Integrale indefinito

In collaborazione con: Francesco Atzeni

Supponiamo di avere una funzione f(x) e di voler trovare quella funzione F(x) tale che la sua derivata sia uguale a f(x), allora si può concludere che:

F'(x) = f(x)

In matematica si dice che F(x) è la primitiva di f(x), ciò significa che derivando F(x) si ottiene f(x). Continua a leggere “Integrale indefinito”

Rettangolo inscritto in una circonferenza – pag 131 n 495 (La matematica a colori – Algebra 2)

Testo

Un rettangolo, inscritto in una circonferenza, ha perimetro uguale a 30k; inoltre si sa che la somma della metà della base del rettangolo con l’altezza è 10k. Determina il raggio della circonferenza. Continua a leggere “Rettangolo inscritto in una circonferenza – pag 131 n 495 (La matematica a colori – Algebra 2)”

Esercizio equazione goniometrica di secondo grado

Si voglia risolvere la seguente equazione:

2cos^2(x)-3cosx+1=2sin^2(x)

Soluzione

Siccome:

cos^2(x)+sin^2(x)=1

Si ha che:

sin^2(x)=1-cos^2(x)

E quindi la 2cos^2(x)-3cosx+1=2sin^2(x) diventa:

2cos^2(x)-3cosx+1=2[1-cos^2(x)]

E ancora:

2cos^2(x)-3cosx+1=2-2cos^2(x) \rightarrow

4cos^2(x)-3cosx-1=0 \rightarrow

Ponendo:

t=cosx

Si ha:

4t^2-3t-1=0

Da cui si può calcolare:

t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4(4)(-1)}}{2 \cdot 4} \rightarrow

t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8} \rightarrow

E quindi:

t_{1} = -\frac{1}{4} e t_{2} = 1

Siccome poi:

t=cosx

Si ha che:

x_{1} = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2k \pi \wedge x_{2} = 2k \pi con k \in \mathbb{Z}

Esercizio: disequazione di secondo grado logaritmica

Si vogliono trovare i valori di x che soddisfano la seguente disequazione:

[log_{2}(x+5)]^{2}-log_{2}(x+5)-6>0

Soluzione

Per risolvere la disequazione si pone:

t=log_{2}(x+5)

E così la disequazione di secondo grado diventa:

t^{2}-t-6>0

Di cui l’equazione di secondo grado associata ha soluzioni del tipo:

t_{1,2}= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-4(1)(-6)}}{2 \cdot (1)} \rightarrow

t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \rightarrow

t_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{2} \rightarrow

Da cui:

t_{1}=-2 e t_{2}=3

E quindi, essendo che t^{2}-t-6 ha il coefficiente a>0 (quindi è una parabola con concavità rivolta verso l’alto), si ha che è soddistatta per valori di t nei seguenti intervalli:

t<-2 \vee t>3

Ricordiamo ora che:

t=log_{2}(x+5)

Il logaritmo richiede che il proprio argomento sia maggiore di zero e cioè:

(x+5) > 0 \rightarrow

x>-5

Quindi si accettano soluzioni della [log_{2}(x+5)]^{2}-log_{2}(x+5)-6>0 solo se x>-5.

D’altra parte se è vero che t=log_{2}(x+5) deve anche essere che le soluzioni della disequazione di secondo grado logaritmica devono soddisfare:

log_{2}(x+5)<-2 \vee log_{2}(x+5)>3

Ovvero dovrebbe essere che:

(x+5)< \frac{1}{4} \vee (x+5)>8

E quindi:

x< - \frac{19}{4} \vee x>3

Ma siccome doveva essere che x>-5 le soluzioni sono:

-5<x< - \frac{19}{4} \vee x>3

Qui di seguito è rappresentata la funzione e le regioni in cui è maggiore di zero, che corrispondono alle soluzioni trovate.

logaritmo.png
Figura 1. in rosso la funzione y=[log(2,x+5)]^{2}-log(2,x+5)-6. In violetto le regioni in cui è positiva (maggiore di zero). La funzione risulta effettivamente essere positiva per -5<x< - \frac{19}{4} \vee x>3

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Esercizio n°217 pagina 198 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)

Testo

La parabola di equazione

y= -x^2 + 8x -7

interseca l’asse x nei punti A e B. Determina due punti C e D sulla parabola che formino con A e B un trapezio isoscele di base maggiore AB e area 32.

