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Come trovare l’altezza relativa allo spigolo della base di una piramide retta

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Testo

Una piramide retta ha per base un triangolo equilatero di lato 6cm e di altezza congruente allo spigolo di base. Calcola la distanza dal centro della base da uno degli spigoli laterali.

Figura 1: Piramide dell’esercizio

Soluzione

Dal testo si evince che  gli spigoli di base \(AC=AB=BC=6cm\), e che l’altezza della piramide \(VO\), essendo congruente ad essi, è anch’essa 6cm.

Essendo il triangolo \(ABC\) alla base equilatero, possiamo facilmente calcolare la sua altezza:

\(CL=AB*(\frac{\sqrt{3}}{2})= 6* (\frac{\sqrt{3}}{2})=3{\sqrt{3}}cm\)

Adesso possiamo calcolare il raggio della circonferenza che circoscrive il triangolo equilatero alla base della piramide:

\(OL=(\frac{2*Area_{ABC}}{2*Perimetro_{ABC}})=(\frac{2*CL*AB}{2*3AB})=(\frac{2*3{\sqrt{3}}*6}{2*3*6})={\sqrt{3}}cm\)

Adesso possiamo calcolare \(AO\) che rappresenta l’ipotenusa del triangolo definito dai vertici \(AOL\). Usando il teorema di Pitagora:

\(AO={\sqrt{(\sqrt{3})^2+(3)^2}}={\sqrt{3+9}}+{\sqrt{12}}=2(\sqrt{3})cm\)

Si può notare adesso che il segmento \(OH\) che definisce la distanza tra il centro della base e lo spigolo laterale \(AB\) è l’altezza relativa all’ipotenusa del triangolo rettangolo definito dai vertici \(AVO\), conoscendo i suoi cateti definiti da \(AO\) e \(VO\) possiamo calcolarci l’ipotenusa \(AV\):

\(AV={\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(6)^2}}={\sqrt{12+36}}={\sqrt{48}}=4(\sqrt{3})cm\)

Possiamo finalmente calcolare l’altezza relativa all’ipotenusa \(AV\) che corrisponde anche allo spigolo laterale della nostra piramide:

\(OH=(\frac{AO*VO}{AV})=(\frac{2(\sqrt{3})*6}{4(\sqrt{3})})=3cm\)

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Come calcolare il perimetro e le mediane e di un triangolo isoscele data la base e l’area

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Testo

Determina il perimetro e le mediane di un triangolo isoscele, di area 48a2, sapendo che la sua base ha una lunghezza 16a.

Soluzione

Figura 1: Triangolo rettangolo con le mediane

Possiamo determinare inizialmente la mediana AA’ che parte dal vertice A. Come si può notare in figura 1, la mediana AA’ corrisponde anche all’altezza del nostro triangolo; e avendo noti rispettivamente base e area, si ottiene che:

Per trovare i lati obliqui del triangolo isoscele, possiamo dividerlo in due triangoli rettangoli equivalenti. I cateti son definiti da BC/2=CA’=BA’ e AA’, e le ipotenuse dai segmenti AC e AB. Perciò applicando il teorema di Pitagora:

Il perimetro sarà dunque calcolato come:

mentre le due mediane BB’ e CC’ sono equivalenti e saranno date da:

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