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La matematica finanziaria è quella parte della matematica che si occupa di problemi collegati alla finanza.

In particolare modo l’oggetto principalmente studiato sono le operazioni finanziarie, tipicamente investimenti e finanziamenti.

RELAZIONI CON MOLTE MATERIE ECONOMICHE

La matematica finanziaria ha relazioni con diverse materie che si studiano in ambito economico.

In particolare mi riferisco a:

• Finanza
• Mercato mobiliare
• Economia monetaria
• Ragioneria
• Economia politica

La relazione forse più forte è quella che la collega alla finanza aziendale.

La finanza aziendale è infatti quella branchia dell’economia che studia le decisioni di investimento e di finanziamento delle imprese.

Le relazioni tra la matematica finanziaria e la finanza aziendale sono dunque molteplici.

Quando dobbiamo stabilire infatti la fattibilità o meno di un progetto di investimento, il principale strumento che abbiamo a disposizione deriva principalmente dalla matematica finanziaria.

In particolare ci riferiamo al metodo del Valore Attuale Netto (VAN) di un investimento che consiste nell’attualizzazione i flussi di cassa futuri generati dall’investimento stesso.

Anche quando dobbiamo calcolare il prezzo delle azioni e delle obbligazioni ci servono tali procedimenti di attualizzazione.

Così infine questi stessi procedimenti si spingono sino a calcolare il valore della società.

Anche la relazione della matematica finanziaria con mercato mobiliare è abbastanza forte.

Il mercato mobiliare è quella branchia dell’economia che ha come oggetto principale lo scambio dei titoli finanziari e le loro caratteristiche in termini di rischio e di rendimento.

Tali titoli sono principalmente azioni e obbligazioni, ma vi sono anche titoli chiamati derivati (proprio perché derivano dai primi due) come ad esempio opzioni, future, e swap.

Per conoscere il valore di mercato di questi titoli la conoscenza della matematica finanziaria è fondamentale.

Ancora un’altra materia in cui vi sono importanti relazioni con la matematica finanziaria è il mercato monetario.

Possiamo definire il mercato monetario come un mercato di capitali in cui vengono scambiati titoli e prestiti con durata generalmente inferiore ai 18 mesi.

Anche qui la matematica finanziaria entra in gioco per stabilire il valore di tali titoli finanziari o per determinare l’ammontare degli scambi monetari generati ad esempi tra le banche e le imprese in materia di finanziamenti.

Un po’ meno strette sono le relazioni tra la matematica finanziaria ed altre due materie: ragioneria ed economia politica.

In ragioneria forse una delle poche connessioni consiste nei calcoli relativi alla partita doppia quando ci troviamo di fronte ai piani di ammortamento relativamente al calcolo degli interessi passivi, o per il calcolo del valore della cambiali.

Anche nell’economia politica troviamo qualche piccolo 

Nella micro economia si trova qualche piccolo cenno nella teoria del vincolo inter-temporale, grazie al quale è possibile comprendere le decisioni di scelta tra il reddito presente e quello futuro di un individuo.

Mentre in macroeconomia troviamo un po’ di matematica finanziaria quando si introduce il concetto di interesse, fondamentale poi per comprendere il meccanismo del modello IS-LM

STRUTTURA PIRAMIDALE DELLA MATEMATICA FINANZIARIA

Prima di affrontare la matematica finanziaria è bene sapere che la possiamo rappresentare come una piramide.

Alla base di questa piramide troviamo gli elementi fondamentali, poi troviamo un livello intermedio ed infine quelle più avanzato.

Ess in qualche modo può essere vista anche come una scatola cinese in cui la base è la scatola più piccola, il livello intermedio è la scatola intermedia, mentre quello avanzato è la scatola grande

Entriamo più nello specifico definendo meglio le componenti dei vari livelli.

LIVELLO BASE

Nel livello base della matematica finanziaria troviamo tutti quei concetti base che definiscono meglio la materia.

