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Come risolvere esercizio n.35 pag 177 (Matematica.verde 3G)

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L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:

  • n.35 pag. 177 Matematica.verde 3A
  • n.35 pag. 255 Matematica.blu 2.0 3 – Seconda edizione
  • n.35 pag. 255 Manuale blu 2.0 di matematica 3A – 3A Plus
  • n.35 pag.215 Matematica.rosso 3 – Seconda edizione

Testo

Riconosci se il fascio di equazione \( 3 a x+4 a y+3 a-1=0 \) è proprio o improprio e determina l’equazione della retta del fascio:

  1. passante per il punto \( \left(\frac{2}{3},-1\right) \);
  2. passante per l’origine;
  3. che dista 1 dall’origine

Prerequisiti

Per risolvere questo esercizio dovrai conoscere:

  1. fascio proprio o improprio;
  2. retta passante per un punto;
  3. retta passante per l’origine;
  4. distanza dalla retta;
  5. coefficiente angolare.

Soluzione

Il coefficiente angolare del fascio è…

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Registrazione di dati provenienti da sensori inerziali di un dispositivo Android per l’esercizio back squat.

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Lo squat parallelo (Figura1B) è noto per essere un ottimo esercizio per migliorare la forza e la tonicità muscolare della parte inferiore del corpo; inoltre, è stato dimostrato un utile esercizio di riabilitazione per diverse lesioni delle ginocchia, come ad esempio carenze al legamento crociato anteriore e la sindrome femoro-rotulea [1], la quale è una patologia che coinvolge l’articolazione compresa tra l’epifisi distale del femore e la rotula. In questo articolo vogliamo esaminare i dati, provenienti da sensori inerziali, acquisiti tramite un telefono Android, durante l’esercizio di back squat. Per rilevare i dati è stato utilizzato un Samsung note 9 attraverso un’applicazione, utilizzabile su tutti i dispositivi Android. Con i dati inerziali ricevuti dal dispositivo si può ottenere una stima del tempo e dell’escursione in gradi di ogni ripetizione di un atleta, come visibile dalla Figura 2.

Metodo di svolgimento delle registrazioni

L’atleta è stato invitato a eseguire 10 ripetizioni del seguente esercizio:

  • back squat con 60 % del suo massimale, quindi con un carico esterno complessivo di 72 kg. (massimale dell’atleta è di 120kg).

Durante tutta l’esecuzione dell’esercizio è stato richiesto al soggetto di provare a mantenere lo stesso ritmo di esecuzione per ogni ripetizione.

Tabella 1: Parametri dell’atleta

L’atleta è stato equipaggiato con una fascia toracica prototipale, costruita con una cintura elastica, in modo da rendere possibile il posizionamento e la stabilizzazione del dispositivo Android sul torace (Figura 1B); al fine di poter effettuare delle registrazioni per valutare l’escursione e la durata in secondi di ogni ripetizione. È bene specificare che il telefono deve fare riferimento a due sistemi di coordinate, uno globale e uno locale, entrambi destrorsi. Il sistema di riferimento locale è solidale al telefono, mentre il sistema di riferimento globale è solidale al campo magnetico terrestre. Attraverso l’applicazione, è stato possibile registrare le rotazioni del dispositivo rispetto all’asse y di riferimento globale (nel caso specifico, l’asse y locale del telefono è parallelo all’asse trasversale anatomico (Figura1A). È stato inoltre chiesto all’atleta di attendere 5 secondi in posizione eretta prima di effettuare il numero di ripetizioni prestabilito. Al termine della prima ripetizione è stato poi richiesto all’atleta di attendere ulteriori 5 secondi, in modo da agevolare la lettura offline dei dati inerziali raccolti dal dispositivo. Durante tutta la prova lo smartphone veniva mantenuto saldo in posizione toracica dalla fascia elastica.

Figura 1: – A. Rappresentazione degli assi anatomici – B. Posizionamento del dispositivo Android durante la misurazione. È anche rappresentato il sistema di riferimento locale dello smartphone.

Risultati

Il grafico sottostante, (Figura 2) mostra le rotazioni rispetto all’asse y, secondo Eulero, del dispositivo rispetto al sistema di riferimento globale. Tali rotazioni sono state calcolate, tramite l’ambiente Matlab, dai quaternioni misurati dal dispositivo Android e sono associate alle variazioni angolari del tronco dell’atleta rispetto all’asse y del riferimento globale (Figura 1A Figura 1B). Il grafico rappresenta quindi una stima in funzione del tempo dell’angolatura assunta dall’atleta al livello del torace durante l’esecuzione.

Figura 2: Rappresentazione grafica dell’asse y del telefono parallelo all’asse trasversale anatomico.

