Esercizio di calcolo integrale non immediato

Testo

Si voglia svolgere il seguente integrale:

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\sqrt{1-x^{2}}$

Soluzione

Come primo passaggio si può riscrivere come segue:

$\arcsin x-\int \sqrt{1-x^{2}}$

Sfruttando l’integrazione per parti sul secondo addendo si ha:

$\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int-\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=$

$\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int \frac{-x^{2}+(1-1)}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=$

$\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int \frac{1-x^{2}-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=$

$\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\left(\int \frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\right]=$

$\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\left(\int \frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\right]=$

$\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int \sqrt{1-x^{2}}+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=$

Per la quantità tra parentesi quadre si nota che:

$\int \sqrt{1-x^{2}}=x \sqrt{1-x^{2}}-\int \sqrt{1-x^{2}}+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Quindi:

$2 \int \sqrt{1-x^{2}}=x \sqrt{1-x^{2}}+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Ovvero:

$\int \sqrt{1-x^{2}}=\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+\frac{\arcsin x}{2}$

Quindi tutta la quantità tra parentesi quadre può essere sostituita con quella appena calcolata:

$\arcsin x-\left[\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+\frac{\arcsin x}{2}\right]+c$

Il termine costante definisce le altre primitive.

Al finale, sommando, si ha che:

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\sqrt{1-x^{2}}=\frac{\arcsin x}{2}-\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+c$

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Ese N°132 pag 893 libro 4 Matematica.blu 2.0 con Tutor – Primo quesito

Testo

Dato il settore circolare AOB di ampiezza $\frac{\pi}{3}$ e raggio $\sqrt{3}$ , considera il punto P sull’arco AB e con esso costruisci il rettangolo inscritto DCPS tale che DC appartenga al raggio OA. Determina l’area del rettangolo DCPS in funzione dell’angolo $\widehat{AOP}=x$ .

Soluzione

Altri 2 problemi sui triangoli qualunque

1 Esercizio 1

1.1 Testo

Relativamente al triangolo in figura, determina i lati e gli angoli, conoscendo gli elementi indicati.

1.2 Soluzione

Per calcolare l’angolo $\gamma$ si procede come segue:

$\gamma=180^{\circ}-\alpha-\beta=77^{\circ}$

Ora vogliamo trovare $\overline{A C}$ e $\overline{A B}$ . Per poterlo fare si procede come segue.

Prima di tutto si considera che:

$\overline{AC} \cdot \cos (\gamma)+\overline{AB} \cdot \cos (\beta)= \overline{B C}$

Inoltre si può osservare che:

$\overline{AC} \cdot \sin(\gamma) = \overline{AB} \cdot \sin (\beta)$

Spiegato dalla figura seguente.

Figura 2 Osservazione sul calcolo del segmento

Perciò per trovare il valore di basta risolvere il seguente sistema:

$\left \{ \begin{matrix} \overline{AC} \cdot \cos (\gamma)+\overline{AB} \cdot \cos (\beta)= \overline{B C} \\ \overline{AC} \cdot \sin(\gamma) = \overline{AB} \cdot \sin (\beta) \end{matrix} \right.$

$\left \{ \begin{matrix} \overline{AC} \cdot \cos (77)+\overline{AB} \cdot \cos (70)= 20 \\ \overline{AC} \cdot \sin(77) = \overline{AB} \cdot \sin (70) \end{matrix} \right.$

$\left \{ \begin{matrix} \frac{\sin(70)}{\sin(77)} \cdot \overline{AB} \cdot \cos (77)+\overline{AB} \cdot \cos (70)= 20 \\ \overline{AC} = \frac{\sin(70)}{\sin(77)} \cdot \overline{AB} \end{matrix} \right.$

$\left \{ \begin{matrix} \overline{AB}= \frac{20}{\frac{\sin(70)}{\sin(77)} \cdot \cos (77) + \cos (70) } \\ \overline{AC} = \frac{\sin(70)}{\sin(77)} \cdot \overline{AB} \end{matrix} \right.$

$\left \{ \begin{matrix} \overline{AB} \approx 35.78 \\ \overline{AC} \approx 34.5 \end{matrix} \right.$

2 Esercizio 6

2.1 Testo

In un trapezio isoscele la base maggiore è lunga 40 cm e l’altezza è di 12 cm. Sapendo che gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 70°, calcola il perimetro e l’area del trapezio.

Figura 3 Immagine che rappresenta il trapezio del problema

2.2 Soluzione

Siccome il trapezio è isoscele si sa che $\overline {AD} = \overline {BC}$

Chiamiamo la proiezione di $C$ su $\overline {AB}$ come $C'$ , si sa che l’angolo $\widehat{C C^{\prime} B}=90^{\circ}$ , quindi il triangolo è rettangolo in $C'$ .

Per il triangolo $CC^{\prime} B$ vale che:

$\overline{C B} \cdot \sin 70^{\circ}=12 \rightarrow$

$\overline{C B}=\frac{12}{\sin 70^{\circ}} \approx 12.77$

Da cui si può ricavare che:

$\overline{C^{\prime} B}=\overline{C B} \cdot \cos 70^{\circ} \approx 4.1$

E quindi:

$\overline{A B}=\overline{A D^{\prime}}+\overline{D^{\prime} C^{\prime}}+\overline{C^{\prime} B}$

In cui $D^{\prime}$ è la proiezione di $D$ su $\overline{AB}$

Si può constatare che $\overline{A D^{\prime}}=\overline{C^{\prime} B}$ .

