Pubblicato il

Come trovare altezza relativa e equazione della retta parallela al lato di un triangolo

Reading Time: 2 minutes

Testo

Dato il triangolo di vertici A(-2; 4), B(4; 3) e C(2; -2), determina:

a. l’equazione dell’altezza relativa al lato AC;

b. l’equazione della retta passante per A e parallela al lato BC;

Soluzione

Punto a.

Per trovare l’altezza relativa ad AC, sappiamo che è una retta perpendicolare ad AC e passante per il vertice opposto B.

Troviamo inizialmente il coefficiente angolare della retta AC:

\( m_{AC}={\frac{y_{C}- y_{A}}{ x_{C}-x_{A} }}={\frac{-2-4}{2-(-2)}}= {\frac{-3}{2}} \)

Sapendo che la condizione di perpendicolarità tra due rette, otteniamo poi il coefficente angolare della retta relativa AC:

\( m_{BH}={\frac{-1}{ m_{AC}}}={\frac{2}{3}} \)

Data la definizione della retta in forma esplicita \( y=mx+q \), sostituendo il coefficiente  \( m_{BH} \) e imponendo il passaggio per il vertice B(4,3):

\( 3= {\frac{2}{3}}*4+q \qquad q=1 \)

\( y= {\frac{2}{3}}x+{\frac{1}{3}} \)

In forma implicita diventa dunque:

\( 2x+3y+1=0 \)

Punto b.

Qualunque retta parallela al segmento BC avrà il suo stesso coefficiente angolare. Andando dunque a calcolarlo abbiamo:

\( m_{BC}={\frac{y_{C}- y_{B}}{ x_{C}-x_{B} }}={\frac{-2-3}{2-4}}= {\frac{5}{2}} \)

Data la definizione della retta in forma esplicita  \( y=mx+q \), sostituendo il coefficiente  \( m_{BC} \) e imponendo il passaggio per il punto A(-2; 4):

\( 4= {\frac{5}{2}}*(-2)+q \qquad q=9 \)

\( y= {\frac{5}{2}}x+9 \)

In forma implicita diventa dunque:

\( 5x-2y+18=0 \)

Rappresentazione delle rette ricavate con il triangolo discusso nel problema
Pubblicato il

Vertice di una parabola. Come trovare una parabola con vertice V(2,3)

Reading Time: < 1 minute

Testo

Illustra il concetto di vertice di una parabola. Fai un esempio di parabola con Vertice in V(2,3).

Soluzione

Pubblicato il

Come risolvere esercizio n. 34 pag.177 (Matematica.verde 3G)

Reading Time: 2 minutes

L’esercizio è presente anche nel seguente libro

  • esercizio n. 34 pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)

1 Testo

Determina per quale valore di k si ottiene una retta del fascio di equazione

\( kx+\left(1-2k\right)y+3+k=0\)

  1. passante per l’origine;
  2. parallela alla retta;
  3. perpendicolare alla retta

2 Prerequisiti

Per capire e risolvere l’esercizio è necessario conoscere:

  • l’equazione della retta (implicita ed esplicita)
  • come calcolare il coefficiente angolare della retta
  • come calcolare il valore di quota della retta
  • il concetto di fascio di rette proprio e improprio
  • come ricavare il coefficiente angolare di una retta parallela o perpendicolare a un’altra retta

3 Soluzione

3.1 Punto 1

Determiniamo l’equazione della retta del fascio passante per l’origine.

\( kx+\left(1-2k\right)y+3+k=0\)

Sostituiamo le coordinate dell’origine nell’equazione del fascio:

\( 0x +(1-2k)0+3+k=0 \)

\(0+0+3+k=0 \)

\(3+k=0 \)

\( k=-3 \)

Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio passante per l’origine è \( -3 \).

3.2 Punto 2

Determiniamo l’equazione della retta del fascio parallela alla retta \( r: x=5 \).

Il coefficiente angolare della retta di equazione \( x = 5 \) è \( \infty \) e rappresenta una retta verticale. In questo caso non possiamo porre il coefficiente angolare uguale a \( \infty \), ma doppiamo porre uguale a \( 0\) il coefficiente della y nel fascio:

\( 1-2k=0 \)

da cui

\( -2k=-1 \)

quindi

\( k=\frac{1}{2} \)

Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio parallela alla retta r è \( \frac{1}{2} \).

3.3 Punto 3

Determiniamo l’equazione della retta del fascio perpendicolare  alla retta \( s:x+y=5 \).

Iniziamo calcolando il coefficiente angolare della retta s:

\( m_s =-\frac{a}{b}=-3 \)

Calcoliamo il coefficiente angolare del fascio è:

\(m_f=-\frac{a}{b}=-\frac{k}{1-2k} \)

Dovendo determinare  una retta perpendicolare deve essere che:

\(m_f=-\frac{1}{m_s} =-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3} \)

cioè:

\(-\frac{k}{1-2k}=\frac{1}{3} \)

\(-3k=1-2k \)

\(-3k+2k=1 \)

\(-k=1\)

\(k=-1\)

Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio perpendicolare alla retta s è \( -1 \).

Figura 1. Rappresentazione delle rette del fascio , nelle condizioni indicate dall’esercizio.

