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Funzione seno

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Una funzione è una relazione che associa a un elemento del dominio uno e uno solo elemento del codominio. Qualsiasi funzione, in analisi matematica, è un insieme di punti che rispetta la proprietà sentenziata nella frase precedente.

La funzione seno è una relazione che viene stabilità tra radianti e il valore di seno per quell’angolo. Cerchiamo di vedere meglio come è questa funzione.

Nella figura seguente viene rappresentata la funzione seno.

sinx.png
Figura 1. Rappresentazione della funzione seno

Come si può notare la funzione sen(x) è compresa tra -1 e 1. Quando si dice che una funzione è compresa tra -1 e 1 si intende che le ordinate di tutti i punti che costruiscono la funzione f(x)=sen(x) non assumono mai valori fuori dall’intervallo -1\leq f(x)\leq1.

La funzione f(x)=sen(x) ha un periodo di T=2\pi, dove con periodo si intende la più piccola porzione di curva che, traslata della propria estensione in x, si sovrappone perfettamente alla prossima porzione di curva. Nella figura seguente viene rappresentato sen(x) per 0\leq x\leq 2 \pi.

period sinx.png
Figura 2. In blu viene evidenziata la funzione seno nel periodo, in questo caso per 0\leq x\leq 2 \pi. Come si può notare la funzione seno è periodica, perchè la parte evidenziata si ripete ogni periodo.

Se volessimo amplificare la curva basterebbe premoltiplicare il seno per una costante, tipo:

A \cdot sin(x)

Si guardi infatti la differenza nella figura seguente tra:

f(x)=sen(x) e g(x)=2 \cdot sen(x)

2sinx.png
Figura 3. Rappresentazione in blu della funzione f(x)=sen(x) e in rosso della funzione g(x)=2 \cdot sen(x). Come si può notare -1\leq f(x)\leq1 mentre -2\leq g(x)\leq2

Per poter traslare la funzione seno verso l’alto basta porre:

sin(x) + B con B >0

Per poter traslare la funzione seno verso il basso basta porre:

sin(x) + B con B <0

Nella figura in basso viene mostrata la traslazione della funzione seno verso il basso per B =-4

sinx-4.png
Figura 4. Rappresentazione della funzione seno con traslazione verso il basso. L’azione di aggiungere una quantità B negativa alla funzione seno è quello di spostare tutti i punti del modulo di B verso il basso. La funzione è ora compresa tra -3 e -5

Supponiamo ora di voler aumentare la frequenza di sin(x), allora basta porre:

sin(\omega x)

Nella figura in basso viene mostrato il cambiamento della frequenza della funzione seno per \omega = 2, come si può notare la frequenza della curva aumenta.

frequenzadoppia.png
Figura 5. In rosso la funzione sin(x), in verde la funzione sin(2 \cdot x). Come si può notare un periodo della rossa corrisponde a due periodi della verde. La curva rossa ha una frequenza più bassa della verde perchè, scelto un intervallo x opportuno, la verde presenta sempre più periodi della rossa.

In ultimo per poter traslare la funzione seno verso sinistra basta porre:

sin(x + \phi) con \phi >0

Invece per poter traslare la curva verso destra basta porre:

sin(x + \phi) con \phi <0

Nella figura in basso viene mostrata la traslazione della funzione seno verso destra per x=- \frac{\pi}{4}

traslazione.png
Figura 6. La funzione verde è la funzione seno traslata verso destra e ha formula sin(x - \frac{\pi}{4}). Come si può notare scegliere un \phi <0 porta la curva a traslare verso destra.

In conclusione la formula generale del seno risulta essere:

A \cdot sin( \omega x + \phi ) + B

in cui:

  • A amplifica la funzione sin(x)
  • B trasla verso l’alto o verso il basso la funzione sin(x)
  • \omega abbassa o aumenta la frequenza della funzione sin(x)
  • \phi trasla verso destra o verso sinistra la funzione sin(x)
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Rapporto parabola seno negativo

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Esercizio

Si vogliano trovare i valori di x che soddisfano la seguente disequazione:

\frac{x^2 -1}{sin(x)}\leq0

con

x \in [0;2\pi]

Soluzione

Si sa che un rapporto è negativo se il numeratore N(x) e il denominatore D(x) hanno segno discorde.

Studiamo ora dove numeratore e denominatore sono positivi.

Poichè N(x)=x^2 -1 si ha che  N(x) \geq 0 quando x^2 -1 \geq 0.

Inoltre poichè D(x) = sin(x), per il quale deve essere che D(x) \neq 0, si ha che  D(x) > 0 quando sin(x) > 0.

Si può facilmente verificare che N(x) \geq 0 quando x \leq -1 \vee x \geq1 poichè y=x^2 -1 è una parabola con concavità verso l’alto che interseca l’asse delle ascisse in -1 e 1 . Poichè però il problema richiede che x \in [0;2\pi] si accettano soluzioni di positività per il numeratore solo del tipo x \geq 1 , in quanto le altre soluzioni di positività per il numeratore non cadono nell’intervallo richiesto.

