Il gioco delle tessere

Testo

La piccola Aurelia sta giocando con 985 tessere di legno colorato, tutte a forma di triangolo equilatero e aventi le stesse dimensioni. Ha costruito con esse, affiancandole, il triangolo equilatero più grande possibile; quante tessere sono avanzate ad Aurelia?

Soluzione

Partendo con la prima tessera si può considerare questo come la prima riga di tessere, ovvero il vertice del triangolo equilatero grande.

Volendo sviluppare la seconda riga ci vogliono altri tre triangoli e continuando verso la terza riga ci vogliono 5 triangoli, come mostrato in figura.

Figura 1. Illustrazione del posizionamento successivo delle tessere per righe.

Come si può notare la sequenza è quella dei numeri dispati, infatti:

  • prima riga 1 tessera
  • seconda riga 3 tessere
  • terza riga 5 tessere
  • quarta riga 7 tessere
  • etc.

La sequenza continua fino a quando le tessere non finiscono.

A questo punto non resta che sommare tutti i numeri dispari fino ad arrivare a 61 tessere. La somma non è difficile, non richiede l’utilizzo di tecniche più sofisticate, specialmente se si considerano i numeri dispari a gruppi di 5. Per esempio i primi 5 numeri dispari sommati fanno 25, i secondi 75, i terzi 125, sempre un’aggiunta di 50 ogni gruppo di 5…

Facendo la somma di tutti i numeri dispari fino a 61 si ottiene esattamente 961. Perciò le tessere che avanzano sono 24.

Analisi dei costi e del rischio per un acquisto di opzioni call Apple

Immaginiamo di voler valutare le opzioni call Apple con prezzo e cambio valuta euro-dollaro a sabato 21 marzo 2020, e quindi a mercato chiuso. Supponiamo lo scenario nel quale si voglia acquistare le opzioni di tale società utilizzando la piattaforma PLUS 500. Continua a leggere “Analisi dei costi e del rischio per un acquisto di opzioni call Apple”

Investire o non investire?

Recentemente mi sono chiesto quanto veramente ha senso investire sul lungo termine, perchè non sono mai stato molto convinto che i potenziali profitti avrebbero potuto cambiare significativamente il mio capitale finale.

Continua a leggere “Investire o non investire?”

Il diodo zener ideale

Il diodo zener ideale è un elemento circuitale non lineare, perchè non ha una dipendenza lineare rispetto alla tensione erogata dal generatore. Un tipo di elemento circuitale lineare è per esempio la resistenza, poiché la sua dipendenza dalla tensione è stabilita dalla legge di Ohm:

V=Ri

Questa è una relazione di tipo lineare. Supponiamo di avere un circuito che ha un generatore di tensione e una resistenza, allora su quest’ultima cade tutta la tensione erogata dal generatore. Continua a leggere “Il diodo zener ideale”

Esercizio equazione goniometrica di secondo grado

Si voglia risolvere la seguente equazione:

2cos^2(x)-3cosx+1=2sin^2(x)

Soluzione

Siccome:

cos^2(x)+sin^2(x)=1

Si ha che:

sin^2(x)=1-cos^2(x)

E quindi la 2cos^2(x)-3cosx+1=2sin^2(x) diventa:

2cos^2(x)-3cosx+1=2[1-cos^2(x)]

E ancora:

2cos^2(x)-3cosx+1=2-2cos^2(x) \rightarrow

4cos^2(x)-3cosx-1=0 \rightarrow

Ponendo:

t=cosx

Si ha:

4t^2-3t-1=0

Da cui si può calcolare:

t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4(4)(-1)}}{2 \cdot 4} \rightarrow

t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8} \rightarrow

E quindi:

t_{1} = -\frac{1}{4} e t_{2} = 1

Siccome poi:

t=cosx

Si ha che:

x_{1} = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2k \pi \wedge x_{2} = 2k \pi con k \in \mathbb{Z}

Ragionamenti finanziari: giorno terzo

Dall’ultimo post abbiamo appreso che la Cina potrebbe scegliere di tenere il dollaro e la domanda che ci siamo posti era: potrebbe avere degli effetti positivi questo? Potrebbe risultare strategico?

Supponiamo dunque che la Cina tenga il dollaro e sul tavolo si generi altra attività.