Di cosa hai bisogno? Faccelo sapere, presto!

Pubblicato il

Come risolvere esercizio n. 27 pag. 177 (Matematica.verde 3G)

Reading Time: < 1 minute

Autore: Antonio Reno;

Revisore: Andrea Zedda

L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:

  • esercizio 28 pag. 254 (Matematica.blu 2.0 volume 3 con tutor)
  • esercizio 27 pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)

In questo esempio di esercizio verrà mostrato come si calcola l’equazione della retta passante per l’altezza di un triangolo nel piano cartesiano ma anche come si trova la retta passante per un vertice del triangolo e parallela a un lato del triangolo stesso.

1 Testo

Dato il triangolo di vertici A(-2,4), B(4,3) e C(2,-2), determinare:

  1. l’equazione della retta passante per l’altezza relativa al lato AC;
  2. l’equazione della retta passante per A e parallela al lato BC.

2 Soluzione

2.1 Punto 1

Utilizzando la formula della retta passante per due punti:

\( \frac{y-y_{2}}{y_{1}-y_{2}}=\frac{x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}} \)

Trovando la retta che passa per AC:

\( r_{A C}: \frac{y+2}{4+2}=\frac{x-2}{-2-2} \rightarrow \)

\( \frac{y+2}{6}=\frac{x-2}{-4} \rightarrow-4(y+2)=6(x-2) \rightarrow-4 y-8=6 x-12 \)

Quindi…

Pubblicato il

Come trovare l’equazione della parabola dato il vertice e un punto

Reading Time: < 1 minute

Testo

Scrivere l’equazione della parabola, con asse parallelo a quello delle ordinate, avente il vertice nel punto di coordinate \( V(1 ; 0) \) e passante per il punto \( P(2; 1) \).

Soluzione

Per prima cosa si osserva che, dovendo essere la parabola ad asse parallelo a quello delle ordinate, la sua equazione deve essere nella forma:

\( y=a x^{2}+b x+c\)

Ora si osserva che le coordinate generali del vertice della parabola sono:

\( V\left(-\frac{b}{2 a} ;-\frac{\Delta}{4 a}\right)\)

Dai dati sappiamo che il vertice ha coordinate \( V(1 ; 0)\) e dunque devono essere rispettate le seguenti condizioni:

\( \left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2 a} =1 \\ -\frac{\Delta}{4 a} = 0 \end{matrix}\right.\)

Inoltre, essendo che la parabola passa per il punto \( P(2; 1)\) l’equazione della parabola deve essere soddisfatta quando attribuiamo a x e a y i valori del punto \( P\). Quindi:

\( 1=a(2)^{2}+b(2)+c\)

Che rappresenta la terza condizione del precedente sistema. Avendo 3 condizioni riusciamo a trovare i tre coefficienti.

Si deve dunque risolvere il seguente sistema per trovare i coefficienti della parabola:

\( \left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2 a} = 1 \\ -\frac{\Delta}{4 a} = 0 \\ 1=a(2)^{2}+b(2)+c \end{matrix}\right. \rightarrow\)

\( \left\{\begin{matrix} b=-2a \\ \Delta = 0 \\ 4a+2b+c-1=0 \end{matrix}\right. \rightarrow\)

\( \left\{\begin{matrix} b=-2a \\ a(a-1) = 0 \\ c-1=0 \end{matrix}\right. \rightarrow\)

\( \left\{\begin{matrix} b=-2 \\ a = 1 \\ c=1 \end{matrix}\right. \)

E l’equazione della parabola sarebbe:

\( y=x^2-2x+1\)

Rappresentata nella figura seguente:

Figura 1 Rappresentazione grafica della parabola \( y=x^2-2x+1 \)
Pubblicato il

Come risolvere esercizio n°87 pag. 447 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)

Reading Time: < 1 minute

Testo

Determinare il valore di k affinché l’iperbole di equazione \( \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{1+k} = 1 \) sia tangente alla retta di equazione \( 4x – 9y – 6 = 0 \).

Continua a leggere Come risolvere esercizio n°87 pag. 447 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)
Pubblicato il

Esercizio equazione goniometrica di secondo grado

Reading Time: < 1 minuteSi voglia risolvere la seguente equazione:

2cos^2(x)-3cosx+1=2sin^2(x)

Soluzione

Siccome:

cos^2(x)+sin^2(x)=1

Si ha che:

sin^2(x)=1-cos^2(x)

E quindi la 2cos^2(x)-3cosx+1=2sin^2(x) diventa:

2cos^2(x)-3cosx+1=2[1-cos^2(x)]

E ancora:

2cos^2(x)-3cosx+1=2-2cos^2(x) \rightarrow

4cos^2(x)-3cosx-1=0 \rightarrow

Ponendo:

t=cosx

Si ha:

4t^2-3t-1=0

Da cui si può calcolare:

t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4(4)(-1)}}{2 \cdot 4} \rightarrow

t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8} \rightarrow

E quindi:

t_{1} = -\frac{1}{4} e t_{2} = 1

Siccome poi:

t=cosx

Si ha che:

x_{1} = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2k \pi \wedge x_{2} = 2k \pi con k \in \mathbb{Z}