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Come risolvere esercizio n.186 pag.643 (MATEMATICA VERDE 3G)

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Testo

In un parallelogramma due lati consecutivi misurano rispettivamente 4 e 20 e l’angolo fra essi compreso è alfa = arcsin (4/5). Calcola la misura dell’area è delle diagonali.

Soluzione

Nel video potrai trovare la soluzione dell’esercizio. Se qualcosa non è chiaro o hai bisogno di ulteriori spiegazioni non esitare a contattarci!

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Come risolvere esercizio n. 34 pag.177 (Matematica.verde 3G)

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L’esercizio è presente anche nel seguente libro

  • esercizio n. 34 pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)

1 Testo

Determina per quale valore di k si ottiene una retta del fascio di equazione

\( kx+\left(1-2k\right)y+3+k=0\)

  1. passante per l’origine;
  2. parallela alla retta;
  3. perpendicolare alla retta

2 Prerequisiti

Per capire e risolvere l’esercizio è necessario conoscere:

  • l’equazione della retta (implicita ed esplicita)
  • come calcolare il coefficiente angolare della retta
  • come calcolare il valore di quota della retta
  • il concetto di fascio di rette proprio e improprio
  • come ricavare il coefficiente angolare di una retta parallela o perpendicolare a un’altra retta

3 Soluzione

3.1 Punto 1

Determiniamo l’equazione della retta del fascio passante per l’origine.

\( kx+\left(1-2k\right)y+3+k=0\)

Sostituiamo le coordinate dell’origine nell’equazione del fascio:

\( 0x +(1-2k)0+3+k=0 \)

\(0+0+3+k=0 \)

\(3+k=0 \)

\( k=-3 \)

Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio passante per l’origine è \( -3 \).

3.2 Punto 2

Determiniamo l’equazione della retta del fascio parallela alla retta \( r: x=5 \).

Il coefficiente angolare della retta di equazione \( x = 5 \) è \( \infty \) e rappresenta una retta verticale. In questo caso non possiamo porre il coefficiente angolare uguale a \( \infty \), ma doppiamo porre uguale a \( 0\) il coefficiente della y nel fascio:

\( 1-2k=0 \)

da cui

\( -2k=-1 \)

quindi

\( k=\frac{1}{2} \)

Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio parallela alla retta r è \( \frac{1}{2} \).

3.3 Punto 3

Determiniamo l’equazione della retta del fascio perpendicolare  alla retta \( s:x+y=5 \).

Iniziamo calcolando il coefficiente angolare della retta s:

\( m_s =-\frac{a}{b}=-3 \)

Calcoliamo il coefficiente angolare del fascio è:

\(m_f=-\frac{a}{b}=-\frac{k}{1-2k} \)

Dovendo determinare  una retta perpendicolare deve essere che:

\(m_f=-\frac{1}{m_s} =-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3} \)

cioè:

\(-\frac{k}{1-2k}=\frac{1}{3} \)

\(-3k=1-2k \)

\(-3k+2k=1 \)

\(-k=1\)

\(k=-1\)

Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio perpendicolare alla retta s è \( -1 \).

Figura 1. Rappresentazione delle rette del fascio , nelle condizioni indicate dall’esercizio.

Di cosa hai bisogno? Faccelo sapere, presto!

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Come ricavare il quaternione prodotto di due quaternioni

Reading Time: 2 minutes

Si supponga di avere i quaternioni q_1 e q_2 e di voler fare tra questi il prodotto.

Sia dunque:

q_1 = w_1 + x_1 \bold{i} + y_1 \bold{j} + z_1 \bold{k}

e:

q_2 = w_2 + x_2 \bold{i} + y_2 \bold{j} + z_2 \bold{k}

Continua a leggere Come ricavare il quaternione prodotto di due quaternioni
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Il gioco delle tessere

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Testo

La piccola Aurelia sta giocando con 985 tessere di legno colorato, tutte a forma di triangolo equilatero e aventi le stesse dimensioni. Ha costruito con esse, affiancandole, il triangolo equilatero più grande possibile; quante tessere sono avanzate ad Aurelia?

