Esercizio di calcolo integrale non immediato

Testo

Si voglia svolgere il seguente integrale:

\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\sqrt{1-x^{2}}

Soluzione

Come primo passaggio si può riscrivere come segue:

\arcsin x-\int \sqrt{1-x^{2}}

Sfruttando l’integrazione per parti sul secondo addendo si ha:

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int-\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int \frac{-x^{2}+(1-1)}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int \frac{1-x^{2}-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\left(\int \frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\left(\int \frac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)\right]=

\arcsin x-\left[x \sqrt{1-x^{2}}-\int \sqrt{1-x^{2}}+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right]=

Per la quantità tra parentesi quadre si nota che:

\int \sqrt{1-x^{2}}=x \sqrt{1-x^{2}}-\int \sqrt{1-x^{2}}+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

Quindi:

2 \int \sqrt{1-x^{2}}=x \sqrt{1-x^{2}}+\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

Ovvero:

\int \sqrt{1-x^{2}}=\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+\frac{\arcsin x}{2}

Quindi tutta la quantità tra parentesi quadre può essere sostituita con quella appena calcolata:

\arcsin x-\left[\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+\frac{\arcsin x}{2}\right]+c

Il termine costante  definisce le altre primitive.

Al finale, sommando, si ha che:

\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\sqrt{1-x^{2}}=\frac{\arcsin x}{2}-\frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2}+c

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Quale è la differenza di potenziale ai capi del condensatore?

Il seguente esercizio è stato tratto dal libro “L’Amaldi per i licei scientifici.blu 2”.

Testo

Il cannone elettronico di un tubo a raggi catodici produce elettroni con velocità di 0.65 \cdot 10 ^ {7} m/s. Il fascio prodotto attraversa le piastre di un condensatore e gli elettroni subiscono una deviazione dall’asse orizzontale di 2.9 mm. Le armature del condensatore sono lunghe 7.0 cm e distano tra loro di 6.0mm

Calcola la differenza di potenziale che è applicata al condensatore.

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Lavoro e spostamento di una carica elettrica puntiforme in campo elettrico uniforme

Testo

Una carica q=+2.4\mu C si sposta in un campo elettrico uniforme d’intensità E=4\frac{V}{m} seguendo la direzione e il verso del campo elettrico. La differenza di potenziale tra la posizione iniziale e quella finale vale V_I - V_F=0.29V. Calcola:

  • Il lavoro fatto sulla carica dalla forza elettrica;
  • L’entità dello spostamento subito dalla carica.

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