Mi riferisco in particolare a:

• Processi di capitalizzatone e attualizzazione
• Capitale, montante e valore attuale
• Interesse, tasso di interesse e intensità di interesse
• Sconto tasso di sconto e intensità di sconto
• Fattore di montante e di attualizzazione
• Scindibilità e traslabilità

Questa parte della materia è a mio avviso la più incomprensibile dal punto di vista pratico, poiché si aggancia ai concetti e alle definizioni puramente matematiche.

Definiti questi concetti se vogliamo di re così un po’ astratti comincia il vero viaggio nello studio della materia, che riprende dai regimi finanziari.

I regimi finanziari sono quella parte della materia che formalizza le regole di calcolo che verranno utilizzate quando si avrà a che fare con le operazioni finanziarie, ovvero investimenti e finanziamenti.

Distinguiamo i regimi finanziari in tre principali categorie:

• Semplice
• Composto 
• Anticipato.

Questi tre regimi finanziari vengono analizzati sia in fase di capitalizzazione che in fase di attualizzazione.

È di fondamentale importanza in questo approccio un utilizzo appropriato delle formule inverse e la conoscenza di alcune proprietà matematiche come le derivate.

Un terzo blocco che contribuisce a definire meglio il livello base della matematica finanziaria è quello dei tassi di interesse.

Un aspetto chiave dei tassi di interesse che vengono utilizzati nei regimi finanziari è che esiste una relazione biunivoca tra l’unità temporale che si sta utilizzando e il tasso di interesse stesso. 

Per unità temporale intendiamo ad esempio, il mese, il quadrimestre, l’anno e così via.

A questi dovranno corrispondere il tasso mensile, il tasso quadrimestrale, il tasso annuo e via discorrendo.

LIVELLO INTERMEDIO 

Una volta che abbiamo affrontato il cammino salendo i gradini del livello base eccoci arrivati al livello intermedio.

Questo è il livello a mio avviso più affascinante della materia.

Arrivati a questo punto dovremmo essere in grado di utilizzare tutti gli strumenti acquisititi nella prima parte del percorso per creare nuovi e più e elaborati concetti.

Questi sono le operazioni finanziarie e le rendite.

OPERAZIONI FINANZIARIE

Le operazioni finanziarie possono essere definiti come una serie di importi in tempi differenti.

Esse possono essere descritte sia attraverso l’utilizzo dei vettori che rappresentati graficamente  su una linea del tempo.

Immaginiamo che un individuo si privi oggi di una certa somma di denaro, ad esempio 1.000 euro con la finalità di ricevere 300 euro tra un anno, 600 euro ra due anni e 400 euro tra tre anni.

Potremo descrivere questa operazione finanziaria attraverso l’utilizzo di due vettori, che possiamo chiamo X e T.

Dove per X intendiamo il vettore le cui componenti rappresentano i flussi di cassa prodotti da questo investimento, mentre il vettore T rappresenta i tempi corrispondenti di tali flusso di cassa.

Se volessimo rappresentare invece tale situazione su una linea del tempo avremo:

Sopra linea del tempo ho rappresentato i tempi, ovvero le componenti del vettore T, mentre sotto la linea, in corrispondenza di ogni tempo gli importi monetari, ovvero le componenti di X.

Quando si studiano tali operazioni finanziarie ritengo che sia di fondamentale importanza una corretta, seppur non precisa, rappresentazione grafica.

Le operazioni finanziarie si distinguono in operazioni di investimento e di finanziamento.

INVESTIMENTI E FINANZIAMENTI

Un’operazione finanziaria di investimento, come quella rappresentata in precedenza indica una rinuncia iniziale di risorse per ottenere dei valori positivi nei tempi seguenti.

Un esempio pratico di operazione di investimento in termini reali potrebbe essere rappresentato da un’azienda che acquista un macchinario o un impianto.

Tale acquisto permetterà all’azienda di produrre dei beni e servizi che una volta venduti al consumatore genereranno dei flussi finanziari positivi.

Un esempio di investimento di natura finanziaria potrebbe essere l’acquisto da parte di un investitore di un titolo obbligazionario.