Soluzione

Partendo con la prima tessera si può considerare questo come la prima riga di tessere, ovvero il vertice del triangolo equilatero grande.

Volendo sviluppare la seconda riga ci vogliono altri tre triangoli e continuando verso la terza riga ci vogliono 5 triangoli, come mostrato in figura.

Figura 1. Illustrazione del posizionamento successivo delle tessere per righe.

Come si può notare la sequenza è quella dei numeri dispati, infatti:

  • prima riga 1 tessera
  • seconda riga 3 tessere
  • terza riga 5 tessere
  • quarta riga 7 tessere
  • etc.

La sequenza continua fino a quando le tessere non finiscono.

A questo punto non resta che sommare tutti i numeri dispari fino ad arrivare a 61 tessere. La somma non è difficile, non richiede l’utilizzo di tecniche più sofisticate, specialmente se si considerano i numeri dispari a gruppi di 5. Per esempio i primi 5 numeri dispari sommati fanno 25, i secondi 75, i terzi 125, sempre un’aggiunta di 50 ogni gruppo di 5…

Facendo la somma di tutti i numeri dispari fino a 61 si ottiene esattamente 961. Perciò le tessere che avanzano sono 24.

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Analisi dei costi e del rischio per un acquisto di opzioni call Apple

Reading Time: 4 minutesImmaginiamo di voler valutare le opzioni call Apple con prezzo e cambio valuta euro-dollaro a sabato 21 marzo 2020, e quindi a mercato chiuso. Supponiamo lo scenario nel quale si voglia acquistare le opzioni di tale società utilizzando la piattaforma PLUS 500. Continua a leggere Analisi dei costi e del rischio per un acquisto di opzioni call Apple

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Investire o non investire?

Reading Time: 5 minutesRecentemente mi sono chiesto quanto veramente ha senso investire sul lungo termine, perchè non sono mai stato molto convinto che i potenziali profitti avrebbero potuto cambiare significativamente il mio capitale finale.

Continua a leggere Investire o non investire?

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Il diodo zener ideale

Reading Time: 4 minutesIl diodo zener ideale è un elemento circuitale non lineare, perchè non ha una dipendenza lineare rispetto alla tensione erogata dal generatore. Un tipo di elemento circuitale lineare è per esempio la resistenza, poiché la sua dipendenza dalla tensione è stabilita dalla legge di Ohm:

V=Ri

Questa è una relazione di tipo lineare. Supponiamo di avere un circuito che ha un generatore di tensione e una resistenza, allora su quest’ultima cade tutta la tensione erogata dal generatore. Continua a leggere Il diodo zener ideale

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Esercizio equazione goniometrica di secondo grado

Reading Time: < 1 minuteSi voglia risolvere la seguente equazione:

2cos^2(x)-3cosx+1=2sin^2(x)

Soluzione

Siccome:

cos^2(x)+sin^2(x)=1

Si ha che:

sin^2(x)=1-cos^2(x)

E quindi la 2cos^2(x)-3cosx+1=2sin^2(x) diventa:

2cos^2(x)-3cosx+1=2[1-cos^2(x)]

E ancora:

2cos^2(x)-3cosx+1=2-2cos^2(x) \rightarrow

4cos^2(x)-3cosx-1=0 \rightarrow

Ponendo:

t=cosx

Si ha:

4t^2-3t-1=0

Da cui si può calcolare:

t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4(4)(-1)}}{2 \cdot 4} \rightarrow

t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8} \rightarrow

E quindi:

t_{1} = -\frac{1}{4} e t_{2} = 1

Siccome poi:

t=cosx

Si ha che:

x_{1} = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2k \pi \wedge x_{2} = 2k \pi con k \in \mathbb{Z}

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Ragionamenti finanziari: giorno terzo

Reading Time: 4 minutesDall’ultimo post abbiamo appreso che la Cina potrebbe scegliere di tenere il dollaro e la domanda che ci siamo posti era: potrebbe avere degli effetti positivi questo? Potrebbe risultare strategico?