Dopo che l’America ha dato il dollaro alla Cina (in cambio di un prodotto cinese) può aspettarsi da un momento all’altro che le venga chiesta la corrispondenza. Infatti quel dollaro che la Cina ancora detiene è una garanzia sull’oncia corrispondente e la Cina potrebbe volerla da un momento all’altro, quindi l’America deve muoversi.

Se l’America volesse fregare la Cina gli basterebbe stampare denaro. Abbiamo infatti appreso che stampare denaro non varierebbe la ricchezza dell’America ma, in questo caso, potrebbe far risparmiare once nel caso in cui la Cina richiedesse l’oncia al posto del dollaro che detiene. Cerchiamo di capire meglio questo punto…

Nel nostro caso avevamo detto che la Cina detiene il dollaro a garanzia di una delle 100 once che ha ancora l’America. Supponiamo che l’America stampi dollari e cambi la corrispondenza, la Cina potrebbe giustamente lamentarsi del comportamento sleale dell’America.

printing dollars
Figura 1. L’America stampa dollari ma il suo numero di once è lo stesso. L’America non ha aumentato la propria ricchezza e il dollaro perde forza perchè ci sono più dollari e stesso oro.

A seguito della stampa americana la Cina sembrerebbe abbia svenduto il proprio prodotto, in quanto lo aveva venduto per un dollaro, quando il dollaro aveva un’oncia a corrisponderlo. Ora il dollaro non ha più un’oncia a corrispondenza ma ne ha di meno e quindi la Cina si è impoverita.

chinaamerica.png
Figura 2. La Cina deteneva il dollaro a garanzia dell’oncia corrispondente americana ma l’America, approfittando dell’occasione, ha stampato dollari. Ora la Cina ha un dollaro che vale meno di un’oncia e si è quindi impoverita.

A questo punto la Cina è arrabbiata e può scegliere se chiedere la frazione di oncia che le spetta oppure aspettare e fidarsi dell’America, la quale magari ha una strategia. Abbiamo comunque scoperto che stampare denaro, sebbene non abbia effetti per il paese che stampa, può avere effetti sui paesi esteri e di conseguenza anche di reputazione per il paese che stampa.

Infatti un’America che stampa per dare una pugnalata alla Cina non è ben vista al tavolo e rischia, se non rimedia, di giocarsi la propria credibilità. L’America si sente ora in dovere di recuperare.

Per recuperare l’America ha imparato che deve cercare di aumentare l’export, ovvero deve cercare di vendere prodotti ai presenti al tavolo. L’America vende due prodotti uno all’Europa e uno alla Gran Bretagna e da questi chiede rispettivamente un euro e una sterlina. Avevamo appreso che sia Europa che Gran Bretagna avevano deciso una corrispondenza denaro:oro  di 1:1. Questo significa che l’America, ricevendo un euro e una sterlina, può chiedere la loro corrispondenza, cioè due once, di cui una europea e una inglese.

Supponiamo che l’America aveva stampato dollari fino ad arrivare a un rapporto denaro:oro  di 2:1. Questo significa che la situazione, prima della vendita dei prodotti americani a Europa e Gran Bretagna, è:

  • un dollaro lo ha la Cina
  • 199 dollari sono in America
  • 100 once sono in America
  • la Cina può chiedere indietro non più un’oncia ma sono mezza oncia

Siccome l’America ha venduto i suoi prodotti ora può richiedere le once corrispondenti e così la nuova situazione è la seguente:

  • un dollaro lo ha la Cina
  • 199 dollari sono in America
  • 102 once sono in America (le due in più sono una europea e una inglese)
  • L’europa ha 100 euro ma 99 once
  • La Gran Bretagna ha 100 sterline ma 99 once
  • il dollaro che ha la Cina ora vale 0.51 once

Picture1.png
Figura 3. L’America vende due suoi prodotti, uno alla Gran Bretagna e l’altro all’Europa. L’America chiede la propria corrispondenza e tara nuovamente il rapporto denaro:oro, recuperando parzialmente l’offesa inflitta alla Cina. La Cina, dall’attività Americana, ha recuperato parte della ricchezza che le spettava.