In cambio dell’acquisto di tale titolo l’investitore avrà il diritto ad esempio a riscuotere periodicamente delle cedole, che rappresentano gli interessi dell’investimento e il suo capitale a scadenza.

Dall’altro lato troviamo le operazioni finanziarie di finanziamento.

Nei finanziamenti abbiamo in una fase iniziale un flusso finanziario con segno positivo, seguito in una o più fasi successive a flussi di cassa negativi.

Tali flussi di cassa vengono definite rate, che incorporano, oltre che il pagamento del capitale preso a prestito anche le rispettive quote interesse.

Questa parte verrà meglio descritta all’interno del livello avanzato dedicato ai piani di ammortamento.

VALORE AL TEMPO T DI UNA OPERAZIONE FINANIZARIA

Quando si affrontano le operazioni finanziarie all’interno della matematica finanziaria è bene sapere che importi monetari di valore complessivamente uguale all’interno di uno stesso arco temporale non hanno lo stesso valore.

Se ad esempio consideriamo le due seguenti operazioni di investimento A e B:

Con importi calcolati alle stesse epoche espresse dal vettore T

Entrambi gli investimenti durano tre anni e richiedono un esborso negativo iniziale pari a 1.000 euro.

Sempre in entrambi gli investimento il valore complessivo dei flussi di cassa è complessivamente pari a 1.300 euro.

Dunque ci verrebbe da pensare che queste due operazioni finanziarie siano equivalenti, ma non è così.

Grazie agli strumenti della matematica finanziaria (capitalizzazione e attualizzazione) e grazie ai regimi finanziari, saremo in grado di stabilire il valore di ognuna di queste due operazioni finanziarie a un particolare tempo.

Questo implicherà naturalmente la capitalizzazione degli importi precedenti e l’attualizzazione degli importi successivi.

Per darvi un’idea grafico di quello che si fa in questa sezione centrale della matematica finanziaria osservate come esempio la figura sottostante.

Come potete osservare in questo piano di investimento abbiamo calcolato il valore dell’operazione finanziaria al tempo 3.

Le frecce “trasportano nel tempo” i flussi monetari sino all’epoca in cui si intende calcolare il valore dell’operazione finanziaria.

EQUITA’ DELLE OPERAZIONI FINANZIARIE

Un concetto molto importante associato alle operazioni finanziarie è l’equità.

Un’operazione finanziaria si definisce equa in un determinato tempo se il suo valore calcolato in quel tempo è pari a zero.

Simbolicamente potremo anche usare questa formula:

 che può essere tradotto in questo modo:

” il valore V calcolato all’epoca t* degli importi descritti dal vettore X che si verificano ai tempi descritti dal vettore T deve risultare pari a zero”

Il concetto di equità nelle operazioni finanziarie è un concetto di cruciale importanza.

Infatti, date certe condizioni presenti nel mercato (solitamente incorporate dal tasso di interesse), è bene sapere se una data operazione finanziaria può essere considerata equa.

Cioè detto in altre parole, quando stiamo facendo un investimento o ricevendo un investimento vorremmo sapere se questa cosa risulta per noi vantaggiosa, svantaggiosa oppure equivalente rispetto alle alternative più frequentate.

Tra i tre regimi finanziari che si studiano il regime composto è quello che garantisce che se l’operazione finanziaria è equa in un determinato tempo allora lo sarà in tutte le epoche.

RENDITE

Per rendite possiamo intendere delle operazioni finanziarie caratterizzate da importi dello stesso segno chiamate rate.

In realtà questa definizione non è propriamente corretta poiché se gli importi hanno tutti lo stesso segno tale operazione non sarebbe definibile ne come un investimento e neppure come un finanziamento.

Comunque poco ci importa se non che sia una definizione funzionale a concepire questo nuovo concetto.

Se volessimo trovare una definizione un po’ più lineare potremmo usare la seguente.

Possiamo definire una rendita come un insieme di importi  chiamati rate, esigibili o pagabili in tempi predefiniti.

Un esempio di rendita potrebbe essere il seguente:

Questa rendita presenta due rate di importo 1.000 pagabili tra 1 e 2 anni, e 2 rate di importo 2.000 pagabili tra 5 e 7 anni.