Inoltre si può facilmente verificare che D(x) > 0 per 0<x<\pi, in quanto il seno è positivo in quell’intervallo per x \in [0;2\pi].

Nell’immagine seguente viene mostrato l’intervallo delle soluzioni ammesse e le regioni in cui N(x) e D(x) sono positivi o negativi. Le regioni positive di N(x) e D(x) sono tracciate con la linea continua, mentre quelle negative con la linea tratteggiata.

Intervalli disequazioni (1)
Regioni di positività e negatività del numeratore e del denominatore

Siccome affinchè il rapporto sia negativo N(x) e D(x) devono essere di segno discorde si può evincere come la soluzione al problema sia:

0 < x \leq 1 \vee \pi<x < 2\pi

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Significato geometrico della derivata

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1. Richiami

Per poter capire il significato geometrico della derivata bisogna per prima cosa passare dal concetto di coefficiente angolare. Risulta veramente complicato capire il concetto di derivata senza avere ben chiaro cosa sia il coefficiente angolare di una retta.

Il coefficiente angolare di una retta nel piano Cartesiano è un valore che identifica la pendenza di una retta rispetto all’asse delle x (asse delle ascisse).

Il valore del coefficiente angolare è:

\( m=\frac{\Delta y}{\Delta x} \)

In cui:

  • m è il carattere che tipicamente viene usato per identificare il coefficiente angolare di una retta
  • la quantità \( \frac{\Delta y}{\Delta x}\), dati due punti \( P_1(x_1,y_1) \) e \( P_2(x_2,y_2) \) , è uguale a:

\( \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

In matematica si dice, non a caso, che il coefficiente angolare è un rapporto incrementale. Volendone capire meglio il significato si faccia riferimento alla figura seguente:

Pendenza retta (2).png
Figura 1. Rappresentazione di una retta e delle quantità \( x_2-x_1 \) e \( y_2-y_1 \)

Dalla Figura 1 si può capire come il coefficiente angolare è un rapporto tra lunghezze, le quali sono i cateti del triangolo rettangolo identificati da lunghezze di \( x_2-x_1\) e \( y_2-y_1 \). Il coefficiente angolare quindi non è un angolo ma solo un rapporto di lunghezze, anche se il coefficiente angolare è indicativo di quanto la retta è pendente rispetto all’asse delle ascisse.

2 Definizione di derivata

2.1 Argomentazione iniziale

Si dice che la derivata di una funzione \( f(x) \) calcolata in un generico punto \( x_0 \) è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione \( f(x) \) nel punto \( x_0 \).

La derivata è un limite e anche essa è definita, similmente al coefficiente angolare, come un rapporto incrementale; tuttiavia stavolta c’è la piccola richiesta che tale rapporto sia infinitesimo.

2.2 Definizione formale

Sia data una funzione \( f(x) \) definita in un intorno di \( x_0 \). Si dice che \( f(x) \) è derivabile nel punto \( x_0 \) se esiste ed è finito il limite:

\( {f}'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)

In cui \( h=x-x_0 \).

2.3 Discussione

Dire che il limite che definisce la derivata è finito ed esiste equivale, dal punto di vista geometrico, ad ammettere l’esistenza di una singola retta tangente alla funzione \( f(x) \) per un valore di \( x \) pari a \( x_0 \).

Quello che succede nel calcolare il limite che definisce la derivata può essere espresso bene graficamente come in Figura 2.

derivata.png
Figura 2. Rappresentazione grafica del limite associato alla deriavata. I punti rossi rapresentano l’avvicinamento al punto \( P_0(x_0, y_0) \) in cui si vuole calcolare la derivata

I punti rossi rappresentano il comportamento proprio del limite e cioè l’avvicinarsi al valore desiderato \( x_0 \), infatti per \( {h \to 0} \) si ha che la quantità \( x_0+h \) tende a \( x_0 \). Come si può notare più il punto rosso si avvicina al punto blu più la retta si avvicina ad essere la tangente. La retta diventa tangente al limite e cioè quando il punto rosso è infinitamente vicino al punto blu.

Se la funzione nel punto \( x_0 \) non esiste allora non può esistere nemmeno la retta tangente alla funzione in quel punto.

Se la funzione nel punto \( x_0 \) si presenta come una cuspide allora la funzione non è derivabile in quel punto (il limite della derivata da destra e da sinistra è diverso, Figura 3).

Cuspide.png
Figura 3. In \( x_0=0 \) la funzione si presenta come una cuspide, in quel punto la funzione non è derivabile

Si può dunque dire che:

  • Se una funzione è derivabile in un punto allora è continua
  • Se una funzione è continua in un punto non necessariamente è derivabile
  • Una funzione discontinua in un punto non è derivabile in quel punto
  • Se una funzione non è derivabile in un punto allora può essere:
    • discontinua in quel punto
    • continua ma a cuspide