Soluzione

La parabola è convessa e interseca l’asse x per valori di ascisse ricavabili da questa formula:

x_{1,2} = \frac{-(8)\pm \sqrt{(8)^2-4(-1)(-7)}}{2\cdot(-1)}

Da cui:

x_{1} = 1 e x_{2} = 7

intersezione parabola
Figura 1. Rappresentazione della parabola e dei punti A e B

La base maggiore AB misura quindi 6.

La formula dell’area di un trapezio isoscele è:

A_{Trapezio} = \frac{(B+b)h}{2}

Di cui sono noti solo:

A_{Trapezio} = 32 e B = 6

Per trovare una relazione che leghi b e hè necessario considerare il sistema:

\left\{\begin{matrix}y= -x^2 + 8x -7\\ y=h\end{matrix}\right.

intersezione con h.png
Figura2. Rappresentazione geometrica del sistema precedente

E risolvere:

x^2 - 8x + (7+h) = 0

Quindi:

x_{1,2} = \frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4(1)(7+h)}}{2\cdot(1)}=

=\frac{8\pm \sqrt{36-4h}}{2}

Da cui:

x_{1} = 4-\sqrt{9-h} e x_{2} = 4+\sqrt{9-h}

E allora b sarà esprimibile come:

b=x_{2,b}-x_{1,b}= 2 \sqrt{9-h}

Volendo esplicitare h:

b^2 = 4(9-h) \rightarrow b^2 = 36-4h \rightarrow h= \frac{36-b^2}{4}

Quindi:

A_{Trapezio} = \frac{(B+b)}{2} \cdot \frac{36-b^2}{4}

E allora:

32 = \frac{(6+b)(36-b^2)}{8} \rightarrow

256 = (6+b)(36-b^2) \rightarrow

256 = 216-6b^2+36b-b^3 \rightarrow

b^3+6b^2-36b+40=0

Da Ruffini:

(b-2)(b^2+8b-20)=0

Da cui:

b_{1}=2

E:

b_{2,3}= \frac{-8 \pm \sqrt{64+80}}{2} \rightarrow

b_{2}=2 e b_{3}=-10

L’unica delle soluzioni ammissibili è 2 (non esistono lunghezze negative), ciò significa che la base minore è lunga 2.

Poiché:

h= \frac{36-b^2}{4}

allora:

h= 8

Se ciò è vero significa che il sistema:

\left\{\begin{matrix}y= -x^2 + 8x -7\\ y=h\end{matrix}\right.

Deve essere riscritto come segue:

\left\{\begin{matrix}y= -x^2 + 8x -7\\ y=8\end{matrix}\right.

In quanto h= 8 e il segmento base minore del trapezio giace sulla retta y= 8 .

Volendo trovare quindi i punti C e D richiesti dal problema si deve risolvere la seguente:

-x^2 + 8x -15=0

E quindi:

x_{C,D} = \frac{-(8)\pm \sqrt{(8)^2-4(-1)(-15)}}{2\cdot(-1)} \rightarrow

x_{C} = 3 ; x_{D} = 5

Da cui, in definitiva:

A(1;0),B(7;0),C(3;8),D(5;8)

area parbola
Figura 3. Rappresentazione grafica della soluzione

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Funzione seno

Una funzione è una relazione che associa a un elemento del dominio uno e uno solo elemento del codominio. Qualsiasi funzione, in analisi matematica, è un insieme di punti che rispetta la proprietà sentenziata nella frase precedente.

La funzione seno è una relazione che viene stabilità tra radianti e il valore di seno per quell’angolo. Cerchiamo di vedere meglio come è questa funzione.

Nella figura seguente viene rappresentata la funzione seno.

sinx.png
Figura 1. Rappresentazione della funzione seno

Come si può notare la funzione sen(x) è compresa tra -1 e 1. Quando si dice che una funzione è compresa tra -1 e 1 si intende che le ordinate di tutti i punti che costruiscono la funzione f(x)=sen(x) non assumono mai valori fuori dall’intervallo -1\leq f(x)\leq1.

La funzione f(x)=sen(x) ha un periodo di T=2\pi, dove con periodo si intende la più piccola porzione di curva che, traslata della propria estensione in x, si sovrappone perfettamente alla prossima porzione di curva. Nella figura seguente viene rappresentato sen(x) per 0\leq x\leq 2 \pi.

period sinx.png
Figura 2. In blu viene evidenziata la funzione seno nel periodo, in questo caso per 0\leq x\leq 2 \pi. Come si può notare la funzione seno è periodica, perchè la parte evidenziata si ripete ogni periodo.