CLASSIFICAZIONE DELLE RENDITE

Il punto di partenza quando si affrontano le rendite è la classificazione.

Le rendite possono essere classificate sulla base di diversi fattori che riguardano le rate che la compongono, come ad esempio:

• Importo delle rate
• Periodicità delle rate
• Durata della rendita
• Decorrenza 
• Scadenza della rata

L’importo delle rate può essere costante oppure non costante.

Lo definiremo ad esempio costante quando l’importo delle rate è il medesimo, ad esempio sempre 1.000 euro.

Per periodicità si intende il tempo che trascorre da una rata all’altra.

Una rendita si definisce periodica se il pagamento delle rate avviene ad intervalli regolari di tempo, ad esempio ogni mese, ogni anno, ogni semestre, ecc.

Per quanto riguarda la durata la rendita può essere temporanea oppure perpetua.

La rendita si dice temporanea quando ha un inizio e una fine; tale rendita avrà perciò un numero limitato di rate.

Una rendita perpetua ha un inizio ma non ha una fine: perciò diciamo che ha un numero di rate illimitato.

Per riuscire a capire meglio questo concetto pensate all’affitto che può essere generato da un terreno.

Siccome il terreno è considerato un oggetto eterno, allora lo sarà anche la rendita che è in grado di generare.

Quando parliamo della decorrenza distinguiamo i casi della rendita immediata da quella differita.

Una rendita è  immediata se parte oggi, mentre è differita se partirà in un tempo futuro.

Per quanto riguarda invece la scadenza della rata essa può essere anticipata oppure posticipata.

Una rendita è anticipata quando la rata viene pagata o riscossa in anticipo, ovvero all’inizio del periodo di riferimento.

Un esempio di tale tipologia può essere ad esempio il pagamento di una polizza assicurativa o di un affitto anticipato, ad esempio pagato all’inizio di ogni mese.

Una rendita si dice posticipata quando invece il pagamento delle rate avviene alla fine dei relativi periodi, come ad esempio l’affitto a fine mese.

VALORE ATTUALE E MONTANTE DELLE RENDITE

Quando affrontiamo le rendite all’interno della matematica finanziaria siamo interessati a conoscere il valore attuale (oggi) della rendita oppure il suo valore alla scadenza (montante).

Ancora una volta ritornano prepotenti i concetti di attualizzazione e capitalizzazione.

Quando vogliamo calcolare il valore oggi della rendita dovremo attualizzare ad oggi le rate future.

Quando invece vogliamo calcolare il montante della rendita allora dobbiamo capitalizzare le rate sino all’epoca della scadenza della rendita

RENDITE MOLTO PARTICOLARI

Quando siamo nel vasto mondo delle rendite vi è una tipologia di rendita che ha in qualche modo attratto l’attenzione della maggior parte degli studiosi.

Prima di dirvi le caratteristiche di tale tipo di rendita partirò con un esempio che meglio vi può far capire.

Supponete di chiedere ad un amico che ha appena stipulato un mutuo per l’acquisto della sua abitazione quanto paga di rata al mese.

Il vostro amico vi presenta l’estratto conto degli ultimi 28 mesi e gli importi che leggete sono:

398,50;   405,72;    415,87;    ….,    400,05, 401,15;   399,59.

Ora non sarebbe più comodo che il vostro amico vi abbia detto: “circa 400 euro al mese per una durata di 15 anni”.

In questo modo il concetto sarebbe immediatamente comprensibile.

Il tipo di rendita maggiormente studiata proprio per la sua semplice struttura presenta le seguenti caratteristiche:

Rendita a rata costante, periodica, temporanea di n rate, immediata e posticipata.

Se rappresentiamo questo tipo di rendita potremo vederla in questo modo:

Quando operiamo nel regime composto esistono delle formule molto particolari per calcolarne il valore attuale e il montante.

Per calcolare il valore attuale utilizziamo questa formula:

Dove quel simbolo dopo il primo uguale si legge a figurato n al tasso i, dove n indica il numero di rate e i il tasso di interesse.