La Cina può scegliere se aspettare ancora o chiedere all’America poco più di metà oncia in cambio del dollaro che detiene. Se l’America continuasse la propria attività potrebbe, alla fine, non solo recuperare il rapporto dollaro:oro e riportarlo 1:1 ma potrebbe, a furia di rafforzare il dollaro, far arricchire la Cina.

Se l’attività dell’America fosse vorace e aggressiva potrebbe destare l’interesse delle persone presenti al tavolo e queste potrebbero decidere, vedendo che la Cina si arricchisce, di scambiare parte del loro denaro per il dollaro.

Supponiamo per esempio che il Giappone decida di comprare due dollari in cambio del controvalore in yen, cosa succederebbe in questo caso?

Questo e altri ragionamenti seguiranno nei giorni successivi. Ricordo ancora una volta che questi ragionamenti si basano su supposizioni che piano piano abbandoneremo, per avvicinarci alla situazione contemporanea. Logicamente, trattare così sintenticamente una cosa molto più complessa, induce a delle storpiature ma rende più tangibile la complessità dei flussi finanziari. Ritengo comunque costruttivo ragionare dal basso per poi abituarsi al complesso.

Nel prossimo post faremo finta che il Giappone compri dollari con il proprio denaro, che succederà?

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Esercizio: disequazione di secondo grado logaritmica

Si vogliono trovare i valori di x che soddisfano la seguente disequazione:

[log_{2}(x+5)]^{2}-log_{2}(x+5)-6>0

Soluzione

Per risolvere la disequazione si pone:

t=log_{2}(x+5)

E così la disequazione di secondo grado diventa:

t^{2}-t-6>0

Di cui l’equazione di secondo grado associata ha soluzioni del tipo:

t_{1,2}= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-4(1)(-6)}}{2 \cdot (1)} \rightarrow

t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \rightarrow

t_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{2} \rightarrow

Da cui:

t_{1}=-2 e t_{2}=3

E quindi, essendo che t^{2}-t-6 ha il coefficiente a>0 (quindi è una parabola con concavità rivolta verso l’alto), si ha che è soddistatta per valori di t nei seguenti intervalli:

t<-2 \vee t>3

Ricordiamo ora che:

t=log_{2}(x+5)

Il logaritmo richiede che il proprio argomento sia maggiore di zero e cioè:

(x+5) > 0 \rightarrow

x>-5

Quindi si accettano soluzioni della [log_{2}(x+5)]^{2}-log_{2}(x+5)-6>0 solo se x>-5.

D’altra parte se è vero che t=log_{2}(x+5) deve anche essere che le soluzioni della disequazione di secondo grado logaritmica devono soddisfare:

log_{2}(x+5)<-2 \vee log_{2}(x+5)>3

Ovvero dovrebbe essere che:

(x+5)< \frac{1}{4} \vee (x+5)>8

E quindi:

x< - \frac{19}{4} \vee x>3

Ma siccome doveva essere che x>-5 le soluzioni sono:

-5<x< - \frac{19}{4} \vee x>3

Qui di seguito è rappresentata la funzione e le regioni in cui è maggiore di zero, che corrispondono alle soluzioni trovate.

logaritmo.png
Figura 1. in rosso la funzione y=[log(2,x+5)]^{2}-log(2,x+5)-6. In violetto le regioni in cui è positiva (maggiore di zero). La funzione risulta effettivamente essere positiva per -5<x< - \frac{19}{4} \vee x>3

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Argomentazioni sull’esame clinico Doppler

In un normale esame clinico ecografico viene usata una sonda che funziona sia da trasmettitore che da ricevitore di onde sonore. Quando effettuiamo un’ecografia che colora i pixel di un monitor sfruttando il principio Doppler allora stiamo effettuando un’ “ecografia Doppler”.

La parola ecografia è giustamente composta di “eco” (riflessione del suono) e “grafia” (resa grafica del fenomeno eco), poichè tratta la riproduzione grafica del fenomeno della riflessione del suono. Ciò che viene fatto è quello di rendere apprezzabile alla vista ciò che con le nostre orecchie non saremmo mai in grado di carpire.