Supponiamo dunque che la Cina tenga il dollaro e sul tavolo si generi altra attività.

Dopo che l’America ha dato il dollaro alla Cina (in cambio di un prodotto cinese) può aspettarsi da un momento all’altro che le venga chiesta la corrispondenza. Infatti quel dollaro che la Cina ancora detiene è una garanzia sull’oncia corrispondente e la Cina potrebbe volerla da un momento all’altro, quindi l’America deve muoversi.

Se l’America volesse fregare la Cina gli basterebbe stampare denaro. Abbiamo infatti appreso che stampare denaro non varierebbe la ricchezza dell’America ma, in questo caso, potrebbe far risparmiare once nel caso in cui la Cina richiedesse l’oncia al posto del dollaro che detiene. Cerchiamo di capire meglio questo punto…

Nel nostro caso avevamo detto che la Cina detiene il dollaro a garanzia di una delle 100 once che ha ancora l’America. Supponiamo che l’America stampi dollari e cambi la corrispondenza, la Cina potrebbe giustamente lamentarsi del comportamento sleale dell’America.

printing dollars
Figura 1. L’America stampa dollari ma il suo numero di once è lo stesso. L’America non ha aumentato la propria ricchezza e il dollaro perde forza perchè ci sono più dollari e stesso oro.

A seguito della stampa americana la Cina sembrerebbe abbia svenduto il proprio prodotto, in quanto lo aveva venduto per un dollaro, quando il dollaro aveva un’oncia a corrisponderlo. Ora il dollaro non ha più un’oncia a corrispondenza ma ne ha di meno e quindi la Cina si è impoverita.

chinaamerica.png
Figura 2. La Cina deteneva il dollaro a garanzia dell’oncia corrispondente americana ma l’America, approfittando dell’occasione, ha stampato dollari. Ora la Cina ha un dollaro che vale meno di un’oncia e si è quindi impoverita.

A questo punto la Cina è arrabbiata e può scegliere se chiedere la frazione di oncia che le spetta oppure aspettare e fidarsi dell’America, la quale magari ha una strategia. Abbiamo comunque scoperto che stampare denaro, sebbene non abbia effetti per il paese che stampa, può avere effetti sui paesi esteri e di conseguenza anche di reputazione per il paese che stampa.

Infatti un’America che stampa per dare una pugnalata alla Cina non è ben vista al tavolo e rischia, se non rimedia, di giocarsi la propria credibilità. L’America si sente ora in dovere di recuperare.

Per recuperare l’America ha imparato che deve cercare di aumentare l’export, ovvero deve cercare di vendere prodotti ai presenti al tavolo. L’America vende due prodotti uno all’Europa e uno alla Gran Bretagna e da questi chiede rispettivamente un euro e una sterlina. Avevamo appreso che sia Europa che Gran Bretagna avevano deciso una corrispondenza denaro:oro  di 1:1. Questo significa che l’America, ricevendo un euro e una sterlina, può chiedere la loro corrispondenza, cioè due once, di cui una europea e una inglese.

Supponiamo che l’America aveva stampato dollari fino ad arrivare a un rapporto denaro:oro  di 2:1. Questo significa che la situazione, prima della vendita dei prodotti americani a Europa e Gran Bretagna, è:

  • un dollaro lo ha la Cina
  • 199 dollari sono in America
  • 100 once sono in America
  • la Cina può chiedere indietro non più un’oncia ma sono mezza oncia

Siccome l’America ha venduto i suoi prodotti ora può richiedere le once corrispondenti e così la nuova situazione è la seguente:

  • un dollaro lo ha la Cina
  • 199 dollari sono in America
  • 102 once sono in America (le due in più sono una europea e una inglese)
  • L’europa ha 100 euro ma 99 once
  • La Gran Bretagna ha 100 sterline ma 99 once
  • il dollaro che ha la Cina ora vale 0.51 once

Picture1.png
Figura 3. L’America vende due suoi prodotti, uno alla Gran Bretagna e l’altro all’Europa. L’America chiede la propria corrispondenza e tara nuovamente il rapporto denaro:oro, recuperando parzialmente l’offesa inflitta alla Cina. La Cina, dall’attività Americana, ha recuperato parte della ricchezza che le spettava.