La seguente figura mostra cosa avviene a livello grafico.

Per calcolare il montante della rendita ci avvaliamo invece della seguente formula:

Dove il simbolo con la s, si legge “esse figurato n al tasso i”

Anche se questa tipologia di rendita è un caso molto particolare la sua comprensione rende agevolmente possibile la comprensione di tutto il resto della teoria e della pratica sulla rendite.

Una volta compresi i fondamenti di questi due calcoli è possibile guardare in senso più ampio a tutti gli altri tipi di rendite particolari che possono essere schematizzati tramite il seguente schema ad albero.

In questa sezione meritano una particolare attenzione le rendite perpetue.

Tale attenzione è dovuta al fatto che per poter calcolare il valore attuale di tali rendite il procedimento è molto semplice.

LIVELLO AVANZATO

Quando abbiamo superato gli step intermedi delle operazioni finanziarie e delle rendite siamo finalmente in grado di affrontare i livello avanzati della matematica finanziaria.

In essi facciamo rientrare i seguenti 4 argomenti:

• Piani di ammortamento
• Criteri di scelta tra operazioni finanziarie
• Titoli obbligazionari e struttura dei tassi di interesse
• Matematica attuariale

Se volessimo essere più precisi i piani di ammortamento e i criteri di scelta sarebbero un “avanzato 1”, mentre gli ultimi due argomenti un “avanzato 2”.

PIANI DI AMMORTAMENTO 

I piani di ammortamento sono i piani di restituzione di un prestito attraverso delle rate.

Ogni rata comprende in se due componenti.

La prima è la quota capitale, ovvero quella parte di rata che è destinata alla restituzione del capitale preso a prestito.

La seconda è la quota interesse, ovvero quella parte di rata che serve a remunerare il capitale preso a prestito.

Il pagamento di ogni rata diminuisce il debito residuo, inizialmente pari al capitale preso a prestito, della relativa quota capitale.

Il debito estinto aumenta della successiva quota capitale.

I piani di ammortamento vengono rappresentati come nella seguente figura:

K indica il numero della rata

tk l’epoca relativa ad ogni rata

Rk è l’importo della k-esima rata

Ck è l’importo della k-esima quota capitale

Ik è l’importo della k-esima quota interesse

Dk è il k-esimo debito residuo

Ek è il k-esimo debito estinto.

CONDIZIONI DI CHIUSURA

Affinché sia valido un piano di ammortamento devono valore due condizioni di chiusura: elementare e finanziaria.

La condizione di chiusura elementare implica che la somma algebrica delle quote capitale deve essere pari al capitale preso a prestito.

Indicato con S il capitale preso a prestito, possiamo scrivere questa relazione nel seguente modo:

La condizione di chiusura finanziaria afferma invece che la somma delle rate attualizzate deve coincidere con il capitale S preso a prestito.

Scritta con formule matematico, quando si opera nel regime a capitalizzazione composta, diventa:

Formula che può essere sintetizzata nel seguente modo:

TIPOLOGIA DI PIANI DI AMMORTAMENTO

Oltre ai generici piani di ammortamento dove non esistono particolari regole di stesura, possiamo riconoscere alcune tipologie “standard” di piani di ammortamento.

Le principali tipologie di ammortamento sono:

• Restituzione in un’unica rata finale
• Pagamento periodico delle quote interesse e capitale a scadenza
• Italiano
• Francese 
• Americano

AMMORTAMENTO CON RESTITUZIONE TRAMITE UN’UNICA RATA FINALE

Questo è il piano di ammortamento più semplice in quanto prevede la restituzione di una sola rata alla scadenza.

Supponendo che tale rata venga pagata dopo n periodi il suo calcolo sarà il montante del capitale S preso a prestito.

L’unica quota capitale contenuta nella rata sarà ovviamente pari a S, mentre la quota interesse potremo calcolarla in questo modo:

AMMORTAMENTO CON QUOTE CAPITALI COSTANTI E RIBORSO DEL PRESTITO A SCADENZA

Anche questo piano di ammortamento è particolarmente semplice.