Il suono è fondamentalmente una perturbazione dello stato di quiete delle particelle del mezzo nel quale il suono viene trasmesso. Questo tipo di perturbazione è un po’ particolare, poichè avviene in modo oscillatorio, sia nel tempo che nello spazio. Quando il suono attraversa il mezzo in cui si propaga provoca un moto delle particelle simile a quello di una fisarmonica. Le particelle vanno avanti e indietro e, piano piano, rallentano, fino ad arrestarsi.

Nella nostra esperienza comune il mezzo attraverso il quale il suono si propaga è l’aria ma sappiamo bene che esso può propagarsi anche attraverso un mezzo diverso, come  per esempio l’acqua di mare. Diverse specie animali acquatiche giovano della propagazione del suono attraverso l’acqua di mare.

D’altra parte è noto il cosiddetto “effetto eco”, che di tanto in tanto si verifica, dando l’idea che il suono in qualche modo rimbalzi sugli oggetti. Durante un esame clinico Doppler viene sfruttato proprio questo effetto: quello del mandare un suono e ascoltare il suono di ritorno. Cosa significa ascoltare? Nel nostro caso significa riconoscere la frequenza di ritorno.

Ogni suono ha associata una frequenza, che nella pratica di tutti i giorni, associamo a un suono acuto (frequenza alta) oppure grave (frequenza bassa). Proprio come per le frequenza delle onde elettromagnetiche, esiste un intervallo di frequenze specifico che possiamo sentire. Altri intervalli di frequenze, per esempio i cosiddetti ultrasuoni (che ricorda molto la dicitura ultravioletto per le onde elettromagnetiche), sono udibili solo da alcuni animali.

Dire che un suono è acuto (alta frequenza) è come dire che esso provoca un’oscillazione rapida delle molecole dell’aria mentre dire che un suono è grave (bassa frequenza) è un po’ come dire che esso provoca un’oscillazione lenta delle molecole dell’aria. In un normale esame Doppler non siamo in grado di sentire il suono delle onde sonore che vengono mandate attraverso il nostro corpo, perchè queste non sono nell’intervallo delle frequenze udibili.

Quando, in un esame ecografico doppler, la sonda manda il suono si aspetta un eco di ritorno con una frequenza mutata rispetto alla frequenza sonora dell’onda trasmessa. La relazione che lega la frequenza trasmessa e la frequenza ricevuta dipende dalla velocità che il corpo riflettore del suono possedeva. Tipicamente infatti il Doppler è molto conosciuto con la dicitura di “Ecocolor Doppler”, che è un tipo di esame clinico tramite il quale il medico è in grado di valutare le direzioni e le velocità dei moti del sangue nei vasi sanguigni. Per fare ciò viene sfruttata una scala in falso colore (dal blu al rosso) e l’aspetto è tipo quello rappresentato nella figura seguente.

Doppler_ultrasound_of_systolic_velocity_(Vs),_diastolic_velocity_(Vd),_acceleration_time_(AoAT),_systolic_acceleration_(Ao_Accel)_and_resistive_in.jpg
Figura 1. Esempio di frame di un video di un normale esame di Ecocolor Doppler

L’esame Doppler è in grado quindi di riconoscere, tramite la relazione che lega la frequenza trasmessa e la frequenza ricevuta, la velocità che possiede il sangueLa direzione verso la quale il sangue dovrebbe andare è esperienza del medico ed infatti è anche per questo motivo che l’esame Ecocolor Doppler è fortemente dipendente dalle valutazioni dello specialista.

La relazione che lega la frequenza trasmessa e la frequenza ricevuta è la seguente:

\Delta f = \frac{2fVcos\Theta}{c}

In cui:

  • \Delta f è il cosiddetto “Doppler shift”
  • V è la velocità del corpo rilevato (nell’esempio il sangue)
  • cos\Theta la direzione lungo la quale il corpo si muove
  • c la velocità del suono nel mezzo

Da questa relazione si può intuire che se la direzione del moto del corpo (rispetto alla sonda) non ha nè un comportamento avvicinante nè allontanante la sonda non rileva nulla (in verità non rileva mai nulla ma rischia di rilevare quasi nulla).

Altre discussioni su questo tema seguiranno nei prossimi post dedicati al Doppler. Se ti è piaciuto questo post segui le argomentazioni della sezione bioingegneria, qui su Thinking Process. Se pensi che ci siano delle correzioni da effettuare contattami direttamente oppure commenta qui sotto.

