Rita lavora come Ingegnere Biomedico all’Università di Genova, specializzata nella stessa Università in “Tecnologie per la Salute”, Dottoranda in Bioingegneria.
Dal 2014 si occupa di insegnamento, dapprima come tutor universitaria, successivamente in scuole private e scuole militari.
Nel biennio 2017-2018 è responsabile dell’Alternanza Scuola Lavoro nell’istituto in cui insegna.
Dal 2018 ad oggi è tutor didattica per i corsi di Matematica e SMID presso l’Università di Genova.
Consideriamo l’equazione generica di una circonferenza di centro C(0,0) e raggio r :
\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)
Secondo step
Ricaviamo la y in modo da poter esplicitare le coordinate di un punto sulla circonferenza:
\( y=± \sqrt{r^2 − x^2 } \)
Si ricordi che la circonferenza non è una funzione e, per tale motivo, nelle procedure di calcolo a seguire è stata scelta, per comodità, la semicirconferenza superiore.
Terzo step
Consideriamo un punto generico P sulla circonferenza, questo avrà coordinate:
\( P(x_P, \sqrt{r^2 − x_P^2 }) \)
Figura 1. Rappresentazione sul piano cartesiano del problema proposto. Si ricordi che la circonferenza non è una funzione e, per tale motivo, nelle procedure di calcolo è stata scelta la semicirconferenza superiore.
Quarto step
Calcoliamo ora il coefficiente angolare del raggio della circonferenza congiungente il centro O con il punto P:
Ricordiamo il significato di derivata di una funzione in un punto.
Il significato geometrico di derivata in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.
Svolgiamo quindi la derivata della funzione rappresentante la circonferenza e calcoliamola nel punto \( P(x_P, \sqrt{r^2 − x_P^2 }) \) per dimostrare che la retta tangente alla circonferenza in quel punto è perpendicolare al raggio.
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Rita lavora come Ingegnere Biomedico all’Università di Genova, specializzata nella stessa Università in “Tecnologie per la Salute”, Dottoranda in Bioingegneria.
Dal 2014 si occupa di insegnamento, dapprima come tutor universitaria, successivamente in scuole private e scuole militari.
Nel biennio 2017-2018 è responsabile dell’Alternanza Scuola Lavoro nell’istituto in cui insegna.
Dal 2018 ad oggi è tutor didattica per i corsi di Matematica e SMID presso l’Università di Genova.
esercizio n. 34 pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)
1 Testo
Determina per quale valore di k si ottiene una retta del fascio di equazione
\( kx+\left(1-2k\right)y+3+k=0\)
passante per l’origine;
parallela alla retta;
perpendicolare alla retta
2 Prerequisiti
Per capire e risolvere l’esercizio è necessario conoscere:
l’equazione della retta (implicita ed esplicita)
come calcolare il coefficiente angolare della retta
come calcolare il valore di quota della retta
il concetto di fascio di rette proprio e improprio
come ricavare il coefficiente angolare di una retta parallela o perpendicolare a un’altra retta
3 Soluzione
3.1 Punto 1
Determiniamo l’equazione della retta del fascio passante per l’origine.
\( kx+\left(1-2k\right)y+3+k=0\)
Sostituiamo le coordinate dell’origine nell’equazione del fascio:
\( 0x +(1-2k)0+3+k=0 \)
\(0+0+3+k=0 \)
\(3+k=0 \)
\( k=-3 \)
Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio passante per l’origine è \( -3 \).
3.2 Punto 2
Determiniamo l’equazione della retta del fascio parallela alla retta \( r: x=5 \).
Il coefficiente angolare della retta di equazione \( x = 5 \) è \( \infty \) e rappresenta una retta verticale. In questo caso non possiamo porre il coefficiente angolare uguale a \( \infty \), ma doppiamo porre uguale a \( 0\) il coefficiente della y nel fascio:
\( 1-2k=0 \)
da cui
\( -2k=-1 \)
quindi
\( k=\frac{1}{2} \)
Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio parallela alla retta r è \( \frac{1}{2} \).
3.3 Punto 3
Determiniamo l’equazione della retta del fascio perpendicolare alla retta \( s:x+y=5 \).
Iniziamo calcolando il coefficiente angolare della retta s:
\( m_s =-\frac{a}{b}=-3 \)
Calcoliamo il coefficiente angolare del fascio è:
\(m_f=-\frac{a}{b}=-\frac{k}{1-2k} \)
Dovendo determinare una retta perpendicolare deve essere che:
esercizio 33 pag. 254 (Matematica.blu 2.0 volume 3 con tutor)
esercizio 32 pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)
In questo esempio di esercizio verrà mostrato come si trova il valore del parametro m della retta che passa per due punti A e B , parallela ad un’altra retta r.