Ad intervalli di tempo regolari vengono pagate quote di interessi costanti pari a:

Mentre nell’ultimo periodo viene pagata anche la quota capitale pari all’importo del capitale S

AMMORTAMENTO ITALIANO

Il piano di ammortamento italiano è definito anche piano di ammortamento a quota capitale costante.

Dalla condizione di chiusura elementare si evince subito che la quota capitale è pari al rapporto tra il capitale preso a prestito e il numero di rate:

Il debito residuo (Dk) e il debito estinto (Ek) seguono una progressione aritmetica in ragione della quota capitale.

Il debito residuo ovviamente decresce della quota capitale e quindi la sua ragione (negativa) è pari a -S/n.

Mentre il debito estinto ha ragione positiva pari a pari a +S/n.

Per poter calcolare il debito estinto (Ek) e il debito residuo (Dk) in una generica epoca k, ricorriamo alle seguenti formule:

Per calcolare invece la quota interesse usiamo la seguente formula:

AMMORTAMENTO FRANCESE

Il piano di ammortamento francese è definito anche piano di ammortamento con rata costante.

Dalla condizione di chiusura finanziaria, da cui possiamo applicare le regole sulle rendite risulta immediatamente chiaro che:

Da questa relazione risulta immediato il calcolo della rata dell’ammortamento:

Ad esempio se volessimo calcolare la rata annuale di un piano di ammortamento francese della durata di 30 anni quando abbiamo un capitale prestito di 100.000 al tasso del 5% annuo, avremo che:

Questo piano di ammortamento è anche definito progressivo, nel senso che le sue quote capitali seguono una progressione geometrica la cui ragione è pari a (1+i).

Così se vogliamo calcolare le quote capitali avremo che:

Più in generale potremo anche scrivere che:

Una relazione interessante che collega il pagamento della rata R alla quota capitale del k-esimo periodo Ck è la seguente

Ad esempio tornando all’esempio numerico precedente se volessimo calcolare la settima quota capitale (C7), lo faremmo in questo modo:

Siccome possiamo ottenere una qualsiasi quota interesse sottraendo dalla rata (costante) la relativa quota capitale avremo che:

Raccogliendo a fattor comune la rata avremo che:

Così sempre tornando all’esempio precedente se volessimo calcolare la dodicesima quota interesse, faremo in questo modo:

Anche per calcolare il debito estinto abbiamo a disposizione un’interessante formula:

Tale formula deriva dal fatto che il debito ad una determinata epoca k può essere calcolato attualizzando le future (n-k) rate.

Sempre tornando all’esempio di prima se volessimo calcolare il debito residuo all’epoca 15, faremo il seguente calcolo:

AMMORTAMENTO AMERICANO

Di tutti i piani di ammortamento quello americano è sicuramente il più singolare.

Questo piano di ammortamento è definito anche piano di ammortamento a due tassi di interesse.

Il piano di ammortamento americano prevede da un lato che si versino alla banca delle quote di interesse costanti.

Mentre dall’altro che venga costituito su un fondo separato il capitale S preso a prestito mediante il pagamento di quote di fondo  costanti.

Chiameremo i il tasso di interesse adottato dalla banca per il calcolo degli interessi, mentre j il tasso di maturazione del fondo.

Le quote interessi vengono calcolate esattamente nello stesso modo del piano di ammortamento con rimborso periodico degli interessi, attraverso la formula:

Le quote costanti del fondo, calcolate con il secondo tasso j, hanno come obiettivo finale la costituzione del capitale preso a prestito S.

La relazione che esiste tra la quota di fondo Q e del capitale preso a prestito S è stabilita ancora una volta dalla formula riguardante il calcolo del montante di una rendita periodica, temporanea e posticipata.

In particolare la formula che esprime tale relazione è la seguente:

Applicando la formula inversa è possibile calcolare agevolmente la quota di fondo:

Il debito residuo resta pari sempre ad S fino alla rata pagata in (n-1), essendo che la quota capitale in tali epoche risulta sempre nulla.