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Creazione di un dataset da registrazione Doppler con Matlab

In questo post faccio vedere come creare un dataset in matlab in modo automatizzato, avendo a disposizione delle annotazioni in estensione “.mat”.

Nel mio caso sono un insieme di registrazioni fetali Doppler perchè, essendo un dottorando nel settore della biomedica, mi sono capitati recording di questo tipo.

Quello che faccio in questo codice è:

  1. Creare una struttura con tutte le immagini presenti nella cartella corrente (nel mio caso le registrazioni Doppler) e che hanno un ending tag noto (nel mio caso ‘*filtered.bmp’)
  2. Decidere dei labels coerenti con le annotazioni di cui dispongo (le mie annotazioni avevano, nella terza colonna della matrice “annotations”, numeri da 1 a 3, indicanti la tipologia del ciclo fetale: ciclo, flip di ciclo cardiaco o non ciclo)
  3. Creare delle cartelle in cui inserire i sample una volta estratti
  4. Fase di estrazione dei sample e inserimento nella cartella opportuna

Qui di seguito la prima fase:

% select all images with the desired ending and create the struct
TAG_EndNameImgs = '*filtered.bmp'; % choose the correct ending for you
imgs = dir(endNameImgs);
%% Load annotation on your workspace and prepare.
load('annotations.mat')
imgsStruct=imgs;
period=128; % my period was of 128 sample approximatively
imagesLabeled (1:size(annotations, 1)) = struct ('Image', [], 'Label', '');

Bisogna caricare nel workspace le annotazioni (erano un .mat). Nel mio caso la colonna tre della matrice delle annotazioni conteneva gli indici di inizio di un ciclo cardiaco o non cardiaco (annotazioni prese da un medico).

Qui di seguito la seconda fase:

%% choose your own labels
labels = ["heart_cicle" "heart_cicle_flipped" "NOT_heart_cicle"];

Terza fase:

 

%% here I'm dividing the folders that will contain the samples
if (~exist(pwd + "\heart_cicle", 'dir')||~exist(pwd + "\heart_cicle", 'dir'))
mkdir(pwd + "\heart_cicle");
mkdir(pwd + "\NOT_heart_cicle");
else
disp("the folders already exist");
end

Quarta fase:

 %% Go through each record in imgsStruct (for me was the doppler)
% and cut selectively.
% Insert all the cut images in imgsStruct
disp("Now, from all records, I'll build sample images. Please be patient...");
for i=1:size(imgsStruct, 1)
% find all the annotations for that file
indexes = find(annotations(:,3)==i);
imgTmp = imread(imgsStruct(i,1).name);

for j = 1:size(indexes,1)
beg_col =annotations(indexes(j),1); % annotated index tells the begin
end_col = annotations(indexes(j),1)+ period; % end on period
imgTmpSplitted = imageDopplerSplitter(imgTmp, beg_col, end_col);
% establish the labels and insert the sample into the appropriate folder
if ((annotations(indexes(j),2)==1)) % heart_cicle
imagesLabeled(indexes(j)).Label = labels(1);
imagesLabeled(indexes(j)).Image = imgTmpSplitted;
baseFileName = "sample" + int2str(indexes(j)) + ".bmp"; % Whatever....
fullFileName = fullfile(pwd + "\" + labels(1), baseFileName);
imwrite(imagesLabeled(indexes(j)).Image, fullFileName);
elseif ((annotations(indexes(j),2)==2)) % heart_cicle_flipped
imagesLabeled(indexes(j)).Label = labels(2);
imagesLabeled(indexes(j)).Image = imgTmpSplitted;
baseFileName = "sample" + int2str(indexes(j)) + ".bmp"; % Whatever....
fullFileName = fullfile(pwd + "\" + labels(1), baseFileName);
imwrite(imagesLabeled(indexes(j)).Image, fullFileName);
elseif ((annotations(indexes(j),2)==3)) % NOT_heart_cicle
imagesLabeled(indexes(j)).Label = labels(3);
imagesLabeled(indexes(j)).Image = imgTmpSplitted;
baseFileName = "sample" + int2str(indexes(j)) + ".bmp"; % Whatever....
fullFileName = fullfile(pwd + "\" + labels(3), baseFileName);
imwrite(imagesLabeled(indexes(j)).Image, fullFileName);
end
end
end
disp ("Now samples are separated into the folder heart_cycle and NOT_heart_cycle");

In questo post è stato presentato un esempio di codice Matlab per la creazione di un dataset esempio (nel mio caso un Doppler). Questa creazione di dataset può essere adattata ai propri scopi.