Siccome la lunghezza della base minore è pari a $\overline{ D^{\prime} C^{\prime}}$ si effettua la seguente operazione:

$\overline{D^{\prime} C^{\prime}}=\overline{A B}-2 \cdot \overline{C^{\prime} B}=40-2 \cdot 4.1=31.8$

Quindi il perimetro del trapezio è pari a:

$P_{t p z}=40+12.77+12.77+31.8 \approx 95.34$

E l’area del trapezio è pari a:

$A_{t p z}=\frac{(40+31.8) \cdot 12}{2} \approx 430.8$

Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo al post:

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Problemi sui triangoli qualunque

In fondo a questo post puoi scaricare il documento relativo agli esercizi svolti qui di seguito.

1 Esercizio 1

1.1 Testo

Determina l’elemento incognito nelle seguenti figure:

Continua a leggere

Come fare la somma di due numeri complessi

Un numero complesso è un elemento appartenente all’insieme dei numeri complessi $\mathbb{C}$ ed è esprimibile in questo modo:

$a+ib$

Dove:

$a$ è la parte reale del numero complesso;
$b$ è la parte immaginaria del numero complesso;
$i$ è quel numero immaginario per cui vale $i= \sqrt{-1}$ e $i^2 = -1$

I numeri complessi sono rappresentabili sul cosiddetto piano complesso, come dei semplici vettori, con la coda centrata nell’origine $O(0;0)$ . Sugli assi x e y sono invece rappresentate le componenti, le cui lunghezze sono rappresentative dei valori della parte reale e della parte immaginaria.

Figura 1 Rappresentazione di un numero complesso e delle sue componenti nel piano complesso

La somma

La somma di due numeri complessi avviene come per i vettori, sommando le rispettive componenti.

Dati due numeri complessi $a+ib$ e $c+id$ la loro somma è:

$(a+ib) + (c+id) = (a+c)+i(b+d)$

Quindi la somma di due numeri complessi si ottiene sommando tra loro le rispettive parti reali e immaginarie.

Un esempio

Testo

Si calcoli la somma dei numeri complessi $(2+i5)$ e $(-3+i)$

Soluzione

La somma è data da:

$(2+i 5)+(-3+i)=(2-3)+i(5+1)=-1+i 6$

Equazione della parabola dato il vertice e un punto

Testo

Scrivere l’equazione della parabola, con asse parallelo a quello delle ordinate, avente il vertice nel punto di coordinate $V(1 ; 0)$ e passante per il punto $P(2; 1)$ .

Soluzione

Per prima cosa si osserva che, dovendo essere la parabola ad asse parallelo a quello delle ordinate, la sua equazione deve essere nella forma:

$y=a x^{2}+b x+c$

Ora si osserva che le coordinate generali del vertice della parabola sono:

$V\left(-\frac{b}{2 a} ;-\frac{\Delta}{4 a}\right)$

Dai dati sappiamo che il vertice ha coordinate $V(1 ; 0)$ e dunque devono essere rispettate le seguenti condizioni:

$\left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2 a}\\ -\frac{\Delta}{4 a}\end{matrix}\right.$

Inoltre, essendo che la parabola passa per il punto $P(2; 1)$ l’equazione della parabola deve essere soddisfatta quando attribuiamo a x e a y i valori del punto $P$ . Quindi:

$1=a(2)^{2}+b(2)+c$

Che rappresenta la terza condizione del precedente sistema. Avendo 3 condizioni riusciamo a trovare i tre coefficienti.

Si deve dunque risolvere il seguente sistema per trovare i coefficienti della parabola:

$\left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2 a} = 1 \\ -\frac{\Delta}{4 a} = 0 \\ 1=a(2)^{2}+b(2)+c \end{matrix}\right. \rightarrow$

$\left\{\begin{matrix} b=-2a \\ \Delta = 0 \\ 4a+2b+c-1=0 \end{matrix}\right. \rightarrow$

$\left\{\begin{matrix} b=-2a \\ a(a-1) = 0 \\ c-1=0 \end{matrix}\right. \rightarrow$

$\left\{\begin{matrix} b=-2 \\ a = 1 \\ c=1 \end{matrix}\right.$

E l’equazione della parabola sarebbe:

$y=x^2-2x+1$

Rappresentata nella figura seguente:

Figura 1 Rappresentazione grafica della parabola $y=x^2-2x+1$

Qui di seguito puoi scaricare il documento relativo all’esercizio appena svolto:

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Calcolo della superficie totale di una piramide a base quadrata

Testo

Una piramide di base quadrata ha l’altezza lunga $15 \sqrt{3} cm$ , che forma un angolo di 30° con l’apotema di ogni singola faccia. Determina la superficie totale del solido.

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I punti Zeta e la probabilità di superare il limite

Testo

La percentuale di metanolo in lotti di prodotto ha un limite massimo di specifica dello 0,15%. I dati registrati suggeriscono che le osservazioni sul metanolo possono essere caratterizzate da una distribuzione normale con una media dello $\eta = 0.10 \%$ e una deviazione standard dello $\sigma = 0.02 \%$ . Qual è la probabilità di superare le specifiche?

Continua a leggere

Calcolo della media, della deviazione standard e dei residui

Testo

Calcola la media e la deviazione standard per i dati seguenti sullo spessore dello strato epitassiale in micrometri: 16.8, 13.3, 11.8, 15.0, 13.2. Conferma che la somma dei residui è zero. Illustra come useresti questo fatto per calcolare il quinto residuo conoscendo solo gli altri 4.

Continua a leggere

Come effettuare la rotazione della funzione seno (con codice Matlab)

Per ragionare più profondamente sul contenuto di cui sotto si faccia riferimento a quanto precedentemente discusso in “Sistema di riferimento ruotato”

Per ruotare la funzione seno si deve tenere in considerazione che essa deve mantenersi uguale a se stessa quando ruotata e quindi deve essere rigidamente ruotata. Continua a leggere “Come effettuare la rotazione della funzione seno (con codice Matlab)”

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