^{2}}{\sqrt{r^{2}-x_{P}^{2}}}\ \)

Dal confronto tra  

\( m_{perp-OP}= – \frac{x_{OP}}{\sqrt{r^{2}-x_P^2}}\)

e  

\( m_{OP}= \frac{\sqrt{r^{2}-x_P^2}}{x_{OP}}\)

si evidenzia come un valore sia esattamente l’antireciproco dell’altro.  

Questo corrisponde con la definizione di coefficienti angolari appartenenti a rette parallele, come volevasi dimostrare.  

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Come risolvere l’esercizio n.28 pag. G55 Matematica multimediale.blu 1

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L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:

  • n.25 pag. G48 Matematica multimediale.verde 1
  • n.25 pag. G44 Matematica multimediale.bianco 1
  • n.28  pag.G49 Matematica multimediale.azzurro 1

1 Testo

Traccia due segmenti AB e CD che si intersecano nel punto M, che è il punto medio di entrambi. Dimostra che i triangoli AMC e BMD sono congruenti.

2 Prerequisiti

Per rispondere al quesito bisogna sapere:

  • il concetto di congruenza;
  • il primo criterio di congruenza;
  • il concetto di punto medio;
  • la distinzione tra ipotesi, dimostrazione e tesi.

3 Soluzione

3.1 Ipotesi e tesi

Ipotesi
\( AM\cong MB \)
\(CM\cong MD\)
Tesi
\(AMC\cong BMD \)

Di seguito viene mostrato graficamente il caso di cui è necessario fornire dimostrazione.

Figura 1. Illustrazione grafica del problema

3.2 Dimostrazione

Consideriamo i triangoli \(AMC\) e \(MBD\).

Essi hanno:

  • \(AM\cong MB\) per ipotesi
  • \(CM\cong MD\) per ipotesi
  • \(A\hat{M}C\cong B\hat{M}D\) perchè angoli opposti al vertice M

Dunque i due triangoli, avendo due lati e l’angolo tra essi compreso ordinatamente congruenti, sono congruenti, per il primo criterio di congruenza.

Quindi:

\(AMC\cong BMD \).

Come volevasi dimostrare.

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Come risolvere esercizio n. 34 pag.177 (Matematica.verde 3G)

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L’esercizio è presente anche nel seguente libro

  • esercizio n. 34 pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)

1 Testo

Determina per quale valore di k si ottiene una retta del fascio di equazione

\( kx+\left(1-2k\right)y+3+k=0\)

  1. passante per l’origine;
  2. parallela alla retta;
  3. perpendicolare alla retta

2 Prerequisiti

Per capire e risolvere l’esercizio è necessario conoscere:

  • l’equazione della retta (implicita ed esplicita)
  • come calcolare il coefficiente angolare della retta
  • come calcolare il valore di quota della retta
  • il concetto di fascio di rette proprio e improprio
  • come ricavare il coefficiente angolare di una retta parallela o perpendicolare a un’altra retta

3 Soluzione

3.1 Punto 1

Determiniamo l’equazione della retta del fascio passante per l’origine.

\( kx+\left(1-2k\right)y+3+k=0\)

Sostituiamo le coordinate dell’origine nell’equazione del fascio:

\( 0x +(1-2k)0+3+k=0 \)

\(0+0+3+k=0 \)

\(3+k=0 \)

\( k=-3 \)

Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio passante per l’origine è \( -3 \).

3.2 Punto 2

Determiniamo l’equazione della retta del fascio parallela alla retta \( r: x=5 \).

Il coefficiente angolare della retta di equazione \( x = 5 \) è \( \infty \) e rappresenta una retta verticale. In questo caso non possiamo porre il coefficiente angolare uguale a \( \infty \), ma doppiamo porre uguale a \( 0\) il coefficiente della y nel fascio:

\( 1-2k=0 \)

da cui

\( -2k=-1 \)

quindi

\( k=\frac{1}{2} \)

Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio parallela alla retta r è \( \frac{1}{2} \).

3.3 Punto 3

Determiniamo l’equazione della retta del fascio perpendicolare  alla retta \( s:x+y=5 \).

Iniziamo calcolando il coefficiente angolare della retta s:

\( m_s =-\frac{a}{b}=-3 \)

Calcoliamo il coefficiente angolare del fascio è:

\(m_f=-\frac{a}{b}=-\frac{k}{1-2k} \)

Dovendo determinare  una retta perpendicolare deve essere che:

\(m_f=-\frac{1}{m_s} =-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3} \)

cioè:

\(-\frac{k}{1-2k}=\frac{1}{3} \)

\(-3k=1-2k \)

\(-3k+2k=1 \)

\(-k=1\)

\(k=-1\)

Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio perpendicolare alla retta s è \( -1 \).

Figura 1. Rappresentazione delle rette del fascio , nelle condizioni indicate dall’esercizio.

Di cosa hai bisogno? Faccelo sapere, presto!

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Soluzione di esercizio per rintracciamento asintoti e ascisse in comune a due funzioni

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Testo

Date le funzioni  \( f(x)=\frac{x^{4}+2 x-1}{x^{2}+1} \) e \( g(x)=f(x)-x^{2} \) trova l’asintoto orizzontale della funzione \( g(x) \). Calcola poi un punto P sul grafico di f(x) e un punto Q sul grafico della parabola di equazione \( y = x^2 +1\) aventi la stessa ascissa \( x>0 \). Calcola \( \overline{PQ} \) .