Non posso fornire il dataset su cui sto lavorando in quanto proprietà dell’Università per la quale lavoro e non posso neanche fornire i dettagli delle elaborazioni successive degli studi correlati. Nessuna domanda in tal senso verrà presa in considerazione e/o riceverà delle risposte.

Esercizio n°217 pagina 198 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)

Testo

La parabola di equazione

y= -x^2 + 8x -7

interseca l’asse x nei punti A e B. Determina due punti C e D sulla parabola che formino con A e B un trapezio isoscele di base maggiore AB e area 32.

Soluzione

La parabola è convessa e interseca l’asse x per valori di ascisse ricavabili da questa formula:

x_{1,2} = \frac{-(8)\pm \sqrt{(8)^2-4(-1)(-7)}}{2\cdot(-1)}

Da cui:

x_{1} = 1 e x_{2} = 7

intersezione parabola
Figura 1. Rappresentazione della parabola e dei punti A e B

La base maggiore AB misura quindi 6.

La formula dell’area di un trapezio isoscele è:

A_{Trapezio} = \frac{(B+b)h}{2}

Di cui sono noti solo:

A_{Trapezio} = 32 e B = 6

Per trovare una relazione che leghi b e hè necessario considerare il sistema:

\left\{\begin{matrix}y= -x^2 + 8x -7\\ y=h\end{matrix}\right.

intersezione con h.png
Figura2. Rappresentazione geometrica del sistema precedente

E risolvere:

x^2 - 8x + (7+h) = 0

Quindi:

x_{1,2} = \frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4(1)(7+h)}}{2\cdot(1)}=

=\frac{8\pm \sqrt{36-4h}}{2}

Da cui:

x_{1} = 4-\sqrt{9-h} e x_{2} = 4+\sqrt{9-h}

E allora b sarà esprimibile come:

b=x_{2,b}-x_{1,b}= 2 \sqrt{9-h}

Volendo esplicitare h:

b^2 = 4(9-h) \rightarrow b^2 = 36-4h \rightarrow h= \frac{36-b^2}{4}

Quindi:

A_{Trapezio} = \frac{(B+b)}{2} \cdot \frac{36-b^2}{4}

E allora:

32 = \frac{(6+b)(36-b^2)}{8} \rightarrow

256 = (6+b)(36-b^2) \rightarrow

256 = 216-6b^2+36b-b^3 \rightarrow

b^3+6b^2-36b+40=0

Da Ruffini:

(b-2)(b^2+8b-20)=0

Da cui:

b_{1}=2

E:

b_{2,3}= \frac{-8 \pm \sqrt{64+80}}{2} \rightarrow

b_{2}=2 e b_{3}=-10

L’unica delle soluzioni ammissibili è 2 (non esistono lunghezze negative), ciò significa che la base minore è lunga 2.

Poiché:

h= \frac{36-b^2}{4}

allora:

h= 8

Se ciò è vero significa che il sistema:

\left\{\begin{matrix}y= -x^2 + 8x -7\\ y=h\end{matrix}\right.

Deve essere riscritto come segue:

\left\{\begin{matrix}y= -x^2 + 8x -7\\ y=8\end{matrix}\right.

In quanto h= 8 e il segmento base minore del trapezio giace sulla retta y= 8 .

Volendo trovare quindi i punti C e D richiesti dal problema si deve risolvere la seguente:

-x^2 + 8x -15=0

E quindi:

x_{C,D} = \frac{-(8)\pm \sqrt{(8)^2-4(-1)(-15)}}{2\cdot(-1)} \rightarrow

x_{C} = 3 ; x_{D} = 5

Da cui, in definitiva:

A(1;0),B(7;0),C(3;8),D(5;8)

area parbola
Figura 3. Rappresentazione grafica della soluzione

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In ogni caso ti ringrazio di aver visitato il mio sito, a presto!

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