Dal grafico, è possibile riscontrare che la differenza angolare tra angolo finale e iniziale, assunta al livello del torace, è di circa 27°. Nelle ultime ripetizioni, si può notare un leggero aumento dell’angolatura sull’asse y del 20% circa, questo probabilmente a causa di un lieve affaticamento dell’atleta nella parte finale dell’esecuzione, ipotesi sostenuta da un tempo maggiore di esecuzione delle ultime 3 ripetizioni.

Conclusioni

Non è ancora chiaro se i valori misurati siano univoci per ogni singolo atleta o possano essere considerati consistenti su un ampio campione. E‘ da valutare inoltre se, con un opportuno feedback sia possibile, per l’atleta, controllare le misurazioni rilevate.

Inoltre, tramite i sensori inerziali del telefono è possibile effettuare ulteriori misurazioni (accelerazione, velocità angolari), che saranno discusse in futuri articoli.

Nell’articolo successivo, verranno confrontati i dati inerziali del back squat con bilanciere, con quelli del back squat al multipower, così da stimare la variazione dell’angolatura rispetto all’asse trasversale del torace tra i due esercizi presi in esame.

Se quindi l’atleta risulta costretto dal macchinario a far scorrere il bilanciere sul solo asse longitudinale, cambierà qualcosa? Staremo a vedere.

Reference

[1] E. I. Fuglsang, A. S. Telling, and H. Sørensen, “Effect of Ankle Mobility and Segment Ratios on Trunk Lean in the Barbell Back Squat,” J. Strength Cond. Res., vol. 31, no. 11, pp. 3024–3033, Nov. 2017, doi: 10.1519/JSC.0000000000001872.

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Come risolvere esercizio n.32 pag.177 (Matematica.verde 3G)

Reading Time: 2 minutes

L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:

  • esercizio 33 pag. 254 (Matematica.blu 2.0 volume 3 con tutor)
  • esercizio 32  pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)

In questo esempio di esercizio verrà mostrato come si trova il valore del parametro m della retta r_{AB} che passa per  due punti A e B , parallela ad un’altra retta r.

Inoltre si calcola il perimetro del triangolo formato dalla retta r_{AB} e un punto C sull’asse delle ascisse.

1         Testo

Determina per quale valore del parametro \( m \) la retta passante per i punti  \( A(m+1;2) \) e \( B(1;m) \) è parallela alla retta \( y=3x+1 \)Trova poi il perimetro del triangolo ABC con C punto di intersezione tra l’asse \( x \) e la retta \( y=x+1 \).

1          Soluzione

La retta passante per AB deve essere parallela alla retta  \( r: y=3x+1
\) con \( m_r=3\).

Per la condizione di parallelismo i coefficienti angolari delle due rette
devono essere uguali:

\(
m_{AB}=m_r \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1) \)

Determiniamo il coefficiente angolare tra i due punti:

\( m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{m-2}{1-m-1}=\frac{m-2}{-m}=-\frac{m-2}{m} \)

Per la (1), deve essere:

\( -\frac{m-2}{m}=3\)

da cui

\( -(m-2)=3m\)

\( -m+2-3m=0\)

\( -4m=-2\)

\( m=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

quindi

\( m= \frac{1}{2}\)

Determiniamo le coordinate dei punti A e B, sostituendo il valore di \(
m=\frac{1}{2} \):

\( (m+1;2)\rightarrow\left(\frac{1}{2}+1 ; 2\right)\rightarrow A\left(\frac{3}{2}
; 2\right)\)

e

\( B(1;m)\rightarrow B\left(1;\frac{1}{2}\right)\)

Determiniamo il punto di intersezione tra l’asse \( x \) e la retta data \(
y=x+1 \).

Risolvendo il seguente sistema:

\( \left \{ \begin{matrix} y=x+1 \\ y=0 \end{matrix} \right. \)

da cui:

\( x+1=0\rightarrow x=-1 \)

otteniamo le coordinate del punto \( C(-1,0)\).

Utilizzando la formula distanza
tra due punti:

\( d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}\)

calcoliamo i lati del triangolo:

\( AB=\sqrt{\left(1-\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}-2\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{10}\)

\( BC=\sqrt{\left(-1-1\right)^2+\left(0-\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{4+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{17}\)

\( AC=\sqrt{\left(1-\frac{3}{2}\right)^2+\left(0-2\right)^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+4}=\sqrt{\frac{41}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{41}\)

Ora possiamo calcolare il perimetro del triangolo:

\( P=AB+BC+AC=\frac{1}{2}\sqrt{10}+\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\sqrt{41}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{10}+\sqrt{17}+\sqrt{41}\right)\)

 

Figura 1. Rappresentazione completa della situazione proposta dal problema. Vengono rappresentate le tre rette discusse in questo esercizio e il triangolo identificato dai tre punti A, B e C.