Inoltre si calcola il perimetro del triangolo formato dalla retta e un punto C sull’asse delle ascisse.
1 Testo
Determina per quale valore del parametro \( m \) la retta passante per i punti \( A(m+1;2) \) e \( B(1;m) \) è parallela alla retta \( y=3x+1 \)Trova poi il perimetro del triangolo ABC con C punto di intersezione tra l’asse \( x \) e la retta \( y=x+1 \).
1 Soluzione
La retta passante per AB deve essere parallela alla retta \( r: y=3x+1 \) con \( m_r=3\).
Per la condizione di parallelismo i coefficienti angolari delle due rette devono essere uguali:
Figura 1. Rappresentazione completa della situazione proposta dal problema. Vengono rappresentate le tre rette discusse in questo esercizio e il triangolo identificato dai tre punti A, B e C.
esercizio 28 pag. 254 (Matematica.blu 2.0 volume 3 con tutor)
esercizio 27 pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)
In questo esempio di esercizio verrà mostrato come si calcola l’equazione della retta passante per l’altezza di un triangolo nel piano cartesiano ma anche come si trova la retta passante per un vertice del triangolo e parallela a un lato del triangolo stesso.
1 Testo
Dato il triangolo di vertici A(-2,4), B(4,3) e C(2,-2), determinare:
l’equazione della retta passante per l’altezza relativa al lato AC;
l’equazione della retta passante per A e parallela al lato BC.
Andrea è un Ingegnere Biomedico, specialista nel settore della Teleriabilitazione e appassionato di tematiche economico-finanziarie. Investe regolarmente in Borsa da anni ed è ideatore e creatore di OJB.
Scrivere l’equazione della parabola, con asse parallelo a quello delle ordinate, avente il vertice nel punto di coordinate \( V(1 ; 0) \) e passante per il punto \( P(2; 1) \).
Soluzione
Per prima cosa si osserva che, dovendo essere la parabola ad asse parallelo a quello delle ordinate, la sua equazione deve essere nella forma:
\( y=a x^{2}+b x+c\)
Ora si osserva che le coordinate generali del vertice della parabola sono:
Inoltre, essendo che la parabola passa per il punto \( P(2; 1)\) l’equazione della parabola deve essere soddisfatta quando attribuiamo a x e a y i valori del punto \( P\). Quindi:
\( 1=a(2)^{2}+b(2)+c\)
Che rappresenta la terza condizione del precedente sistema. Avendo 3 condizioni riusciamo a trovare i tre coefficienti.
Si deve dunque risolvere il seguente sistema per trovare i coefficienti della parabola:
Andrea è un Ingegnere Biomedico, specialista nel settore della Teleriabilitazione e appassionato di tematiche economico-finanziarie. Investe regolarmente in Borsa da anni ed è ideatore e creatore di OJB.
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interseca l’asse nei punti e . Determina due punti e sulla parabola che formino con e un trapezio isoscele di base maggiore e area .
Soluzione
La parabola è convessa e interseca l’asse x per valori di ascisse ricavabili da questa formula:
Da cui:
e
Figura 1. Rappresentazione della parabola e dei punti A e B
La base maggiore misura quindi .
La formula dell’area di un trapezio isoscele è:
Di cui sono noti solo:
e
Per trovare una relazione che leghi e è necessario considerare il sistema:
Figura2. Rappresentazione geometrica del sistema precedente
E risolvere:
Quindi:
Da cui:
e
E allora sarà esprimibile come:
Volendo esplicitare :
Quindi:
E allora:
Da Ruffini:
Da cui:
E:
e
L’unica delle soluzioni ammissibili è 2 (non esistono lunghezze negative), ciò significa che la base minore è lunga 2.
Poiché:
allora:
Se ciò è vero significa che il sistema:
Deve essere riscritto come segue:
In quanto e il segmento base minore del trapezio giace sulla retta .
Volendo trovare quindi i punti e richiesti dal problema si deve risolvere la seguente:
E quindi:
Da cui, in definitiva:
Figura 3. Rappresentazione grafica della soluzione
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Andrea è un Ingegnere Biomedico, specialista nel settore della Teleriabilitazione e appassionato di tematiche economico-finanziarie. Investe regolarmente in Borsa da anni ed è ideatore e creatore di OJB.
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che passa per due punti A e B , parallela ad un’altra retta r.
sia tangente alla retta di equazione 
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nei punti 
e 
. Determina due punti 
e 
sulla parabola che formino con 
e area 
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è necessario considerare il sistema:
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