Pubblicato il

Come ricavare le formule inverse della formula di dilatazione liquida e volumica

green and blue abstract painting

La formula di dilatazione, applicabile sia ai liquidi che ai volumi, è la seguente:

\( V_{f}=V_{i}(1+\alpha \Delta t) \)

In cui:

  • \( V_{f}\) è il volume del liquido o del solido finale;
  • \( V_{i}\) è il volume del liquido o del solido iniziale;
  • \( \Delta t = t_{f} – t_{i} \) è la differenza tra temperatura iniziale e finale;
  • \( \alpha \) è il coefficiente di dilatazione termica del liquido o del solido.

Di seguito si possono vedere tutte le formule inverse della menzionata.

Grandezza cercataFormula inversa
\( V_{i} \)\( V_{i}=\frac{V_{f}}{(1+\alpha \Delta t)} \)
\( \alpha \)\( \alpha=\frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i} \Delta t} \)
\( \Delta t \)\( \Delta t=\frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i} \alpha} \)
\( t_{f} \)\( t_{f} = \frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i} \alpha } + t_{i} \)
\( t_{i} \)\( t_{i} = t_{f} – \frac{V_{f}-V_{i}}{V_{i} \alpha} \)

Per ricavare \( V_{i} \):

  1. Si divide a destra e a sinistra per la quantità \( (1+\alpha \Delta t) \);
  2. Si semplifica.

Per ricavare \( \alpha \):

  1. Si riscrive la quantità \( V_{i}(1+\alpha \Delta t) \) come segue \( V_{i} + V_{i} \alpha \Delta t \);
  2. Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità \( V_{i} \);
  3. Si semplifica;
  4. Si divide a destra e a sinistra per la quantità \( ( V_{i} \Delta t) \);
  5. Si semplifica.

Per ricavare \( \Delta t \):

  1. Si riscrive la quantità \( V_{i}(1+\alpha \Delta t) \) come segue \( V_{i} + V_{i} \alpha \Delta t \);
  2. Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità \( V_{i} \);
  3. Si semplifica;
  4. Si divide a destra e a sinistra per la quantità \( ( V_{i} \alpha ) \);
  5. Si semplifica.

Per ricavare \( t_{f} \):

  1. Si riscrive la quantità \( V_{i}(1+\alpha \Delta t) \) come segue \( V_{i} + V_{i} \alpha \Delta t \);
  2. Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità \( V_{i} \);
  3. Si semplifica;
  4. Si divide a destra e a sinistra per la quantità \( ( V_{i} \alpha ) \);
  5. Si semplifica;
  6. Si considera che \( \Delta t = t_{f} – t_{i} \);
  7. Si aggiunge a destra e a sinistra per la quantità \( t_{i} \);
  8. Si semplifica.

Per ricavare \( t_{i} \):

  1. Si riscrive la quantità \( V_{i}(1+\alpha \Delta t) \) come segue \( V_{i} + V_{i} \alpha \Delta t \);
  2. Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità \( V_{i} \);
  3. Si semplifica;
  4. Si divide a destra e a sinistra per la quantità \( ( V_{i} \alpha ) \);
  5. Si semplifica;
  6. Si considera che \( \Delta t = t_{f} – t_{i} \);
  7. Si sottrae a destra e a sinistra per la quantità \( t_{f} \);
  8. Si semplifica;
  9. Si moltiplica a destra e a sinistra per -1.
Pubblicato il

Come trovare l’equazione della parabola dato il vertice e un punto

Testo

Scrivere l’equazione della parabola, con asse parallelo a quello delle ordinate, avente il vertice nel punto di coordinate \( V(1 ; 0) \) e passante per il punto \( P(2; 1) \).

Soluzione

Per prima cosa si osserva che, dovendo essere la parabola ad asse parallelo a quello delle ordinate, la sua equazione deve essere nella forma:

\( y=a x^{2}+b x+c\)

Ora si osserva che le coordinate generali del vertice della parabola sono:

\( V\left(-\frac{b}{2 a} ;-\frac{\Delta}{4 a}\right)\)

Dai dati sappiamo che il vertice ha coordinate \( V(1 ; 0)\) e dunque devono essere rispettate le seguenti condizioni:

\( \left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2 a} =1 \\ -\frac{\Delta}{4 a} = 0 \end{matrix}\right.\)

Inoltre, essendo che la parabola passa per il punto \( P(2; 1)\) l’equazione della parabola deve essere soddisfatta quando attribuiamo a x e a y i valori del punto \( P\). Quindi:

\( 1=a(2)^{2}+b(2)+c\)

Che rappresenta la terza condizione del precedente sistema. Avendo 3 condizioni riusciamo a trovare i tre coefficienti.

Si deve dunque risolvere il seguente sistema per trovare i coefficienti della parabola:

\( \left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2 a} = 1 \\ -\frac{\Delta}{4 a} = 0 \\ 1=a(2)^{2}+b(2)+c \end{matrix}\right. \rightarrow\)

\( \left\{\begin{matrix} b=-2a \\ \Delta = 0 \\ 4a+2b+c-1=0 \end{matrix}\right. \rightarrow\)

\( \left\{\begin{matrix} b=-2a \\ a(a-1) = 0 \\ c-1=0 \end{matrix}\right. \rightarrow\)

\( \left\{\begin{matrix} b=-2 \\ a = 1 \\ c=1 \end{matrix}\right. \)

E l’equazione della parabola sarebbe:

\( y=x^2-2x+1\)

Rappresentata nella figura seguente:

Figura 1 Rappresentazione grafica della parabola \( y=x^2-2x+1 \)
Pubblicato il

Come risolvere esercizio n°1 pag. 388 (Le traiettorie della fisica Azzurro, seconda edizione)

Testo

Un bottiglione di vetro da 2,0L  è pieno fino all’orlo di olio d’oliva alla temperatura di 10°C. Successivamente la temperatura aumenta fino a 30°C.

  • Quanto olio in \( cm^3  \)trabocca dalla bottiglia?
  • Calcola in percentuale la variazione della densità di olio d’oliva per la stessa variazione di temperatura.
oil dispenser bottle
Continua a leggere Come risolvere esercizio n°1 pag. 388 (Le traiettorie della fisica Azzurro, seconda edizione)
Pubblicato il

Come risolvere esercizio n°87 pag. 447 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)

Testo

Determinare il valore di k affinché l’iperbole di equazione \( \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{1+k} = 1 \) sia tangente alla retta di equazione \( 4x – 9y – 6 = 0 \).

Continua a leggere Come risolvere esercizio n°87 pag. 447 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)