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Prima lezione sullo studio di funzione

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Questa è il video della prima lezione sullo studio di funzione proposta da Thinking Process del percorso “Maratona di lezioni sullo studio di funzione”.

Qui di seguito il manifesto dell’iniziativa e sotto il video della prima lezione.

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Come dimostrare, in 5 mosse, la perpendicolarità tra tangente e raggio.

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1. Testo

Dimostra, con l’utilizzo delle derivate, che la tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.  

2. Prerequisiti

Per poter affrontare al meglio questa tipologia di esercizio dovrai conoscere:

  • il concetto e la definizione di derivata
  • l’equazione della circonferenza
  • come ricavare le formule inverse

3. Soluzione

Primo step

Consideriamo l’equazione generica di una circonferenza di centro C(0,0) e raggio r : 

\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)

Secondo step

Ricaviamo la y in modo da poter esplicitare le coordinate di un punto sulla circonferenza: 

\( y=± \sqrt{r^2 − x^2 } \) 

Si ricordi che la circonferenza non è una funzione e, per tale motivo, nelle procedure di calcolo a seguire è stata scelta, per comodità, la semicirconferenza superiore.

Terzo step

Consideriamo un punto generico P sulla circonferenza, questo avrà coordinate: 

\( P(x_P, \sqrt{r^2 − x_P^2 }) \)

Figura 1. Rappresentazione sul piano cartesiano del problema proposto. Si ricordi che la circonferenza non è una funzione e, per tale motivo, nelle procedure di calcolo è stata scelta la semicirconferenza superiore.
Quarto step

Calcoliamo ora il coefficiente angolare del raggio della circonferenza congiungente il centro O con il punto P: 

\( m_{OP} =\frac{\Delta {y}}{\Delta {x}} =\frac{{y_P}-y_O}{{x_P}-x_O}=\frac{\sqrt{r^2- x_P^2}}{x_P}\)

Quinto e ultimo step

Ricordiamo il significato di derivata di una funzione in un punto.

Il significato geometrico di derivata in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.  

Svolgiamo quindi la derivata della funzione rappresentante la circonferenza  e calcoliamola nel punto \( P(x_P, \sqrt{r^2 − x_P^2 }) \) per dimostrare che la retta tangente alla circonferenza in quel punto è perpendicolare al raggio.  

\(\frac{d f(x)}{dx}=\frac{d \left(\sqrt{r^{2}-x^{2}}\right)}{d x}=\frac{d\left(r^{2}-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{d x}= \)

\(\frac{1}{2}(-2 x)\left(r^{2}-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}=\frac{-x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\)

Calcoliamo ora la derivata nel punto di ascissa \( x = x_P\) 

\( m_{perp-OP} =\frac{d {f (x_{P})}}{d {x}}=\frac{- x_{P}^{2}}{\sqrt{r^{2}-x_{P}^{2}}}\ \)

Dal confronto tra  

\( m_{perp-OP}= – \frac{x_{OP}}{\sqrt{r^{2}-x_P^2}}\)

e  

\( m_{OP}= \frac{\sqrt{r^{2}-x_P^2}}{x_{OP}}\)

si evidenzia come un valore sia esattamente l’antireciproco dell’altro.  

Questo corrisponde con la definizione di coefficienti angolari appartenenti a rette parallele, come volevasi dimostrare.  

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Soluzione di esercizio per rintracciamento asintoti e ascisse in comune a due funzioni

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Testo

Date le funzioni  \( f(x)=\frac{x^{4}+2 x-1}{x^{2}+1} \) e \( g(x)=f(x)-x^{2} \) trova l’asintoto orizzontale della funzione \( g(x) \). Calcola poi un punto P sul grafico di f(x) e un punto Q sul grafico della parabola di equazione \( y = x^2 +1\) aventi la stessa ascissa \( x>0 \). Calcola \( \overline{PQ} \) .

Soluzione

La funzione \( g(x) \) è definita come:

\( g(x)=\frac{x^{4}+2 x-1}{x^{2}+1}-x^{2}= \)

\( \frac{x^{4}+2 x-1}{x^{2}+1}-\frac{x^{2}\left(x^{2}+1\right)}{x^{2}+1}= \)

\( \frac{x^{4}+2 x-1-x^{4}-x^{2}}{x^{2}+1}=\frac{-x^{2}+2 x-1}{x^{2}+1}\)

Per trovare l’asintoto orizzontale destro della funzione è necessario calcolare \( \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x) \). Procediamo:

\( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-x^{2}+2 x-1}{x^{2}+1}= \)

\( \frac{-(+\infty)^{2}+2(+\infty)-1}{(+\infty)^{2}+1}= \)

\( \frac{-\infty+\infty-1}{\infty+1}=\frac{\infty}{\infty}\)

Siamo di fronte a una forma indeterminata \( \frac{\infty}{\infty} \). Per risolvere la forma indeterminata è possibile procedere con due metodi. Il primo prevedere il raccogliere la x di grado massimo al numeratore e al denominatore per scrivere una forma equivalente della funzione, il secondo prevede l’applicazione del teorema del confronto degli infinitesimi. Vediamo ora l’applicazione del primo metodo.

\( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-x^{2}+2 x-1}{x^{2}+1}= \)

\( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}\left(-1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}= \)

\( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(-1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)}{\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}= \)

\( \frac{-1+\frac{2}{\infty} \frac{1}{\infty^{2}}}{1+\frac{1}{\infty^{2}}}=\frac{-1+0-0}{1+0}=\frac{-1}{1}=-1\)

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Significato geometrico della derivata

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1. Richiami

Per poter capire il significato geometrico della derivata bisogna per prima cosa passare dal concetto di coefficiente angolare. Risulta veramente complicato capire il concetto di derivata senza avere ben chiaro cosa sia il coefficiente angolare di una retta.

Il coefficiente angolare di una retta nel piano Cartesiano è un valore che identifica la pendenza di una retta rispetto all’asse delle x (asse delle ascisse).

Il valore del coefficiente angolare è:

\( m=\frac{\Delta y}{\Delta x} \)

In cui:

  • m è il carattere che tipicamente viene usato per identificare il coefficiente angolare di una retta
  • la quantità \( \frac{\Delta y}{\Delta x}\), dati due punti \( P_1(x_1,y_1) \) e \( P_2(x_2,y_2) \) , è uguale a:

\( \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

In matematica si dice, non a caso, che il coefficiente angolare è un rapporto incrementale. Volendone capire meglio il significato si faccia riferimento alla figura seguente:

Pendenza retta (2).png
Figura 1. Rappresentazione di una retta e delle quantità \( x_2-x_1 \) e \( y_2-y_1 \)

Dalla Figura 1 si può capire come il coefficiente angolare è un rapporto tra lunghezze, le quali sono i cateti del triangolo rettangolo identificati da lunghezze di \( x_2-x_1\) e \( y_2-y_1 \). Il coefficiente angolare quindi non è un angolo ma solo un rapporto di lunghezze, anche se il coefficiente angolare è indicativo di quanto la retta è pendente rispetto all’asse delle ascisse.

2 Definizione di derivata

2.1 Argomentazione iniziale

Si dice che la derivata di una funzione \( f(x) \) calcolata in un generico punto \( x_0 \) è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione \( f(x) \) nel punto \( x_0 \).

La derivata è un limite e anche essa è definita, similmente al coefficiente angolare, come un rapporto incrementale; tuttiavia stavolta c’è la piccola richiesta che tale rapporto sia infinitesimo.

2.2 Definizione formale

Sia data una funzione \( f(x) \) definita in un intorno di \( x_0 \). Si dice che \( f(x) \) è derivabile nel punto \( x_0 \) se esiste ed è finito il limite:

\( {f}'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)

In cui \( h=x-x_0 \).

2.3 Discussione

Dire che il limite che definisce la derivata è finito ed esiste equivale, dal punto di vista geometrico, ad ammettere l’esistenza di una singola retta tangente alla funzione \( f(x) \) per un valore di \( x \) pari a \( x_0 \).

Quello che succede nel calcolare il limite che definisce la derivata può essere espresso bene graficamente come in Figura 2.

derivata.png
Figura 2. Rappresentazione grafica del limite associato alla deriavata. I punti rossi rapresentano l’avvicinamento al punto \( P_0(x_0, y_0) \) in cui si vuole calcolare la derivata

I punti rossi rappresentano il comportamento proprio del limite e cioè l’avvicinarsi al valore desiderato \( x_0 \), infatti per \( {h \to 0} \) si ha che la quantità \( x_0+h \) tende a \( x_0 \). Come si può notare più il punto rosso si avvicina al punto blu più la retta si avvicina ad essere la tangente. La retta diventa tangente al limite e cioè quando il punto rosso è infinitamente vicino al punto blu.

Se la funzione nel punto \( x_0 \) non esiste allora non può esistere nemmeno la retta tangente alla funzione in quel punto.

Se la funzione nel punto \( x_0 \) si presenta come una cuspide allora la funzione non è derivabile in quel punto (il limite della derivata da destra e da sinistra è diverso, Figura 3).

Cuspide.png
Figura 3. In \( x_0=0 \) la funzione si presenta come una cuspide, in quel punto la funzione non è derivabile

Si può dunque dire che:

  • Se una funzione è derivabile in un punto allora è continua
  • Se una funzione è continua in un punto non necessariamente è derivabile
  • Una funzione discontinua in un punto non è derivabile in quel punto
  • Se una funzione non è derivabile in un punto allora può essere:
    • discontinua in quel punto
    • continua ma a cuspide