La Cina può scegliere se aspettare ancora o chiedere all’America poco più di metà oncia in cambio del dollaro che detiene. Se l’America continuasse la propria attività potrebbe, alla fine, non solo recuperare il rapporto dollaro:oro e riportarlo 1:1 ma potrebbe, a furia di rafforzare il dollaro, far arricchire la Cina.

Se l’attività dell’America fosse vorace e aggressiva potrebbe destare l’interesse delle persone presenti al tavolo e queste potrebbero decidere, vedendo che la Cina si arricchisce, di scambiare parte del loro denaro per il dollaro.

Supponiamo per esempio che il Giappone decida di comprare due dollari in cambio del controvalore in yen, cosa succederebbe in questo caso?

Questo e altri ragionamenti seguiranno nei giorni successivi. Ricordo ancora una volta che questi ragionamenti si basano su supposizioni che piano piano abbandoneremo, per avvicinarci alla situazione contemporanea. Logicamente, trattare così sintenticamente una cosa molto più complessa, induce a delle storpiature ma rende più tangibile la complessità dei flussi finanziari. Ritengo comunque costruttivo ragionare dal basso per poi abituarsi al complesso.

Nel prossimo post faremo finta che il Giappone compri dollari con il proprio denaro, che succederà?

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Esercizio: disequazione di secondo grado logaritmica

Reading Time: 2 minutesSi vogliono trovare i valori di x che soddisfano la seguente disequazione:

[log_{2}(x+5)]^{2}-log_{2}(x+5)-6>0

Soluzione

Per risolvere la disequazione si pone:

t=log_{2}(x+5)

E così la disequazione di secondo grado diventa:

t^{2}-t-6>0

Di cui l’equazione di secondo grado associata ha soluzioni del tipo:

t_{1,2}= \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-4(1)(-6)}}{2 \cdot (1)} \rightarrow

t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \rightarrow

t_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{2} \rightarrow

Da cui:

t_{1}=-2 e t_{2}=3

E quindi, essendo che t^{2}-t-6 ha il coefficiente a>0 (quindi è una parabola con concavità rivolta verso l’alto), si ha che è soddistatta per valori di t nei seguenti intervalli:

t<-2 \vee t>3

Ricordiamo ora che:

t=log_{2}(x+5)

Il logaritmo richiede che il proprio argomento sia maggiore di zero e cioè:

(x+5) > 0 \rightarrow

x>-5

Quindi si accettano soluzioni della [log_{2}(x+5)]^{2}-log_{2}(x+5)-6>0 solo se x>-5.

D’altra parte se è vero che t=log_{2}(x+5) deve anche essere che le soluzioni della disequazione di secondo grado logaritmica devono soddisfare:

log_{2}(x+5)<-2 \vee log_{2}(x+5)>3

Ovvero dovrebbe essere che:

(x+5)< \frac{1}{4} \vee (x+5)>8

E quindi:

x< - \frac{19}{4} \vee x>3

Ma siccome doveva essere che x>-5 le soluzioni sono:

-5<x< - \frac{19}{4} \vee x>3

Qui di seguito è rappresentata la funzione e le regioni in cui è maggiore di zero, che corrispondono alle soluzioni trovate.

logaritmo.png
Figura 1. in rosso la funzione y=[log(2,x+5)]^{2}-log(2,x+5)-6. In violetto le regioni in cui è positiva (maggiore di zero). La funzione risulta effettivamente essere positiva per -5<x< - \frac{19}{4} \vee x>3

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