Soluzione

La funzione \( g(x) \) è definita come:

\( g(x)=\frac{x^{4}+2 x-1}{x^{2}+1}-x^{2}= \)

\( \frac{x^{4}+2 x-1}{x^{2}+1}-\frac{x^{2}\left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1}= \)

\( \frac{x^{4}+2 x-1-x^{4}-x^{2}}{x^{2}+1}=\frac{-x^{2}+2 x-1}{x^{2}+1}\)

Per trovare l’asintoto orizzontale destro della funzione è necessario calcolare \( \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x) \). Procediamo:

\( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-x^{2}+2 x-1}{x^{2}+1}= \)

\( \frac{-(+\infty)^{2}+2(+\infty)-1}{(+\infty)^{2}+1}= \)

\( \frac{-\infty+\infty-1}{\infty+1}=\frac{\infty}{\infty}\)

Siamo di fronte a una forma indeterminata \( \frac{\infty}{\infty} \). Per risolvere la forma indeterminata è possibile procedere con due metodi. Il primo prevedere il raccogliere la x di grado massimo al numeratore e al denominatore per scrivere una forma equivalente della funzione, il secondo prevede l’applicazione del teorema del confronto degli infinitesimi. Vediamo ora l’applicazione del primo metodo.

\( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-x^{2}+2 x-1}{x^{2}+1}= \)

\( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}\left(-1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}= \)

\( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(-1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)}{\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}= \)

\( \frac{-1+\frac{2}{\infty} \frac{1}{\infty^{2}}}{1+\frac{1}{\infty^{2}}}=\frac{-1+0-0}{1+0}=\frac{-1}{1}=-1\)

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Come risolvere esercizio n.32 pag.177 (Matematica.verde 3G)

Reading Time: 2 minutes

L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:

  • esercizio 33 pag. 254 (Matematica.blu 2.0 volume 3 con tutor)
  • esercizio 32  pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)

In questo esempio di esercizio verrà mostrato come si trova il valore del parametro m della retta r_{AB} che passa per  due punti A e B , parallela ad un’altra retta r.

Inoltre si calcola il perimetro del triangolo formato dalla retta r_{AB} e un punto C sull’asse delle ascisse.

1         Testo

Determina per quale valore del parametro \( m \) la retta passante per i punti  \( A(m+1;2) \) e \( B(1;m) \) è parallela alla retta \( y=3x+1 \)Trova poi il perimetro del triangolo ABC con C punto di intersezione tra l’asse \( x \) e la retta \( y=x+1 \).

1          Soluzione

La retta passante per AB deve essere parallela alla retta  \( r: y=3x+1
\) con \( m_r=3\).

Per la condizione di parallelismo i coefficienti angolari delle due rette
devono essere uguali:

\(
m_{AB}=m_r \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1) \)

Determiniamo il coefficiente angolare tra i due punti:

\( m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{m-2}{1-m-1}=\frac{m-2}{-m}=-\frac{m-2}{m} \)

Per la (1), deve essere:

\( -\frac{m-2}{m}=3\)

da cui

\( -(m-2)=3m\)

\( -m+2-3m=0\)

\( -4m=-2\)

\( m=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

quindi

\( m= \frac{1}{2}\)

Determiniamo le coordinate dei punti A e B, sostituendo il valore di \(
m=\frac{1}{2} \):

\( (m+1;2)\rightarrow\left(\frac{1}{2}+1 ; 2\right)\rightarrow A\left(\frac{3}{2}
; 2\right)\)

e

\( B(1;m)\rightarrow B\left(1;\frac{1}{2}\right)\)

Determiniamo il punto di intersezione tra l’asse \( x \) e la retta data \(
y=x+1 \).

Risolvendo il seguente sistema:

\( \left \{ \begin{matrix} y=x+1 \\ y=0 \end{matrix} \right. \)

da cui:

\( x+1=0\rightarrow x=-1 \)

otteniamo le coordinate del punto \( C(-1,0)\).

Utilizzando la formula distanza
tra due punti:

\( d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}\)

calcoliamo i lati del triangolo:

\( AB=\sqrt{\left(1-\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}-2\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{10}\)

\( BC=\sqrt{\left(-1-1\right)^2+\left(0-\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{4+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{17}\)

\( AC=\sqrt{\left(1-\frac{3}{2}\right)^2+\left(0-2\right)^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+4}=\sqrt{\frac{41}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{41}\)

Ora possiamo calcolare il perimetro del triangolo:

\( P=AB+BC+AC=\frac{1}{2}\sqrt{10}+\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\sqrt{41}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{10}+\sqrt{17}+\sqrt{41}\right)\)

 

Figura 1. Rappresentazione completa della situazione proposta dal problema. Vengono rappresentate le tre rette discusse in questo esercizio e il triangolo identificato dai tre punti A, B e C.
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Come risolvere esercizio n. 27 pag. 177 (Matematica.verde 3G)

Reading Time: 3 minutes

Autore: Antonio Reno;

Revisore: Andrea Zedda

L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:

  • esercizio 28 pag. 254 (Matematica.blu 2.0 volume 3 con tutor)
  • esercizio 27 pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)

In questo esempio di esercizio verrà mostrato come si calcola l’equazione della retta passante per l’altezza di un triangolo nel piano cartesiano ma anche come si trova la retta passante per un vertice del triangolo e parallela a un lato del triangolo stesso.

1         Testo

Dato il triangolo di vertici A(-2,4), B(4,3) e C(2,-2), determinare:

  1. l’equazione della retta passante per l’altezza relativa al lato AC;
  2. l’equazione della retta passante per A e parallela al lato BC.
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