Se volessimo amplificare la curva basterebbe premoltiplicare il seno per una costante, tipo:

A \cdot sin(x)

Si guardi infatti la differenza nella figura seguente tra:

f(x)=sen(x) e g(x)=2 \cdot sen(x)

2sinx.png
Figura 3. Rappresentazione in blu della funzione f(x)=sen(x) e in rosso della funzione g(x)=2 \cdot sen(x). Come si può notare -1\leq f(x)\leq1 mentre -2\leq g(x)\leq2

Per poter traslare la funzione seno verso l’alto basta porre:

sin(x) + B con B >0

Per poter traslare la funzione seno verso il basso basta porre:

sin(x) + B con B <0

Nella figura in basso viene mostrata la traslazione della funzione seno verso il basso per B =-4

sinx-4.png
Figura 4. Rappresentazione della funzione seno con traslazione verso il basso. L’azione di aggiungere una quantità B negativa alla funzione seno è quello di spostare tutti i punti del modulo di B verso il basso. La funzione è ora compresa tra -3 e -5

Supponiamo ora di voler aumentare la frequenza di sin(x), allora basta porre:

sin(\omega x)

Nella figura in basso viene mostrato il cambiamento della frequenza della funzione seno per \omega = 2, come si può notare la frequenza della curva aumenta.

frequenzadoppia.png
Figura 5. In rosso la funzione sin(x), in verde la funzione sin(2 \cdot x). Come si può notare un periodo della rossa corrisponde a due periodi della verde. La curva rossa ha una frequenza più bassa della verde perchè, scelto un intervallo x opportuno, la verde presenta sempre più periodi della rossa.

In ultimo per poter traslare la funzione seno verso sinistra basta porre:

sin(x + \phi) con \phi >0

Invece per poter traslare la curva verso destra basta porre:

sin(x + \phi) con \phi <0

Nella figura in basso viene mostrata la traslazione della funzione seno verso destra per x=- \frac{\pi}{4}

traslazione.png
Figura 6. La funzione verde è la funzione seno traslata verso destra e ha formula sin(x - \frac{\pi}{4}). Come si può notare scegliere un \phi <0 porta la curva a traslare verso destra.

In conclusione la formula generale del seno risulta essere:

A \cdot sin( \omega x + \phi ) + B

in cui:

  • A amplifica la funzione sin(x)
  • B trasla verso l’alto o verso il basso la funzione sin(x)
  • \omega abbassa o aumenta la frequenza della funzione sin(x)
  • \phi trasla verso destra o verso sinistra la funzione sin(x)

Rapporto parabola seno negativo

Esercizio

Si vogliano trovare i valori di x che soddisfano la seguente disequazione:

\frac{x^2 -1}{sin(x)}\leq0

con

x \in [0;2\pi]

Soluzione

Si sa che un rapporto è negativo se il numeratore N(x) e il denominatore D(x) hanno segno discorde.

Studiamo ora dove numeratore e denominatore sono positivi.

Poichè N(x)=x^2 -1 si ha che  N(x) \geq 0 quando x^2 -1 \geq 0.

Inoltre poichè D(x) = sin(x), per il quale deve essere che D(x) \neq 0, si ha che  D(x) > 0 quando sin(x) > 0.

Si può facilmente verificare che N(x) \geq 0 quando x \leq -1 \vee x \geq1 poichè y=x^2 -1 è una parabola con concavità verso l’alto che interseca l’asse delle ascisse in -1 e 1 . Poichè però il problema richiede che x \in [0;2\pi] si accettano soluzioni di positività per il numeratore solo del tipo x \geq 1 , in quanto le altre soluzioni di positività per il numeratore non cadono nell’intervallo richiesto.

Inoltre si può facilmente verificare che D(x) > 0 per 0<x<\pi, in quanto il seno è positivo in quell’intervallo per x \in [0;2\pi].

Nell’immagine seguente viene mostrato l’intervallo delle soluzioni ammesse e le regioni in cui N(x) e D(x) sono positivi o negativi. Le regioni positive di N(x) e D(x) sono tracciate con la linea continua, mentre quelle negative con la linea tratteggiata.

Intervalli disequazioni (1)
Regioni di positività e negatività del numeratore e del denominatore

Siccome affinchè il rapporto sia negativo N(x) e D(x) devono essere di segno discorde si può evincere come la soluzione al problema sia:

0 < x \leq 1 \vee \pi<x < 2\pi